高三数学综合复习：第三篇 8推理与证明、复数、算法

8.推理与证明、复数、算法
1． 推理方法
(1)合情推理
合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养． [问题1] 图1有面积关系：
S △P A ′B ′S △P AB
＝P A ′·PB ′
P A ·PB ，则图2有体积关系：________.
答案
V P －A ′B ′C ′V P －ABC
＝P A ′·PB ′·PC ′
P A ·PB ·PC
(2)演绎推理
演绎推理是指如果推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：①大前提；②小前提；③结论．
2．证明方法
(1)直接证明
①综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法．
②分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明方法叫分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．
(2)间接证明——反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法．
(3)数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立；
②(归纳递推)假设n＝k (k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
[问题2]用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________________________________________________________________．答案三角形三个内角都大于60°
3．复数的概念
对于复数a＋b i(a，b∈R)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b＝0时，复数a＋b i(a，b∈R)是实数a；当b≠0时，复数a＋b i叫做虚数；当a＝0且b≠0时，复数a＋b i叫做纯虚数．
[问题3]若复数z＝lg(m2－m－2)＋i·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m的值为________．答案－2
4．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：
(1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ；(3)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋
3＝－i ；i 4n ＋
i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋
3＝0；(4)设ω＝－12±32i ，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.
[问题4] 已知复数z ＝1－3i
3＋i ，z 是z 的共轭复数，则|z |＝________.
答案 1 5． 算法
(1)控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．
(2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值．
[问题5] 执行如图所示的程序框图，如果输出a ＝341，那么判断框中可以是( )
A ．k <4?
B ．k >5?
C ．k <6?
D ．k <7?
答案 C
解析 根据程序框图，
第一次循环，a ＝0＋1＝1，k ＝1＋1＝2； 第二次循环，a ＝4×1＋1＝5，k ＝2＋1＝3； 第三次循环，a ＝4×5＋1＝21，k ＝3＋1＝4； 第四次循环，a ＝4×21＋1＝85，k ＝4＋1＝5； 第五次循环，a ＝4×85＋1＝341，k ＝5＋1＝6.
要使输出的a ＝341，判断框中可以是k <6？或k ≤5？.故选C.
易错点1 复数的概念不明致误
例1 若z ＝sin θ－3
5＋⎝
⎛⎭⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为
( )
A ．－7
B ．7
C ．－1
7
D ．－7或－1
7
找准失分点 本题常见的错误主要有两点：一是混淆复数的有关概念，忽视虚部不为0的限制条件，错得sin θ＝35，cos θ＝±4
5，导致错选D.二是记错两角差的正切公式，导致
计算有误．
正解 由z 为纯虚数，知sin θ－35＝0，且cos θ－4
5≠0.
则sin θ＝35，从而cos θ＝－4
5.
所以tan θ＝sin θcos θ＝－3
4
.
∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π
4＝tan θ－tan
π41＋tan θ·tan π4＝－3
4－11－
3
4
＝－7. 答案 A
易错点2 循环次数把握不准致误
例2 执行下边的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝________.
找准失分点 容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错． 正解 顺着框图箭头的走向列举出有关的输出数据，有
S ：0＋12＝12，12＋122＝34，34＋1
23＝0.875，
n: 2, 3, 4.
“0.875<0.8”判断为“否”，输出n ＝4. 答案 4
易错点3 数学归纳法未用归纳假设致误
例3 用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)
2
d (n ∈N ＋)．
错解 ①当n ＝1时，S 1＝a 1，等式成立． ②假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立， 即S k ＝a 1k ＋1
2k (k －1)d .
当n ＝k ＋1时，
S k ＋1＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＋a k ＋1
＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(k －1)d ]＋(a 1＋kd ) ＝(k ＋1)a 1＋(d ＋2d ＋…＋kd ) ＝(k ＋1)a 1＋1
2
k (k ＋1)d
＝(k ＋1)a 1＋1
2(k ＋1)[(k ＋1)－1]d ，
即当n ＝k ＋1时，等式成立．
由①②知，等式对任意的正整数n 都成立．
找准失分点 本题的错因在于从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中，没有用到归纳假设． 正解 ①当n ＝1时，S 1＝a 1，等式成立． ②假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立， 即S k ＝a 1k ＋1
2k (k －1)d .
当n ＝k ＋1时，
S k ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1 ＝S k ＋a k ＋1＝a 1k ＋1
2
k (k －1)d ＋a 1＋kd
＝(k ＋1)a 1＋1
2(k ＋1)[(k ＋1)－1]d
即当n ＝k ＋1时，等式成立．
由①②知，等式对任意的正整数n 都成立．
1． 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12i
，i 2，|5i 2
|，(1＋i )2
i ，－i 22，则集合A ∩R ＋的子集个数为
( )
A ．8
B ．7
C ．3
D ．2
答案 A
解析 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬
⎪⎫12i ，i 2，|5i 2|，(1＋i )2i ，－i 22 ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－i 2，－1，5，2，12，所以A ∩R ＋＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫5，2，12，
故其子集个数为23＝8.
2． (2012·山东)执行下面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为
( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案 B
解析 a ＝4，P ＝0，Q ＝1，n ＝0时，P ≤Q ，P ＝0＋40＝1，Q ＝2×1＋1＝3，n ＝1； P ≤Q ，P ＝1＋41＝5，Q ＝2×3＋1＝7，n ＝2； P ≤Q ，P ＝5＋42＝21，Q ＝2×7＋1＝15，n ＝3； P ≤Q 不成立，输出n ＝3.
3． 复数z 满足(－1＋i)z ＝(1＋i)2，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 D
解析 (－1＋i)z ＝(1＋i)2＝2i ，
则z ＝2i
i －1＝2i (i ＋1)(i －1)(i ＋1)
＝－i(i ＋1)＝1－i ，
所以复数z 在复平面上对应的点为(1，－1)，则这个点位于第四象限． 4． i 为虚数单位，复数1＋a i
2＋i
为纯虚数，则实数a 等于
( )
A ．－2
B ．－1
3
C.12
D ．2
答案 A
解析 由于1＋a i 2＋i ＝(1＋a i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝(2＋a )＋(2a －1)i
5为纯虚数，
所以2＋a 5＝0，且2a －1
5
≠0即a ＝－2.
5． 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函
数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝
( )
A ．f (x )
B ．－f (x )
C ．g (x )
D ．－g (x )
答案 D
解析 观察可知，偶函数f (x )的导函数g (x )都是奇函数， 所以g (－x )＝－g (x )，故选D.
6． 如图所示的程序框图中，若f (x )＝2x ，g (x )＝x 2，则h (3)的值等于
( )
A ．8
B ．9
C ．－1
D ．1
答案 B
解析 由程序框图，可知输出的h (x )为f (x )与g (x )中的较大者，f (3)＝23＝8，g (3)＝32＝9，
显然f (3)<g (3)，所以h (3)＝g (3)＝9.故选B.
7． 若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．
答案 －20
解析 (z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ， 故(z 1－z 2)i 的实部为－20. 8． 观察下列等式：
1＝1， 2＋3＋4＝9， 3＋4＋5＋6＋7＝25， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49， ……
照此规律，第n 个等式为__________________________________________________． 答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2
9． 若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝1
2
r (a ＋b ＋c )．根据
类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V ＝________. 答案 1
3
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R
10．(2012·湖南)如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝－1，n ＝3，则输出的数S ＝________.
答案 －4
解析 当n ＝3时，i ＝3－1＝2，满足i ≥0， 故S ＝6×(－1)＋2＋1＝－3.
执行i＝i－1后i的值为1，满足i≥0，
故S＝(－3)×(－1)＋1＋1＝5.
再执行i＝i－1后i的值为0，满足i≥0，
故S＝5×(－1)＋0＋1＝－4.
继续执行i＝i－1后i的值为－1，不满足i≥0，故输出S＝－4.。