钟祥市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

钟祥市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知椭圆
，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
2． （文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向上平移1个单位
D ．向下平移1个单位 3． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k ∈Z ）（ ）
A ．k360°+463°
B ．k360°+103°
C ．k360°+257°
D ．k360°﹣257°
4． 设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5． 已知双曲线
的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支
有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．（1，2]
B ．（1，2）
C ．[2，+∞）
D ．（2，+∞）
6． 已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）
A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β
7． 已知f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2，b ），g （x ）＞0的解集为（，），
且a 2
＜，则f （x ）g （x ）＞0的解集为（ ）
A ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，）
B ．（﹣，a 2）∪（﹣a 2，）
C ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，b ）
D ．（﹣b ，﹣a 2）∪（a 2，）
8． 某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，
则当n=4吋，最后输出的S 的值为（ ）
A ．9.6
B ．7.68
C ．6.144
D ．4.9152
9． 已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，则=QF （ ） A ．6
B ．3
C ．
3
8
D ．
3
4 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
10．若函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A ．a ＞1且b ＜1 B ．a ＞1且b ＞0 C ．0＜a ＜1且b ＞0 D ．0＜a ＜1且b ＜0
11．已知双曲线C 的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，且双曲线C 过点P （﹣2，0），则双曲线C 的
渐近线方程是（ ）
A ．y=±
x B ．y=±
C ．xy=±2
x
D ．y=±
x
12．已知直线y=ax+1经过抛物线y 2=4x 的焦点，则该直线的倾斜角为（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ． 14．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数()3
2f x x x =-，若曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线经
过圆()2
2
:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．
15．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()
1 e
e x
x
f x=-，其中e为自然对数
的底数，则不等式()()
2
240
f x f x
-+-<的解集为________．16．将边长为1
的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是．
17．已知直线l过点P（﹣2，﹣2），且与以A（﹣1，1），B（3，0）为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是．
18．已知实数x，y满足
2
330
220
y
x y
x y
≤
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪+-≥
⎩
，目标函数3
z x y a
=++的最大值为4，则a=______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．三、解答题
19
．若已知，求sinx的值．
20．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）
件与月份x
的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与
月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．
（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；
（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？
21．如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，AC=BC=BD=2AE=，M 是AB 的中点．
（1）求证：CM ⊥EM ；
（2）求MC 与平面EAC 所成的角．
22．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】已知函数()()2ln 1.f x x mx m R =--∈ （1）当1m =时，求()f x 的单调区间；
（2）令()()g x xf x =，区间15
22
,D e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，e 为自然对数的底数。

（ⅰ）若函数()g x 在区间D 上有两个极值，求实数m 的取值范围；
（ⅱ）设函数()g x 在区间D 上的两个极值分别为()1g x 和()2g x ， 求证：12x x e ⋅>.
23．圆锥底面半径为1cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．24．已知p：x∈A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，q：x∈B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}
（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；
（2）若p是￢q的充分条件，求实数m的取值范围．
钟祥市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，
显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，
，解得m=8
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．
2．【答案】C
【解析】
试题分析：()2222
g x x x x
==+=+，故向上平移个单位.
log2log2log1log
考点：图象平移．
3．【答案】C
【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k∈Z）
即：k360°+257°，（k∈Z）
故选C
【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．
4．【答案】A
【解析】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
5．【答案】C
【解析】解：已知双曲线的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
∴≥，离心率e2=，
∴e≥2，故选C
【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
6．【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；
综上D选项中的命题是错误的
故选D
7．【答案】A
【解析】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，
），且a2＜，
∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a2），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣），
则不等式f（x）g（x）＞0等价为或，
即a2＜x＜或﹣＜x＜﹣a2，
故不等式的解集为（﹣，﹣a2）∪（a2，），
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g（x）＜0的解集是解决本题的关键．
8．【答案】C
【解析】解：由题意可知，设汽车x年后的价值为S，则S=15（1﹣20%）x，
结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）4=6.144．
故选：C．
9．【答案】A
解析：抛物线C ：y x 82 的焦点为F （0，2），准线为l ：y=﹣2， 设P （a ，﹣2），B （m ，），则
=（﹣a ，4），
=（m ，
﹣2），
∵
，∴2m=﹣a ，4=
﹣4，∴m 2=32，由抛物线的定义可得|QF|=
+2=4+2=6．故选A ．
10．【答案】B
【解析】解：∵函数y=a x
﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，
∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0
﹣b ﹣1＜0，
即a ＞1，b ＞0， 故选：B
11．【答案】A
【解析】解：抛物线y 2
=8
x 的焦点（2，0），
双曲线C 的一个焦点与抛物线y 2
=8
x 的焦点相同，c=2
，
双曲线C 过点P （﹣2，0），可得a=2，所以b=2．
双曲线C 的渐近线方程是y=±x ．
故选：A ．
【点评】本题考查双曲线方程的应用，抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．
12．【答案】D
【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点（1，0），直线y=ax+1经过抛物线y 2
=4x 的焦点，可得0=a+1，解得a=﹣1， 直线的斜率为﹣1，
该直线的倾斜角为：．
故选：D ．
【点评】本题考查直线的倾斜角以及直线的斜率的关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
二、填空题
13．【答案】 [1，）∪（9，25] ．
【解析】解：∵集合
，
得 （ax ﹣5）（x 2
﹣a ）＜0，
当a=0时，显然不成立， 当a ＞0时，原不等式可化为
，
若
时，只需满足
，
解得；
若
，只需满足
，
解得 9＜a ≤25， 当a ＜0时，不符合条件， 综上，
故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．
14．【答案】2-
【解析】结合函数的解析式可得：()3
11211f =-⨯=-，
对函数求导可得：()2
'32f x x =-，故切线的斜率为()2
'13121k f ==⨯-=，
则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，
圆C ：()2
2
2x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.
15．【答案】()32-，
【解析】∵()1e ,e x x f x x R =-
∈，∴()()11x
x x x f x e e f x e e --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝
⎭，即函数()f x 为奇函数，又∵()0x
x
f x e e
-=+>'恒成立，故函数()f x 在R 上单调递增，不等式()()2240f x f x -+-<可转化为
()()224f x f x -<-，即224x x -<-，解得：32x -<<，即不等式()()
2240f x f x -+-<的解集为
()32-，
，故答案为()32-，.
16．【答案】 ．
【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x ，则：S==，（0＜x ＜1）
令3﹣x=t ，t ∈（2，3），
∴S==
=
，当且仅当t=即t=2时等号成
立；
故答案为：．
17．【答案】 [，3] ．
【解析】解：直线AP 的斜率K==3，
直线BP 的斜率K ′=
=
由图象可知，则直线l 的斜率的取值范围是[，3]，
故答案为：[，3]，
【点评】本题给出经过定点P 的直线l 与线段AB 有公共点，求l 的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．
18．【答案】3-
【解析】作出可行域如图所示：作直线0l ：30x y +=，再作一组平行于0l 的直线l ：3x y z a +=-，当直线
l经过点
5
(,2)
3
M时，3
z a x y
-=+取得最大值，∴
max
5
()327
3
z a
-=⨯+=，所以
max
74
z a
=+=，故
3
a=-．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：∵，∴＜＜2π，
∴sin（）=﹣=﹣．
∴sinx=sin[（x+）﹣]=sin（）cos﹣cos（）sin
=﹣﹣=﹣．
【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式，属于基础题．
20．【答案】
【解析】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37.
当2≤x≤12时，
且x≤12）
验证x=1符合f（x）=﹣3x2+40x，∴f（x）=﹣3x2+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），
令h（x）=6x3﹣185x2+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x2﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得（舍去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0．
∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．
综上，5月份的月利润最大是3125元.
【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．
21．【答案】
【解析】（1）证明：∵AC=BC=AB ，
∴△ABC 为等腰直角三角形， ∵M 为AB 的中点， ∴AM=BM=CM ，CM ⊥AB ， ∵EA ⊥平面ABC ， ∴EA ⊥AC ，
设AM=BM=CM=1，则有AC=
，AE=AC=
，
在Rt △AEC 中，根据勾股定理得：EC==，
在Rt △AEM 中，根据勾股定理得：EM=
=
，
∴EM 2+MC 2=EC 2
，
∴CM ⊥EM ；
（2）解：过M 作MN ⊥AC ，可得∠MCA 为MC 与平面EAC 所成的角， 则MC 与平面EAC 所成的角为45°．
22．【答案】（1）增区间()0,2，减区间()2,+∞，（2）详见解析
【解析】试题分析：（1）求导写出单调区间；（2）（ⅰ）函数()g x 在区间D 上有两个极值，等价于
()2ln 21g x x mx -'=+在15
22,e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有两个不同的零点，令()0g x '=，得2ln 1
2x m x +=
，通过求导分析
得m 的范围为51
2231
,e e
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
；（ⅱ）2ln 12x m x +=，得12122ln 12ln 12x x m x x ++==，由分式恒等变换得 12121212
212ln 12ln 12ln 1
lnx x x x x x x x ++++--=
+-，得1
1212112112222
1
ln ln 1ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ++++=⋅=⋅--，要证明 12x x e >，只需证12ln ln 12x x ++>，即证1
2
112
2
1ln 21x x x
x x x +⋅>-， 令31
2
1x e t x -<
=<，()()21ln 1t p t t t -=-
+，通过求导得到()0p t <恒成立，得证。

试题解析：
（2）（ⅰ）因为()2
2ln g x x x mx x =--，
所以()2ln 2212ln 21g x x mx x mx =+--=-+'，15
22,x e e -⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
若函数()g x 在区间D 上有两个极值，等价于()2ln 21g x x mx -'=+在15
22,e e -⎛⎫
⎪⎝⎭
上有两个不同的零点，
令()0g x '=，得2ln 1
2x m x
+=，
设()()2
2ln 112ln ,x x
t x t x
'+-==，令()0,t x x ='=
所以m 的范围为51
2231
,e e
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
（ⅱ）由（ⅰ）知，若函数()g x 在区间D 上有两个极值分别为()1g x 和()2g x ，不妨设12x x <，则
1212
2ln 12ln 1
2x x m x x ++=
=
， 所以12121212
212ln 12ln 12ln 1lnx x x x x x x x ++++--=
+- 即1
121211211222
2
1
ln ln 1ln ln 1x x x x x x
x x x x x x x x ++++=
⋅=⋅--， 要证12x x e >，只需证12ln ln 12x x ++>，即证1
2112
2
1ln 21x x x
x x x +⋅>-， 令3121x
e t x -<=<，即证1ln 21t t t +⋅>-，即证1ln 21t t t -<⋅+， 令()()
21ln 1t p t t t -=-+，因为()(
)()()2
22
114
011t p t t t t t -=-
=+'>+， 所以()p t 在()
3
,1e -上单调增，()10p =，所以()0p t <，
即()21ln 0,1
t t t --
<+所以1
ln 2
1
t t t -<+，得证。

23．． 【解析】
试题分析：画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系，求出棱长即可．
试题解析：过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面11CDD C ，如图所示．
设正方体棱长为，则1CC x =
，11C D ， 作SO EF ⊥于O
，则SO =1OE =，
∵1ECC EOS ∆∆，∴
11CC EC SO EO =
121
x =，
∴2
x =
cm
，即内接正方体棱长为2．
考点：简单组合体的结构特征．
24．【答案】
【解析】解：由已知得：A={x|﹣1≤x ≤3}， B={x|m ﹣2≤x ≤m+2}． （1）∵A ∩B=[0，3]
∴
∴，
∴m=2；
（2）∵p 是¬q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ， 而C R B={x|x ＜m ﹣2，或x ＞m+2} ∴m ﹣2＞3，或m+2＜﹣1， ∴m ＞5，或m ＜﹣3．。