2018年宁夏石嘴山三中高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2018年宁夏石嘴山三中高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|2﹣x＞0}，B＝{x|（）x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|0＜x≤2}B．A∩B＝{x|x＜0}C．A∪B＝{x|x ＜2}D．A∪B＝R
2．（5分）已知a∈R，复数z1＝2+ai，z2＝1﹣2i，若为纯虚数，则a的值为（）
A．0B．1C．3D．5
3．（5分）给出下列四个命题：
①若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件；
②若a＞b＞0，d＜c＜0，则ac＞bd；
③“若命题p：∃x0，x02﹣2x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0”
④若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p为真命题，q为假命题．
其中正确命题的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
4．（5分）已知α满足sin sin（）sin（）的值为（）
A．B．C．D．
5．（5分）已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列命题中错误的是（）
A．若m⊥α、m∥n，n⊂β，则α⊥β
B．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n
C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
D．若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β
6．（5分）已知正项等差数列{a n}中，若a1+a2+a3＝15，若a1+2，a2+5，a3+13成等比数列，则a10等于（）
A．21B．23C．24D．25
7．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+y2＝1与抛物线y2＝﹣4x的准线相切，则a的值
是（）
A．0B．2C．0或1D．0或2
8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）
A．32B．64C．65D．130
9．（5分）已知平面向量满足，，且与垂直，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
10．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）
A．B．C．D．
11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有面中，最大面的面积是（）
A．2B．3C．D．2
12．（5分）设奇函数f（x）在R上存在导函数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）[（1﹣m）3﹣m3]，则实数m的取值范围为（）
A．[﹣]B．（]∪[）
C．[）D．（]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y+1的最大值
为．
14．（5分）甲、乙、丙、丁四人商量去不去看一部电影，他们之间有如下对话：甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去．最终这四人中有人去看了这部电影，有人没去看这部电影，没有去看这部电影的人一定是．
15．（5分）在数列，则数列{b n}的前n项和为．
16．（5分）函数与的图象有n个交点，其坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则＝．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，＝．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S ＝，求△ABC周长的最小值．
18．（12分）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一种形式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频率分布及“使用微信交流”赞成人数如下表．
（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；
（2）若从年龄在[55，65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率．
参考数据：
（K2＝，其中n＝a+b+c+d）
19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC1D1；
（2）求证：EF⊥B1C；
（3）求三棱锥的体积．
20．（12分）已知点F1（），圆F2：（x﹣）2+y2＝16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与线段MF2交于点N．
（Ⅰ）求点N的轨迹方程；
（Ⅱ）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，求证直线AB′恒过定点，并求出该定点的坐标．
21．（12分）已知函数．
（1）当m＝0时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若曲线y＝f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y＝f（x）有且只有一个公共点，求实数m的取值范围．
请考生在22，23两道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为（t为参数）．在
以O为极点、x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ＝0
（I）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（a，1），设直线l与曲线C的两个交点为A，B，若|P A|＝3|PB|．求a的值．
[选修4-5；不等式选讲]．
23．已知f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．
（Ⅰ）求f（x）在[﹣1，1]上的最大值m及最小值n；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设a，b∈R，且am+bn＝1，求证：a2+b2≥．
2018年宁夏石嘴山三中高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|2﹣x＞0}，B＝{x|（）x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|0＜x≤2}B．A∩B＝{x|x＜0}C．A∪B＝{x|x ＜2}D．A∪B＝R
【解答】解：集合A＝{x|2﹣x＞0}＝{x|x＜2}，
B＝{x|（）x＜1}＝{x|x＞0}，
则A∩B＝{x|0＜x＜2}，
A∪B＝R．
故选：D．
2．（5分）已知a∈R，复数z1＝2+ai，z2＝1﹣2i，若为纯虚数，则a的值为（）
A．0B．1C．3D．5
【解答】解：∵z1＝2+ai，z2＝1﹣2i，
且为纯虚数，
∴，解得a＝1．
故选：B．
3．（5分）给出下列四个命题：
①若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件；
②若a＞b＞0，d＜c＜0，则ac＞bd；
③“若命题p：∃x0，x02﹣2x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0”
④若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p为真命题，q为假命题．
其中正确命题的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：对于①、若p是q的充分不必要条件，则由p可得q，由q不能推p，
∴q是p的必要不充分条件，故①正确；
对于②、若a＞b＞0，d＜c＜0，则ac＞bd错误，如4＞1＞0，﹣2＜﹣1＜0，而4×（﹣1）＜1×（﹣2）；
对于③、“若命题p：∃x0，x02﹣2x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”，故③错误；
对于④、若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
则p为真命题，q为假命题或是p为假命题，q为真命题，故④错误．
∴正确命题的个数为1．
故选：A．
4．（5分）已知α满足sin sin（）sin（）的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由诱导公式可得sin（）＝sin[﹣（）]＝cos（），∴sin（）sin（）＝sin（）cos（）
＝×2sin（）cos（）＝sin（）
＝cos2α＝（1﹣2sin2α）＝（1﹣2×）＝
故选：D．
5．（5分）已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列命题中错误的是（）
A．若m⊥α、m∥n，n⊂β，则α⊥β
B．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n
C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
D．若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β
【解答】解：在A中，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊂β，则α⊥β，所以A正确；
在B中，若α∥β，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故B正确；
在C中，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故C错误；
在D中，若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，
则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故D正确．
故选：C．
6．（5分）已知正项等差数列{a n}中，若a1+a2+a3＝15，若a1+2，a2+5，a3+13成等比数列，则a10等于（）
A．21B．23C．24D．25
【解答】解：设公差为d，a3＝a1+2d
由a1+a2+a3＝15，即3a2＝15，
∴a2＝5，
∴a1＝5﹣d，a3＝5+d
又a1+2，a2+5，a3+13成等比数列，可得：（a2+5）2＝（a1+2）（a3+13）
∴100＝（7﹣d）（18+d）
解得：d＝2或d＝﹣13
∵等差数列{a n}是正项数列
∴d＝﹣13（舍去）．
∴a1＝3．
a n＝a1+（n﹣1）d．
∴a10＝21
故选：A．
7．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+y2＝1与抛物线y2＝﹣4x的准线相切，则a的值是（）
A．0B．2C．0或1D．0或2
【解答】解：抛物线的准线方程为：x＝1，
∴圆心（a，0）到直线x＝1的距离d＝|a﹣1|＝1，
∴a＝0或a＝2．
故选：D．
8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框
图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）
A．32B．64C．65D．130
【解答】解：模拟程序的运行，可得
n＝4，x＝2，v＝1
满足条件n＞0，执行循环体，v＝6，n＝3
满足条件n＞0，执行循环体，v＝15，n＝2
满足条件n＞0，执行循环体，v＝32，n＝1
满足条件n＞0，执行循环体，v＝65，n＝0
不满足条件n＞0，退出循环，输出v的值为65．
故选：C．
9．（5分）已知平面向量满足，，且与垂直，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵，，且与垂直，
∴（+）•＝+＝9+3•2•cosθ＝0，
求得cosθ＝﹣，∴θ＝，
故选：D．
10．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由双曲线C：x2﹣＝1的右焦点F（2，0），
PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y＝3，
则P（2，3），
∴AP⊥PF，则丨AP丨＝1，丨PF丨＝3，
∴△APF的面积S＝×丨AP丨×丨PF丨＝，
同理当y＜0时，则△APF的面积S＝，
故选：D．
11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有面中，最大面的面积是（）
A．2B．3C．D．2【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥S﹣ABC，
其中SA⊥底面ABC，底面ABC为等腰三角形，AB＝BC，
设M为AC的中点，则BM⊥AC，
由三视图可知SA＝AC＝BM＝2，
∴AB＝BC＝，SB＝3，SC＝2，
∴cos∠BSC＝＝，即∠BSC＝，
∴S
△ABC ＝＝2，S
△SAB
＝＝，S
△SAC
＝＝2，
∴S
△SBC
＝＝3．
故选：B．
12．（5分）设奇函数f（x）在R上存在导函数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）[（1﹣m）3﹣m3]，则实数m的取值范围为（）
A．[﹣]B．（]∪[）
C．[）D．（]
【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣x3，
∵g（﹣x）+g（x）＝f（﹣x）+x3+f（x）﹣x3＝0，
∴函数g（x）为奇函数，
∵x∈（0，+∞）时，
g′（x）＝f′（x）﹣x2＜0，
函数g（x）在x∈（0，+∞）为减函数，
又由题可知，f（0）＝0，g（0）＝0，
所以函数g（x）在R上为减函数，
f（1﹣m）﹣f（m）[（1﹣m）3﹣m3]，即g（1﹣m）≥g（m），
∴1﹣m≤m，
∴m≥．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y+1的最大值为
6．
【解答】解：（如图）作出可行域，
当目标直线过直线x﹣y﹣1＝0与直线y＝1的交点A（2，1）时取最大值，
故最大值为z＝2×2+1+1＝6．
故答案为：6．
14．（5分）甲、乙、丙、丁四人商量去不去看一部电影，他们之间有如下对话：甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去．最终这四人中有人去看了这部电影，有人没去看这部电影，没有去看这部电影的人一定是丁．
【解答】解：由题意，丙去，则甲乙去，丁不去，符合题意
故答案为：丁．
15．（5分）在数列，则数列{b n}
的前n项和为．
【解答】解：∵＝＝
∴＝＝＝
∴S n＝
＝8（1﹣）＝
故答案为：
16．（5分）函数与的图象有n个交点，其坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则＝4．
【解答】解：∵，，
∴两个函数对称中心均为（0，1）；
画图可知共有四个交点，
且关于（0，1）对称，
故．
故答案为：4
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，＝．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求△ABC周长的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵＝，
由正弦定理，得：，
即2sin B cos A＝sin A cos C+sin C cos A，
故2sin B cos A＝sin（A+C）＝sin B，
∵sin B≠0，∴cos A＝，A＝．
（Ⅱ）∵A＝，且，∴bc＝4，
由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc＝4，
∴a≥2，又b+c＝4，当且仅当b＝c＝2时，a的最小值为2，
b+c的最小值为4，则周长a+b+c的最小值为6．
18．（12分）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一种形式，某机构
对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频率分布及“使用微信交流”赞成人数如下表．
（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；
（2）若从年龄在[55，65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率．
参考数据：
（K2＝，其中n＝a+b+c+d）
【解答】解：（1）由以上统计数据填写下面2×2 列联表，如下；
根据公式计算K2＝≈9.98＞6.635，
所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；（2）设年龄在[55，65）中不赞成“使用微信交流”的人为A、B、C，赞成“使
用微信交流”的人为a，b，
则从5人中随机选取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，10个结果；其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，9个结果，所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为．
19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC1D1；
（2）求证：EF⊥B1C；
（3）求三棱锥的体积．
【解答】（1）证明：连接BD1，在△DD1B中，
∵E，F分别为DD1和DB的中点，
∴EF∥D1B，又D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，
∴EF∥平面ABC1D1；
（2）证明：由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，
得B1C⊥AB，B1C⊥BC1，
又∵AB∩BC1＝B，
∴B1C⊥平面ABC1D1，
则B1C⊥BD1，
又∵EF∥BD1，
∴EF⊥B1C；
（3）解：∵CF⊥平面BDD1B1，∴CF⊥平面EFB1，且．
∵，，
，
∴，即∠EFB1＝90°．
∴＝וEF•B1F•CF＝
．
20．（12分）已知点F1（），圆F2：（x﹣）2+y2＝16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与线段MF2交于点N．
（Ⅰ）求点N的轨迹方程；
（Ⅱ）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，求证直线AB′恒过定点，并求出该定点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得|NF1|＝|NM|，∴|NF1|+|NF2|＝|MN|+|NF2|＝4，
又|F1F2|＝2，∴点N的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长等于4的椭圆，
∴点N轨迹方程是＝1．
证明：（Ⅱ）当k存在时，设直线AB：y＝kx+1（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），
联立直线AB与椭圆得，得（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，
∴，∴＝，
∴直线AB′：y﹣y1＝（x﹣x1），
∴令x＝0，得y＝＝＝+1＝2，
∴直线AB′过定点Q（0，2），（当k不存在时仍适合）．
∴直线AB′恒过定点，该定点的坐标Q（0，2）．
21．（12分）已知函数．
（1）当m＝0时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若曲线y＝f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y＝f（x）有且只有一个公共点，求实数m的取值范围．
【解答】（1）由题意知，f（x）＝﹣2x+3+lnx，
所以．…（2分）
令f'（x）＞0得，所以函数f（x）的单调增区间是．…（4分）
（2）由，得f'（1）＝﹣1，又f（1）＝1，
所以曲线y＝f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程为y＝﹣x+2，…（6分）因为l与曲线y＝f（x）有且只有一个公共点，
即关于x的方程有且只有一个解，
即有且只有一个解．…（8分）
令，
则．…（10分）
①m≤0时，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0，得x＞1，
所以函数g（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
又g（1）＝0，故m≤0符合题意；…（11分）
②当0＜m＜1时，由g'（x）＞0，得0＜x＜1或，由g'（x）＜0，得，所以函数g（x）在（0，1）上为增函数，在上为减函数，在上
为增函数，
又g（1）＝0，且当x→∞时，g（x）→∞，此时曲线y＝g（x）与x轴有两个交点，
故0＜m＜1不合题意；…（12分）
③当m＝1时，g'（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上为增函数，且g（1）＝0，故m＝1符合题意；…（13分）
④当m＞1，由g'（x）＞0，得或x＞1，由g'（x）＜0，得，所以函数g（x）在上为增函数，在上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
又g（1）＝0，且当x→0时，g（x）→﹣∞，此时曲线y＝g（x）与x轴有两个交点，
故m＞1不合题意；…（14分）
综上，实数m的取值范围m≤0或m＝1．…（16分）
请考生在22，23两道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为（t为参数）．在
以O为极点、x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ＝0
（I）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（a，1），设直线l与曲线C的两个交点为A，B，若|P A|＝3|PB|．求a的值．
【解答】解：（Ⅰ）直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为（t为参数）．
转化为直角坐标方程为：4x﹣3y﹣4a+3＝0．
曲线C的方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ＝0
转化为直角坐标方程为：y2＝8x．
（Ⅱ）设A、B的两个参数为t1和t2，
则：，整理得：，
所以：．
由，
解得：．
由|P A|＝3|PB|．则：t1＝3t2或t1＝﹣3t2，
当t1＝3t2时，，
解得：．
当t1＝﹣3t2时，，
解得：．
故：．
[选修4-5；不等式选讲]．
23．已知f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．
（Ⅰ）求f（x）在[﹣1，1]上的最大值m及最小值n；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设a，b∈R，且am+bn＝1，求证：a2+b2≥．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．
∴当x≥1时，f（x）＝2x+1+x﹣1＝3x，
当﹣时，f（x）＝2x+1+1﹣x＝x+2，
当x＜﹣时，f（x）＝﹣2x﹣1+1﹣x＝﹣3x．
∴f（x）＝．
∴x∈[﹣1，1]时，f（x）max＝f（1）＝f（﹣1）＝3，f（x）min＝f（﹣）＝．∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值m＝3，最小值n＝．
证明：（Ⅱ）∵am+bn＝3a+，
∴a2+b2＝≥＝．
∴a2+b2≥．。