随机过程平稳过程

2 ( cos (t ) sin t sin (t ) cos t )
2 sin
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第三节 平稳正态过程与正交增量过程 一、平稳正态过程 定义1 若正态随机过程{X (t ) ,t (,) }，满足
E[ X (t )] m
a1 , a2 ,, an 与 1 , 2 ,, n ，有

证
n
n
n
i 1 j 1
B( i j )ai a j 0
n n i 1 j 1
n
Hale Waihona Puke 首页 B(i 1 j 1
n i 1 j 1
n
n
i
j )ai a j E[ X ( i ) X ( j )]ai a j
X (t ) 的自相关函数
BX ( ) E[ X (t ) X (t )]
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E[(U cos (t ) V sin (t )) (U cost V sin t )]
E(U 2 ) cos (t ) cost E(V 2 ) sin (t ) sin t 2 cos
注
说明相关函数B( ) 在 0 时取得最大值
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性质3 证 性质4
B( ) 为偶函数： B( ) B( )
B( ) E[ X (t ) X (t )]
E[ X ((t ) ) X (t )] B( )
B( ) 具有非负定性 即对任意的2n个实数
E[ X (t )] sin 2txdx 0
0
1, f ( x) 0 ,
1
0 x 1
其它
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1
例2中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的
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第二节 平稳过程相关函数的性质
一、自相关函数的性质 性质1 证 性质2 证
B(0) 0
B(0) R(t , t ) E[ X (t )2 ] 0
若令 t ，得
f (t；x) f (0；x) f ( x)
即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关，
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即
F (t；x) F (0；x)
证
二维
对于二维概率密度，有
f (t1 , t 2；x1 , x2 ) f (t1 , t 2 ；x1 , x2 )
则 X (t ) 称为严平稳过程
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二、严平稳过程的特点 1 严平稳过程X (t ) 的一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关， 二维概率密度 f (t1 , t2；x1 , x2 ) 仅与时间差 t1 t 2 有关， 而与时间起点无关。 证 一维 对任意的 ，必有
f (t；x) f (t ；x)
的不相
试讨论它们的平稳性，并求自相关函数与互相 关函数。
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解
因为
E (U ) E (V ) 0
D(U ) D(V ) 2
所以 mX (t ) E[ X (t )] E[U cost V sin t ]
0
mY (t ) E[Y (t )] E[U sin t V cos t ] 0
n
E[ [ X ( i ) X ( j )ai a j ] E[ ( X ( i )ai ) (X ( j )a j )]
E[ ( X ( i )ai ) ] 0
2 i 1
n
i 1
j 1
二、互相关函数性质
对于两个平稳过程，重要的是它们是否平稳相关， 因此先给出平稳相关概念。
注
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例2
设随机序列{ X (t ) sin 2t ， t T }，
其中T={1，2，…} 试讨论随机序列
是在[0，1]上服从均匀分
布的随机变量， 的平稳性。
X (t )
解
的密度函数为
所以
R(t , t )
注
故 X (t ) 是平稳随机序列。
1 ，当 0 sin 2 (t ) x sin 2txdx 2 0 0，当 0
| BXY ( ) |
2
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E[Y (t ) X (t )] BYX ( )
性质7 证
| E[ X (t )Y (t )] |
2
E | X (t ) |2 E | Y (t ) |2 BX (0) BY (0)
性质8 证
2 | BXY ( ) | BX (0) BY (0)
返回首页第一节离散鞅第二节连续时间鞅第三节鞅轨迹的特征第四节鞅举例第五节鞅表示第一节离散鞅一离散鞅的定义及性质定义1离散鞅序列简称为鞅首页无后效性鞅的直观背景解释设想赌徒在从事赌博过程中他在第n年的赌本为表示在已知前n年的赌本的条件下第n1年的平均赌本
第五章 平稳过程
第一节 基本概念
第二节 平稳过程相关函数的性质


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R(t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]





x1 x2 f (t1 , t2；x1 , x2 )dx1dx2
x1 x2 f (；x1 , x2 )dx1dx2
记




B( )
三、宽平稳过程 定义2
设随机过程{X (t ) ， t T }， 如果它满足：
P{X (t1） x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn )} P{X (t1 ） x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn )} F (t1 , t2 ,, tn ；x1, x2 ,, xn )
也是平稳过程。 其相关函数为
BZ ( ) BX ( ) BY ( ) BXY ( ) BYX ( )
若 X (t ) 与Y (t ) 正交（即 E[( X (t1 )Y (t 2 )] 0 ） 首页 BZ ( ) BX ( ) BY ( ) 则
性质10
若平稳过程X (t ) 与Y (t ) 是独立的
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当T为整数集 或 { nt ，n=0,1,2,…}时
则称 X (t ) 为 平稳时间序列
注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。
因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。 注2
宽平稳过程也不一定是严平稳过程。
因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推 移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间 而推移。 注3 利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程 的平稳性。
则积
W (t ) X (t ) Y (t )
也是平稳过程 其相关函数为
BW ( ) BX ( ) BY ( )
例1 设有两个随机过程 X (t ) U cos t V sin t
Y (t ) U sin t V cos t
t
2
其中U和V是均值都为零、方差都为 关随机变量，
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2
若严平稳过程存在二阶矩，则
（1）均值函数为常数：
m(t ) E[ X (t )] m
（2）相关函数仅是时间差
记 证
t1 t2 的函数：
B( ) R(t1 , t2 )


只对连续型的情况
m(t ) E[ X (t )] xf (t；x)dx

xf ( x)dx m
2
R(t , t ) m B( ) m K ( )
2
2

即表示协方差函数仅依赖于 函数相同。

，而与t无关，与相关
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例1
设{ X (t ) ,t T }是相互独立同分布的随机变量序列，
其中 T 0， 1， 2， ， 且均值和方差为
E[ X (t )] 0
（1） X (t ) 是二阶矩过程； （2）均值函数为常数，即 m(t ) E[ X (t )] m
（3）相关函数 R(t1 , t 2 ) 仅依赖 t1 t 2 ，即
R(t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] B( )
则称X (t ) 为宽平稳过程， 简称 平稳过程

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性质5 证 性质6
BXY (0) BYX (0)
BXY (0) E[ X (t )Y (t )] E[Y (t ) X (t )] BYX (0)
BXY ( ) BYX ( )
证
BXY ( ) E[ X (t )Y (t )]
| BXY ( ) |2 BX (0) BY (0)
, T }是两个平稳过程， 定义1 设{ X (t ) ,t T }，{Y (t ) t
如果对于任意的t , T ，有
E[ X (t )Y (t )] BXY ( )
则称 X (t ) 与Y (t ) 平稳相关
注 两个平稳过程当它们的互相关函数仅依赖于 时，它们才是平稳相关的。
同样可求得 BY ( ) 2 cos
故 X (t ) 、Y (t ) 都是平稳过程。
X (t ) 、Y (t ) 的互相关函数为
BXY ( ) E[ X (t )Y (t )]
E[(U cos (t ) V sin (t )) (U sin t V cos t )]
R(t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] B( )
则称 X (t )为平稳正态过程。 注 证 平稳正态过程一定是严平稳过程。 由于
t1 t2
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正态过程 X (t ) 的n维特征函数为
(t1, t2 ,, tn；1, 2 ,, n )
1 n n n expim k K (tk , t1 ) k l 2 k 1 l 1 k 1
第三节 平稳正态过程与正交增量过程 第四节 遍历性定理
第一节 基本概念
一、严平稳过程
定义1
t1，t2 ,, tn T t1 t2 tn 当 t1 ，t 2 ，…， t n T 时，有
设随机过程{X (t ) ,t T }， 若对任意n，任意

F (t1, t2 ,, tn；x1, x2 ,, xn )
由性质7得
| BXY ( ) | BX (0)BY (0)
而有两个数的几何平均值不超过它们的算术平均值得证 1 BX (0) BY (0) ( BX (0) BY (0)) 2 性质9 若平稳过程X (t ) 和Y (t ) 是平稳相关， 则和
Z (t ) X (t ) +Y (t )
| B( ) | B(0)
由许瓦兹不等式得
2
2
| B( ) | | E[ X (t ) X (t )] | 2 2 E[(X (t )) ]E[(X (t )) ] 2 E[ X (t ) X (t )]E[ X (t ) X (t )] [ B(0)]
D[ X (t )]
2
试讨论随机变量序列 X (t ) 的平稳性。 解
E[ X (t )] 0 2，当 0 R(t , t ) E[ X (t ) X (t )] 0，当 0 故 X (t ) 是一个平稳时间序列。
因为 在科学和工程中，例1中的过程称为“白噪 声”，它是实际中最常用的噪声模型。
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因为 均值函数
m(t ) m
协方差函数
K (t , t ) cov[X (t ), X (t )]
E{[ X (t ) m(t )][X (t ) m(t )]}
E{[ X (t ) X (t )] mE[ X (t )] mE[ X (t )] m
由过程的平稳性得
K (tk , tl ) E{[ X (tk ) m][X (tl ) m]}
若令 t 2 ，得
f (t1 , t 2；x1 , x2 ) f (t1 t 2 ,0；x1 , x2 )
f (；x1 , x2 )
同理
其中
t1 t2 t1 t2
有关，
二维分布函数也仅与时间差 而与时间起点无关，即
F (t1 , t 2；x1 , x2 ) F (；x1 , x2 )