通用版高考数学大二轮复习专题突破练24直线与圆及圆锥曲线(理科)

专题突破练24 直线与圆及圆锥曲线
1.(节选)已知圆M:x2+y2=r2(r>0)与直线l1:x-y+4=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于B,且动点N满足=2,设动点N的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)略.
2.(2019甘肃武威第十八中学高三上学期期末考试)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交;
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
3.
已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.
4.(2019全国卷1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x 轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
5.(2019湖南长沙第一中学高三下学期高考一模)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知P为直角坐标平面内一定点,动直线l:y=x+t与椭圆交于A,B两点,当直线PA与直线PB的斜率均存在时,若直线PA与PB的斜率之和为与t无关的常数,求出所有满足条件的定点P的坐标.
6.(2019天津第一中学高三下学期第五次月考)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,且圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)过点P(0,1)的直线l1:y=kx+1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD中点,若△MAB的面积为,求k的值.
参考答案
专题突破练24直线与圆及圆锥曲线
1.解(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AB⊥x轴于B,所以B(x0,0).
已知圆M的方程为x2+y2=r2,由题意得r==2,
所以圆M的方程为x2+y2=4.
由题意,=2,所以(0,-y0)=2(x0-x,-y),即
将A(x,2y)代入圆M:x2+y2=4,得动点N的轨迹方程为+y2=1.
(2)略.
2.(1)证明圆C1的圆心C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心C2(5,6),半径r2=4, 两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,
所以|r1-r2|<d<r1+r2.
所以圆C1和C2相交.
(2)解将圆C1和圆C2的方程相减,得4x+3y-23=0,
所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.
因为圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为d==3,
故两圆的公共弦长为2-=2
3.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=
4.
取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.
所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.
其中a=2,c=,b=1,则曲线Γ的方程为+y2=1.
(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则
设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.
又=1,解得x0=,y0=±
则k OB=±,k AB=,则直线AB的方程为y=±(x-),
即x-y-=0或x+y-=0.
4.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F,
故|AF|+|BF|=x1+x2+,
由题设可得x1+x2=
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=--从而--,得t=-
所以l的方程为y=x-
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.
从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=
故|AB|=
5.解(1)设椭圆的半焦距为c,则c2=a2-b2,且e=
由题意得解得y=±
依题意,=3,结合a2=b2+c2,
解得c=1,a=2,b=
于是椭圆的方程为=1.
(2)设A x1,x1+t,B x2,x2+t,P(m,n).将l:y=x+t代入椭圆方程得x2+tx+t2-3=0.则Δ=t2-4(t2-3)>0,t2<4,
则有x1+x2=-t,x1x2=t2-3.
直线PA,PB的斜率之和
k PA+k PB=--
----
=------
--
=--
-
,
当n=m,2mn=3时斜率的和恒为0,
解得或--
综上所述,所有满足条件的定点P的坐标为1,或-1,-.
6.解(1)因为F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,故当y=0时,x=,即F2(,0),故c=因为圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a,所以点Q(,1)在椭圆上,故有=1.
联立方程组解得所以椭圆方程为=1.
(2)因为直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD的中点,所以QM与直线l2垂直.
又因为直线l1与直线l2垂直,所以QM与直线l1平行.
所以点M到直线AB的距离即为点Q到直线AB的距离.
即点M到直线AB的距离为d=
设点A(x1,y1),B(x2,y2).
联立方程组
解得(1+2k2)x2+4kx-2=0,Δ=b2-4ac=16k2+8(2k2+1)=32k2+8>0,
由韦达定理可得
--
则|x1-x2|=----
所以AB=|x1-x2|=
所以△MAB的面积为
所以
即|k|=,
两边同时平方,化简得,28k4-47k2-18=0,解得k2=2或k2=-(舍).故k=±
此时l2:y=±x+1.
圆心Q到l2的距离h=-
<1成立.
综上所述,k=±。