陕西省咸阳市高三数学上学期摸底考试文试题北师大版

陕西省咸阳市高三数学上学期摸底考试文试题北师大版
题 号
一
二
三
总 分
16
17 18 19 20 21 得 分
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。

1. 函数21
()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为（ ）
A.[2,0)(0,2]-
B.(1,0)
(0,2]- C.[2,2]- D.(1,2]-
2．复数
12i
i +（i 是虚数单位）的虚部（ ） A ．25 B ．25- C ．15 D ．15
-
3．已知函数()2,1,
1,1,
2x
ax x f x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若()04f f a =⎡⎤⎣⎦，则实数a 的值为（ ） A ．12 B ．4
5
C ．2
D ．9
4．下列判断正确的是（ ）
A. 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题
B. 命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”
C. “1sin 2α=
”是“ 6
π
α=”的充分不必要条件 D. 命题“,20x
x ∀∈>R ”的否定是“ 0
0,2
0x x ∃∈≤R ”
5．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝（ ） A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的 图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是图中的（ ）
y=f (x )
A B C D
7．已知偶()f x 函数的定义域为R ，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是（ ）
A. ()f π ＞(3)f - ＞(2)f -
B. ()f π ＞(2)f - ＞(3)f -
C. ()f π＞ (3)f - ＞(2)f -
D. ()f π ＞(2)f - ＞(3)f -
8．某几何体的正视图和侧视图均如图3所示，则该几何体的俯视图不可能是
( )
图3
9．执行如图所示的程序框图，输出的M 的 值为（ ）
A ．17
B ． 485
C ．161
D ．53 10．设a 是1
()ln f x x x
=-的零点，若0＜0x ＜a ， 则0
(
)f x 的值满足（ ）
A ．0
(
)0f x = B ．0
()f x ＜0 C ．0
()f x ＞0 D ．0
()f x 的符
号不确定
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：把答案填在横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。

11．设向量a,b 的夹角为θ，且()()3,321,1--a =,b a =,则=θcos .
开始 M =1 k =0
k = k +1
M = 3M +2
k < 3？ 否
输出M
结束
是
12．在△ABC 中，,1
6
B A
C π
∠=
=,3AB =则BC 的长度为_____
13．已知0,0x y >>，若
2282y x m m x y
+>+恒成立，则实数m 的取值范围是 . 14．设,x y 满足约束条件：,0,1,3,x y x y x y ≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
则2z x y =-的取值范围为
15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A ．（不等式选做题）不等式130x x +--≥的解集是______. B ．(几何证明选做题) 如图，⊙O 的直径AB =6cm ，P 是 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ， 连结AC ，若︒=∠30CAP ，则PC = .
C.(极坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，已知曲线θρcos 2=与直线
3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，则实数a 的值为 ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）。

16．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 满足：14,9625=+=a a a . （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若n a
n n a b 2+=，求数列{}n b 的前n 项和n S .
17．（本小题满分12分）
已知函数x
x
x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。

（1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间.
18．（本小题满分12分）
某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽
取6所学校对学生进行视力调查.
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率.
19．（本小题满分12分）
如图所示，几何体E －ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .
(1)求证：BE ＝DE ；
(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .
20．（本小题满分13分）
如图所示，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，
B 是直线AF 2与椭圆
C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值.
21．（本小题满分14分）
已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2
x 2
－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.
（1）求函数f (x )的单调区间；
（2）若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；
（3）当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，
记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值.
数学（文科）参考答案
11.
10
10
3 12. 1或2 13. ()4,2- 14. ]3,3[- 15.A. }1|{≥x x B. 33 C. 2或8-
三.解答题 16.解：
（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
则由5269,14,a a a =+=得11
49,2614,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,
2.a d =⎧⎨=⎩
所以{}n a 的通项公式2 1.n a n =-
（2）由21n a n =-得21
212n n b n -=-+.
[]()13521135(21)2222n n S n -=+++
+-+++++
()2212
2
2
21222
123
n n n n +--=+
=+
-. 17.解：
（1）由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x ∈R|x≠kπ，k ∈Z}． 因为f(x)＝
sinx －cosx sin2x
sinx
＝2cosx(sinx －cosx)＝sin2x －cos2x －1
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1， 所以f(x)的最小正周期T ＝
2π
2
＝π. （2）函数y ＝sinx 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k ∈Z)．
由2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π
8(k ∈Z)．
所以f(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋3π8，kx ＋7π8(k ∈Z)．
18. 解：
（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
（2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，
大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，
{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种.
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种. 所以P(B)＝315＝1
5.
19.证明：
(1) 证明：取BD 的中点O ，连接CO ，EO.
由于CB ＝CD ，所以CO ⊥BD ，
又EC ⊥BD ，EC∩CO＝C ，CO ，EC ⊂平面EOC ，
所以BD ⊥平面EOC ，因此BD ⊥EO ，
又O 为BD 的中点，所以BE ＝DE. (2)取AB 的中点N ，连接DM ，DN ，MN ， 因为M 是AE 的中点，所以MN ∥BE. 又MN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ， 所以MN ∥平面BEC ，
又因为△ABD 为正三角形，所以∠BDN ＝30°， 又CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，因此∠CBD ＝30°， 所以DN ∥BC.
又DN ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，所以DN ∥平面BEC. 又MN∩DN＝N ，故平面DMN ∥平面BEC. 又DM ⊂平面DMN ，所以DM ∥平面BEC.
20. 解：
（1）由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，
所以e ＝1
2.
（2）a 2＝4c 2，b 2＝3c 2
.
直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c ).
将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2
，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85
c ，－335c .
所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝16
5
c .
由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235
a 2
＝403，
解得a ＝10，b ＝5 3.
21·解：
（1） f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a ).由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0.
↗ ↘ ↗
故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a ). （2）由（1）知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间
(－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪
⎧
f －2＜0，f －1＞0，
f 0＜0，
解得0＜a ＜1
3
.
所以，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13. （3）a ＝1时，f (x )＝13
x 3
－x －1.由（1）知f (x )在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]
上单调递减，在[1,2]上单调递增.
①当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，f (x )在[t ，－1]上单调递增，
在[－1，t ＋3]上单调递减.因此，f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值M (t )＝f (－1)＝－1
3
，而最
小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者.由
f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以
g (t )＝f (－1)－f (t ).而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝－53，所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43. ②当t ∈[－2，－1]时，t ＋3∈[1,2]， 且－1,1∈[t ，t ＋3]. 下面比较f (－1)，f （1），f (t )，f (t ＋3)的大小. 由f (x )在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有 f (－2)≤f (t )≤f (－1). f （1）≤f (t ＋3)≤f （2）.
又由f （1）＝f (－2)＝－53，f (－1)＝f （2）＝－1
3，
从而M (t )＝f (－1)＝－13，m (t )＝f （1）＝－5
3，
所以g (t )＝M (t )－m (t )＝4
3
.
综上，函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值为4
3
.。