黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学(理)试题

绝密★启用前 黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设x ∈R ，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．已知命题“设a 、b 、c R ∈，若22ac bc >，则a b >”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．已知椭圆22:1641C x y +=，则下列结论正确的是（ ） A ．长轴长为12 B ．焦距为4 C ．短轴长为14 D ．离心率为2 4．命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是（ ） A.(),0x ∃∈-∞，30x x +< B.(),0x ∀∈-∞，30x x +≥ C.[)00,∃∈+∞x ，2000+<x x D.[)00,∃∈+∞x ，2000x x +≥ 5．已知椭圆2212516x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，斜率不为0的直线l 过点1F ，且交椭圆于A ，B 两点，则2ABF 的周长为（ ）． A.10 B.16 C.20 D.25
…………………线…………○…………………线…………○6．方程0x y +=对应的曲线是（ ） A. B. C. D. 7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，是下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则n β⊥ D ．若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥
8．若命题p ：0x ∃∈R ，2
0010x x -+≤，命题q ：0x ∀<，x x >.则下列命题中是
真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()p q ∧⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．()()p q ⌝∧⌝
9．若过椭圆2
2
142x y +=内一点()1,1P 的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）
A.210x y -+=
B.230x y --=
C.230x y +-=
D.230x y ++= 10．设椭圆C ：22
194x y +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与C 在
第一象限的交点为P ，则直线1PF 的斜率为（ ）
A.13
B.1
2 11．如图，已知点P 在焦点为1F 、2F 的椭圆上运动，则与12PF F ∆的边2PF 相切，且与边12F F ，1F P 的延长线相切的圆的圆心M 的轨迹是（ ）
A.一条直线
B.一个圆
C.一个椭圆
D.一个半圆
12．已知过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点且斜率为b a 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点.若椭圆上存在一点P ，使四边形OAPB 是平行四边形（其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A.2 D.12
第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．设椭圆()222210y x a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F ，2F ，右顶点为B .若2122BF F F ==，则该椭圆的标准方程为__________．
14．已知命题p ：[]0,3x ∀∈，220x x a ---≤是真命题，则实数a 的取值范围是________．
15．过椭圆2
2
12516x y +=的中心作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，
则PQF ∆周长的最小值是______．
16．已知1F ，2F 分别为椭圆的()222210x y a b a b +=>>左、右焦点，若直线2a x c =上存在点P ，使12PF F ∆为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是________．
三、解答题
17．已知 ， ，其中 .
（1）若 ，且 为真，求 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
18．已知焦点在x 轴上的椭圆经过点3M ⎭
，焦距为（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P 是椭圆C 上的任意点，求点P 到直线l ：40x y +-=距离的最大值.
19．点(),M x y 与定点()3,0F -的距离和它到直线l ：25
3x =-的距离的比是常数3
5.
（1）求动点M 的轨迹C 的方程；
（2）点P 在（1）中轨迹C 上运动PD x ⊥轴，D 为垂足，点N 满足54DN DP =uuu r uu u r ，求N 点轨迹方程.
22x y 1
连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为（1）求椭圆C 的标准方程； （2）设A 、B 是直线l ：4x =上的不同两点，若120AF BF ⋅=uuu r uuu r ，求AB 的最小值． 21．M ：()224914x y ++=的圆心为M ，N e ：()22114x y -+=的圆心为N ，一动圆与圆M 内切，与圆N 外切． （1）求动圆圆心P 的轨迹C 的方程；
（2）直线l 过()1,0F 与（1）中所求轨迹C 交于A 、B 不同两点，B 点关于x 轴对称点为点Q ，直线AQ 是否恒过定点，若过定点求出该点坐标，否则，说明理由. 22．已知椭圆()222:102x y C a b a b +=>>的右焦点为(),0F c ,点P 为椭圆C 上的动点，若PF 的最大值和最小值分别为2和2. (I)求椭圆C 的方程 (Ⅱ)设不过原点的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点,若直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列,求OPQ ∆面积的最大值
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.
【详解】 21121,13x x x -<∴-<-<<<,又()
1,2()1,3，所以“12x <<”是“21x -<”
的充分不必要条件，选A.
【点睛】
充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
2．B
【解析】
试题分析：由题意得，命题命题“设a 、b 、c R ∈，若22ac bc >，则a b >”为真命题，所
以它的逆否命题也为真命题；又由原命题的逆命题为“设a 、b 、
c R ∈，若a b >，则22ac bc >”为假命题，所以它的否命题也为假命题，所以在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有一个，故选B ．
考点：四种命题的真假的判定．
3．D
【解析】
【分析】
将椭圆化为标准方程，根据方程可求得a 、b 、c 的值，求椭圆的离心率，进而判断各选项。

【详解】
由椭圆方程221641x y +=化为标准方程可得22
111
164
x y +=
所以11,,244
a b c === 长轴为21a =
，焦距2c =，短轴122b =
，离心率c e a == 所以选D
【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程及a 、b 、c 的含义，椭圆离心率的求法，属于基础题。

4．C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题，再否定结论，可选出答案。

【详解】
命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是[)00,∃∈+∞x ，2000+<x x
故选C
【点睛】
本题考查全称命题的否定，注意区分命题的否定与否命题，命题的否定只否结论，否命题条件结论都要否。

属于基础题。

5．C
【解析】
由题意可得5a =，2ABF 周长221122C AB AF BF AF BF AF BF =++=+++
1212()(+)AF AF BF BF =++420a ==.故选C ．
点睛：本题考查椭圆的定义；在解决过椭圆或双曲线的两焦点的弦长问题时，往往要利用椭圆或双曲线的定义进行处理，如本题中利用椭圆的定义将求三角形的周长转化为A ，B 到椭圆的两个焦点的距离的和.
6．D
【解析】
x y
+=化简为22
+=4,0,0
x y x y
≥≥，即可选出答案。

【详解】
22
22
22
,0
+=4
0+=4,0,0
,0
+=4
x x
x y
x y x y x y
y
x y
y
⎧≥
⎧
⎪
+-=⇔⇔⇔≥≥
⎨⎨
≥
⎩
⎪⎩
故表示的为曲线为22
+=4
x y在第一象限的部分。

故选D
【点睛】
本题考查函数的的图像，正确化简等式是解本题的关键，属于基础题。

7．D
【解析】
【分析】
根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果.
【详解】
A选项，若//
mα，//
nα，则,m n可能平行、相交、或异面；故A错；
B选项，若//
αβ，mα
⊂，nβ
⊂，则,m n可能平行或异面；故B错；
C选项，若m
αβ=，n⊂α，n m
⊥，如果再满足αβ
⊥，才会有则n与β垂直，所以
n与β不一定垂直；故C错；
D选项，若mα
⊥，//
m n，则nα
⊥，又nβ
⊂，由面面垂直的判定定理，可得αβ
⊥，
故D正确.
故选D
【点睛】
本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.
8．C
【解析】
【分析】
先判断命题p和q的真假，再判断选项得解.
对于命题p,220001
31=()024
x x x -+-+>,所以命题p 是假命题，所以p ⌝是真命题； 对于命题q, 0x ∀<，x x >,是真命题.
所以()p q ⌝∧是真命题.
故选：C
【点睛】
本题主要考查复合命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9．C
【解析】
【分析】
设出端点，代入椭圆，两式作差，变形，即可得到直线的斜率，再由点斜式写出直线即可。

【详解】
设弦两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，则221122221? 421? 4
2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①-②得1212121212()2y y x x k x x y y -+==-=--+ 即直线为11(1)2
y x -=-- 化简得+230x y -=
故选C
【点睛】
本题考查根据椭圆中弦的中点求弦所在的直线，解决本类题的思路是点差法：设点-作差-变形，根据中点坐标，即可求出所在直线的的斜率，即可写出直线，属于基础题。

10．B
【解析】
【分析】
由题意知12PF PF ⊥,要求直线1PF 的斜率，即求12tan PF F ∠，又2121
tan =PF PF F PF ∠，即
在12Rt PF F ∆中求出12,PF PF ，即可得到答案。

【详解】
因为点P 为以12F F 为直径的圆与C 在第一象限的交点，所以12PF PF ⊥, 设21=,,PF PF m n m n =>
则在12PF F ∆中有222
26(2)20m n a m n c +==⎧⎨+==⎩ 解得4
2m n =⎧⎨=⎩
所以1121
tan 2
PF n k PF F m =∠== 故选B 【点睛】
本题考查根据椭圆的定义求直线的斜率。

熟练掌握椭圆的定义，解出所需量属于本题的关键，属于中档题。

11．A 【解析】 【分析】
设出圆与三角形三边长及其延长线的切点，利用切线定理得到线段的相等关系，最后转化为线段1F A 的长度为定值，说明切点为定点A,由此可得结论。

【详解】
如图所示：
设圆M 与1212,,F F F P PF 分别相切于,,A B C 由切线定理得: 2211,,PB PC F A F C F B F A === 因为P 在椭圆上
12PF PF ∴+=定值2a
∵111122F B F A F P PB F F F A
+=+++
121222F P F P F F a c =++=+为定值 11BF AF a c ∴==+
∴切点(,0)A a
∴M 在过A 垂直于椭圆所在轴的直线上. 【点睛】
本题考查了椭圆的轨迹问题，椭圆的第一定义，考查了等价转化思想方法，属于中档题。

12．A 【解析】 【分析】
根据题意写出直线l ：()b
y x c a =
+，再与椭圆联立可得12x x c +=-，12c y y b a
+=，即可求出(,)P c bc
a
-，再将P 点代入椭圆，即可解出答案。

【详解】
由题意知直线l ：()b y x c a =+ ，联立()b y x c a =+与22
221x y a b
+=
消y 得22
220x cx b +-= ，2
1212,2
b
x x c x x +=-⋅=- ， 1212(2)y y x b bc c a a
x +=
++=， 所以线段AB 的中点为()2,2bc c a
-
，故点(,)P c bc
a -，
将(,)P c bc a -代入椭圆得：2
2
22
1bc c a a b
⎛⎫
⎪⎝⎭+=22222121c c e a a ⇒+=⇒=
解得2
e = 故选A 【点睛】
本题考查根据椭圆与直线的位置关系求椭圆的离心率，解本题的关键在于利用平行四边形的
性质利用,,a b c 表示出点P ，属于中档题。

13．22
143
y x +=
【解析】 【分析】
根据题意知2a =，1c =再由222b a c =-即可写出答案。

【详解】
由2122BF F F ==知22a c ==,即2a =，1c =，222
3b a c =-=
故椭圆的标准方程为22143y x +=
故填22
143
y x +=
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，熟练掌握椭圆中各线段的值，是解本题的关键，属于基础题。

14．[
)4,+∞ 【解析】 【分析】
命题p 是真命题等价于[]0,3x ∈在()
2
max
2
0x x a ---≤，转化为求二次函数在定区间上
的最大值，根据二次函数在对称轴两边的单调性即可找到其最大值，即可解出答案。

【详解】
记2
()2f x x x a =---，[]0,3x ∀∈，220x x a ---≤是真命题
即[]0,3x ∀∈，()0f x ≤恒成立，即max ()0f x ≤
又函数2
()2f x x x a =---，对称轴为12
x =
所以()f x 在1
[0,]2 单调递减，在1[3]2
，
单调递增， 根据二次函数的对称性知道max ()=(3)=404f x f a a -≤⇒≤
故填[
)4,+∞ 【点睛】
本题综合考查命题、二次函数在定区间上的最值求法、恒成立问题。

使用了转化思想，属于基础题。

15．18 【解析】 【分析】
记椭圆的另一个焦点为1F ，则1QF PF =，由1+2PF PF a =，PQ 2b ≥，即可求出
PQF ∆周长的最小值。

【详解】
如图所示，记椭圆的另一个焦点为1F ，
则根据椭圆的对称性知道:1QF PF = ，2PQ PO =,
设(cos ,sin )P a b θθ ，则2
22222222=cos +sin =()cos +PO a b a b b θθθ-， 又因为220a b ->，2cos 0θ≥，
所以2
2PO b ≥，即PO b ≥，22PQ PO b =≥。

所以PQF ∆的周长为
122210818QF PF PQ PF PF PQ a PQ a b ++=++=+≥+=+=
故填18 【点睛】
本题考查椭圆内焦点三角形的周长的最值问题，熟练掌握椭圆的第一定义是解本题的关键，属于基础题。

16．⎫⎪⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
首次按判断出12PF F ∆为等腰三角形只可能212PF F F =，
再利用直线2a x c
=与x 轴的交点A 、P 点、2F 点构成的三角形中22PF AF >，即可解出椭圆离心率的范围
【详解】
12PF F ∆为等腰三角形，只可能212PF F F =
即22PF c =，
又因为点P 在直线2a x c =上，即222221332a c c PF c a e e c -⇒>⇒>⇒>
=>又因为椭圆1e <
所以,13e ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
故填3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查椭圆的离心率的取值范围，找到直线2a x c
=与x 轴的交点A 、P 点、2F 点构成
的三角形中22PF AF >，是解本题的关键，属于中档题。

17．（1） ；（2）
．
【解析】 试题分析：（1）
为真时的条件,当且仅当
与都为真时才为真；（2）判断充分不必
要条件时,如果无法进行正面判断,则可以使用其逆否命题进行判断,然后转化为集合之间的包含关系,得出答案．
试题解析：解：（1）由 ，解得 ，所以 又 ，因为 ，解得 ，所以 ．
当 时， ，又 为真， 都为真，所以 ． （2）由 是 的充分不必要条件，即 ⇒ ，
，其逆否命题为
，
由（1） ， ，所以
，即
．
考点：1．一元二次不等式．2．命题及其关系．3．充分必要条件．
【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意 ⇒ 时，
是的充分条件，是
的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化,进而成为 命题所表示的范围间的大小关系,转化为集合的问题．另外需注意等号的取舍．
18．（1）2
213
x y +=；
（2
）max d = 【解析】 【分析】
（1）设出椭圆的标准方程，根据条件写出方程组，即可解出223
1
a b ⎧=⎨=⎩，即可得出答案。

（2）设出点P
的参数方程，再利用点到直线的距离公式d =
，化简即可求出
max d 。

【详解】
（1）设椭圆为()22
2210x y a b a b +=>>
，则2c c ==
将点M ⎭
代入有：
222
2
2
21
13a b a b ⎧-=⎪
⎨+=⎪⎩ 解得2231a b ⎧=⎨=⎩
即椭圆为2
213
x y +=
（2
）设,sin )P θθ，则
60)4
d -
=
=
≤
=
所以点P 到直线l ：40x y +-=距离的最大值为【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，椭圆上动点到定直线的距离的最大值，熟练掌握椭圆的参数方程与点到直线的距离公式，是解本题的关键。

属于基础题。

19．（1）2212516x y +=；（2）2225x y +=
【解析】 【分析】
（1）根据题意用,x y 表示出MF 与d ，再代入
3
5
MF d =，再化简即可得出答案。

（2）设(,
)N x y ，利用,x y 表示出点P ，再将点P 代入椭圆，化简即可得出答案。

【详解】
（1）由题意知MF =
，253
d x =+
所以3
5MF d ==化简得：22
12516x y +=
（2）设(,)N x y ，因为54
DN DP =uuu r uu u r ，则4
(,)5P x y
将4(,)5
P x y 代入椭圆得2
2
4512516y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
+= 化简得2
2
25x y += 【点睛】
本题考查轨迹方程，一般求某点的轨迹方程，只需要设该点为(,)x y ，利用所给条件建立,x y 的关系式，化简即可。

属于基础题。

20．（1）22
143
x y +=；
（2
）【解析】 【分析】
（1）由题意建立关于,,a b c 的方程组，解出方程组即可得出答案. （2）根据题意设()14,A y 、()24,B y ，利用120
AF BF ⋅=可得到21
15
y y =-，再代入12AB y y =-，即可解出其最小值。

【详解】
（1
）由题意知2222212
412232c a a a b b a b c
⎧
=⎪⎧⎪
=⇒⎨⎨⨯⨯==⎩⎪⎪=+⎩
所以椭圆的标准方程为：22
143
x y +=
（2）由（1）知，1F 、2F 的坐标分别为()11,0F -、()21
,0F ，设直线l ：4x =上的不同两点A 、B 的坐标分别为()14,A y 、()24,B y ，则()115,AF y =--、()223,BF y =--，由
120AF BF ⋅=得12150y y +=，即21
15
y y =-
，不妨设10y >
，则1211
15
AB y y y y =-=+
≥
1y =
2y =时取等号，所以AB 的最小
值是. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，与椭圆有关的线段的最值。

解本类题需熟练掌握椭圆中,,a b c 的关系，与离心率的定义，最值的求法：一般式设点，建立等式，再利用函数的性质求其最值，属于中档题。

21．（1）22143
x y +=；
（2）定点()4,0
【解析】 【分析】
（1）设出圆心P ，根据题意写出等式，化简即可得出答案。

（2）设直线为(1)y k x =-，1122(,),(,),A x y B x y 22(,)Q x y -，联立直线可得到
221212228412,4343k k x x x x k k -+=⋅=++，122643k y y k -+=+，12x x -=，代入直线
AQ :12
1112
()y y y y x x x x +-=--，根据11(1)y k x =- ，1x =，化简即可得出答案。

【详解】
（1）设(,)P x y ，圆P 的半径为R ,由题意有7
2
PM R =
=
- ,
1
2
PN R =
=
+
消R 4=，化简得22
143
x y +=
（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 为：(1)y k x =- ，1122(,),(,)A x y B x y ，22(,)Q x y -
令12x x > 联立椭圆22
143
x y +=，得2222(43)84120k x k x k +-+-= ，
则22121222
8412
,4343
k k x x x x k k -+=⋅=++ ，121226(2)43k y y k x x k -+=+-=+，
12243
x x k -==
+
12
12=
AQ y y k x x +=-
所以直线AQ 为:
11)y y x x -=
- ,又11(1)y k x =- ，1
x =
代入化简得
)y x =
-，
直线AQ 恒过定点()4,0。

当直线l 斜率不存在时，直线l 为：1x =，则3
3(1,),(1,)22A B -，3(1,)2
Q ，点,A Q 重合。

综上所述直线AQ 恒过定点()4,0。

【点睛】
本题考查轨迹方程，椭圆中直线过定点，一般圆锥曲线中关于直线过定点，都需要设出参数，利用参数表示出直线，再根据直线的性质说明直线过定点。

属于难题。

22．(1) .
(2)1. 【解析】
分析：第一问根据椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是a c +和a c -，结合已知条件，建立关于,a c 的方程组，从而求得,a c 的值，借助于椭圆中,,a b c 之间的关系，求得2b 的值，从而求得椭圆的方程；第二问设出直线的方程，将其与椭圆联立，写出两根和与两根积，根据条件，确定出斜率的值，之后将面积转化为关于b 的式子，利用二次函数的最值求得结果. 详解：（I ）由已知得：
椭圆方程为
（II ）设（易知存在斜率，且），设
由条件知：
联立(1)(2)得：
点到直线的距离
且
所以当时：
.
点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，在求解的过程中，需要明确椭圆上的动点到
a b c三者焦点的距离的最大值和最小值分别是谁从而求得有关参数的值，并且应用椭圆中,,
之间的关系，求得b的值，从而确定出椭圆的方程；之后利用直线与椭圆相交问题就需要联立方程组，需要有两个交点，从而判别式大于零这个条件不能忽视，之后借用韦达定理求得两根和与两根积，结合题的条件，最后将面积转化为b的关系，借助于二次函数的最值来求的最后的结果.。