2019-2020新课程同步人教A版高中数学必修第一册新学案课件：3.2 3.2.2 奇 偶 性

由于 f(x)是奇函数，故 f(x)＝－f(－x)， 所以 f(x)＝－x2－2x－3. 即当 x<0 时，f(x)＝－x2－2x－3.
x2－2x＋3，x>0， 故 f(x)＝0，x＝0，
－x2－2x－3，x<0.
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[方法技巧] 利用函数奇偶性求函数解析式 3 个步骤
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[典例 1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x23＋x 3；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2xx2＋＋12x. [解] (1)f(x)的定义域是 R ， 又 f(－x)＝－3x－2＋x 3＝－x23＋x 3＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
x2＋2x＋3，x＜0， 2．已知函数 f(x)＝0，x＝0，
－x2＋2x－3，x＞0，
试判断函数 f(x)的
奇偶性．
解：函数 f(x)的定义域为 R ，关于原点对称．
当 x＜0 时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝ －x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)； 当 x＝0 时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)； 当 x＞0 时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3 ＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)．
∴f(x)是 R 上的奇函数．
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题型二 奇、偶函数的图象 [学透用活]
(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴 对称．
(2)函数奇偶性反映到图象上是图象的对称性，因而当问 题涉及奇函数或偶函数时，不妨利用图象的对称性来解决， 或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律等．
(3)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函 数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
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[典例 2] 已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象， 如图所示．
(1)请补出完整函数 y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数 y＝f(x)的增区间； (3)根据图象写出使 f(x)＜0 的 x 的取值集合．
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[对点练清] 1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)
①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝x12；
④f(x)＝x＋1x；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]． 解析：对于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；
对于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；
(2)若函数 f(x)＝ax2＋(b－1)x＋3a＋b 是偶函数，定义域为 [a－1,2a]，则 a＋b＝________.
[解析] (1)因为 f(x)是奇函数，所以 f(－3)＝－f(3)＝－6，所 以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得 a＝5.
(2)因为定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以(a－1)＋2a＝0. 解得 a＝13.所以 f(x)＝13x2＋(b－1)x＋1＋b. 又因为 f(－x)＝f(x)，所以13x2－(b－1)x＋1＋b＝13x2＋(b－1)x ＋1＋b.由对应项系数相等得－(b－1)＝b－1.所以 b＝1.所以 a＋b ＝13＋1＝43. [答案] (1)5 (2)43
＝－(22－2×2＋3)＝－3. 2．[变条件]若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，
求当 x<0 时，f(x)的解析式． 解：当 x<0 时，－x>0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于 f(x)是偶函 数，故 f(x)＝f(－x)，所以 f(x)＝x2＋2x＋3， 即当 x<0 时，f(x)＝x2＋2x＋3.
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪 个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式； (3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x)．
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[对点练清] 1．[变设问]本例条件不变，求 f(－2)的值．
解：因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(－2)＝－f(2)
判断函数奇偶性的方法
根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：
①判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称， 则函数 f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．
②验证．f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)． ③下结论．若 f(－x)＝－f(x)，则 f(x)为奇函数； 若 f(－x)＝f(x)，则 f(x)为偶函数； 若 f(－x)≠－f(x)，且 f(－x)≠f(x)，则 f(x)为非奇非偶函数．
பைடு நூலகம்
[对点练清] 1．[变结论]本例条件下，f(x)取何值时，有四个不同的 x 值
与之对应？ 解：结合图象可知，f(x)的取值范围是(－1,0)．
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2．[变条件]若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他 条件不变，如何解答本题？ 解：(1)由题意作出函数图象如图所示．
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(2)图象法：
(3)性质法： 设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共 定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝ 偶，奇×偶＝奇． [提醒] 分段函数奇偶性的判断，要分别从 x>0 或 x<0 来 寻找等式 f(－x)＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两 个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
所以 f(x)－g(x)＝－2x＋x2，
②
(①＋②)÷2，得 f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得 g(x)＝2x.
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题型四 利用函数奇偶性求参数值 [学透用活]
[典例 4] (1)已知 y＝f(x)是奇函数，当 x＜0 时，f(x)＝x2＋ ax，且 f(3)＝6，则 a 的值为________．
对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－1x2＝x12
＝f(x)，则为偶函数；
对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－1x＝
－f(x)，则为奇函数；
对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，
则为非奇非偶函数．
答案：②③
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[对点练清] 1．函数 f(x)＝x2＋ax 是偶函数，则 a＝________.
解析：因为 f(x)是偶函数， 所以 f(－x)＝f(x)，即 x2－ax＝x2＋ax. 由对应项系数相等，得 a＝0. 答案：0
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2．已知函数 f(x)＝xa2x＋2＋x，bx，x≤x＞0，0 为奇函数，则 a－b＝ ________. 解析：由题意知ff21＝＝－－ff－－21，， 则a4＋a＋b＝2b＝0，－2， 解得ab＝＝－1. 1， 当 a＝－1，b＝1 时，经检验知 f(x)为奇函数，故 a－b＝－2. 答案：－2
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3．函数 y＝f(x)，x∈[－1，a](a＞－1)是奇函数，则 a 等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．无法确定
解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，
即 a＝1.
答案：C
4．若 f(x)为 R 上的偶函数，且 f(2)＝3，则 f(－2)＝________.
()
(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就
是偶函数．
()
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
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2．下列函数是偶函数的是
A．y＝x
B．y＝3x2
C．y＝x－1
D．y＝|x|(x∈[0,1])
()
解析：选项 A、C 中的函数是奇函数，选项 B 中的函数是 偶函数，选项 D 中的函数既不是奇函数，也不是偶函数． 答案：B
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[解] (1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使 f(x)＜0 的 x 的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．
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[方法技巧]
1．巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性； (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象；
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[方法技巧] 利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数 f(x)的定义域为[a，b]， 根据定义域关于原点对称，利用 a＋b＝0 求参数．
(2)解析式含参数：根据 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)列 式，比较系数即可求解．
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3．设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝2x＋x2，
求函数 f(x)，g(x)的解析式．
解：因为 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以 f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由 f(x)＋g(x)＝2x＋x2.
①
用－x 代替 x 得 f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
解析：∵f(x)为 R 上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3. 答案：3
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题型一 函数奇偶性的判断 [学透用活]
函数奇偶性的三个关注点 (1)若奇函数在原点处有定义，则必有 f(0)＝0，有时可以用 这个结论来否定一个函数为奇函数； (2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)＝0， x∈D，其中定义域 D 是关于原点对称的非空集合； (3)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、 非奇非偶函数．
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(－∞，0] (或[0，＋∞))上对应的函数图象．
2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解 不等式问题． (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象 直接观察．
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定义域特征
关于 原点 对称
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(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)f(x)是定义在 R 上的函数，若 f(－1)＝f(1)，则 f(x)一定是偶
函数．
()
(2)对于函数 y＝f(x)，若存在 x，使 f(－x)＝－f(x)，则函数
y＝f(x)一定是奇函数．
()
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．
(2)观察图象，知 f(3)<f(1)．
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题型三 利用函数的奇偶性求解析式 [学透用活]
[典例 3] 若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)
＝x2－2x＋3，求 f(x)的解析式． [解] 当 x<0 时，－x>0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
(2)f(x)的定义域是 R ， 又 f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． (3)∵函数 f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于 原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
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[方法技巧]
(1)定义法：
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(一)教材梳理填空
偶函数
奇函数
一般地，设函数 f(x)
一般地，设函数 f(x)的定义
的定义域为 I，如果
定义
域 有－为x∈I ，I，如且果f(∀－xx∈)＝I ，f(x都)，∀ 且x∈f(－I，x都)＝有－－f(xx)∈，那I ，
那么函数 f(x)叫做偶函数
么函数 f(x)叫做奇函数
(2)据图可知，单调增区间为(－1,1)． (3)据图可知，使 f(x)＜0 的 x 的取值集合为(－2,0)∪(2，＋∞)．
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3．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数 f(x)是奇函数，其部分图象 如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数 f(x)的图象； (2)比较 f(1)与 f(3)的大小． 解：(1)由于 f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象 如图所示．