加格达奇区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

加格达奇区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知集合},052|{2
Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （ ） A ．1- B ． C ．1-或 D ．1-或2- 2． 已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（ ）
A ．（x ≠0）
B ．（x ≠0）
C ．
（x ≠0）
D ．
（x ≠0）
3． 函数y=2x 2﹣e |x|
在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 函数y=的定义域为（ ）
A ．（，1）
B ．（，∞）
C ．（1，+∞）
D ．（，1）∪（1，+∞）
5． 已知幂函数y=f （x ）的图象过点（，），则f （2）的值为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．2
D ．﹣2
6． 在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=﹣24，a 10+a 11+a 12=78，则此数列前12项和等于（ ）
A ．96
B ．108
C ．204
D ．216
7． “2
4
x π
π
-
<≤
”是“tan 1x ≤”的（ ） A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性. 8． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ） A ．（4，1，1） B ．（﹣1，0，5）
C ．（4，﹣3，1）
D ．（﹣5，3，4）
9． 如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个 圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
π
1
B ．π21
C ．π121-
D ．π2141-
【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度． 10．函数y=log 3|x ﹣1|的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．“3<-b a ”是“圆05622
2=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．
12．已知函数f （x ）满足：x ≥4，则f （x ）
=；当x ＜4时f （x ）=f （x+1），则f （2+log 23）=（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
二、填空题
13．下列命题：
①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数；
②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点；
D
A
B
C
O
③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，S n 最大值为S 5； ④在△ABC 中，A ＞B 的充要条件是cos2A ＜cos2B ；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强． 其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．
14
．已知线性回归方程
=9，则b= ．
15．直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1，3），则l 1与l 2的夹角的正切值等于 _________ 。

16．图中的三个直角三角形是一个体积为20
的几何体的三视图，则h =__________.
17．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数()2,0,{,0x x x f x x lnx x a
+≤=->在其定义域上恰有两
个零点，则正实数a 的值为______．
18．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视如图是一个圆，那么该几何体的体积是
．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立
平面直角坐标系，直线的参数方程是243x t
y t
=-+⎧⎨
=⎩（为参数）.
（1）写出曲线C 的参数方程，直线的普通方程； （2）求曲线C 上任意一点到直线的距离的最大值.
20．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=10． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）求数列{}的前n 项和．
21．（本题12分）如图，D 是Rt BAC ∆斜边BC 上一点，AC =. （1）若22BD DC ==，求AD ； （2）若AB AD =，求角B .
22．已知正项数列{a n }的前n 项的和为S n ，满足4S n =（a n +1）2． （Ⅰ）求数列{a n }通项公式； （Ⅱ）设数列{b n }满足b n
=（n ∈N *
），求证：b 1+b 2+…+b n
＜．
23．（本小题满分12分）已知过抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点，
斜率为的直线交抛物线于11A x y （，） 和22B x y （，）（12x x ＜）两点，且9
2
AB =
． （I ）求该抛物线C 的方程；
（II ）如图所示，设O 为坐标原点，取C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与C 相交另外一点R ， 求该圆面积的最小值时点S 的坐标．
24．如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C的短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P，M，N椭圆C上的三个动点．
（i）若直线MN过点D（0，﹣），且P点是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值；
（ii）试探究：是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
加格达奇区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D 【解析】
试题分析：由{}
{}1,2,025
,0522--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=， 又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ． 考点：交集及其运算． 2． 【答案】B
【解析】解：∵△ABC 的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，
∵12＞8
∴点A 到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A 的轨迹是椭圆， ∵a=6，c=4
∴b 2
=20，
∴椭圆的方程是
故选B ．
【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．
3． 【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=y=2x 2
﹣e |x|
，
∴f （﹣x ）=2（﹣x ）2﹣e |﹣x|=2x 2﹣e |x|
，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e 2
∈（0，1），故排除A ，B ；
当x ∈[0，2]时，f （x ）=y=2x 2﹣e x
， ∴f ′（x ）=4x ﹣e x
=0有解，
故函数y=2x 2﹣e |x|
在[0，2]不是单调的，故排除C ，
故选：D
4． 【答案】A
【解析】解：由题意知log 0.5（4x ﹣3）
＞0且4x ﹣3＞0，
由此可解得，
故选A ．
5． 【答案】A
【解析】解：设幂函数y=f （x ）=x α，把点（，
）代入可得=
α
，
∴α=，即f （x ）=，
故f （2）=
=
，
故选：A ．
6． 【答案】B
【解析】解：∵在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=﹣24，a 10+a 11+a 12=78， ∴3a 2=﹣24，3a 11=78，解得a 2=﹣8，a 11=26， ∴此数列前12项和=
=6×18=108， 故选B ．
【点评】本题考查了等差数列的前n 项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．
7． 【答案】A
【解析】因为tan y x =在,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，且24x ππ-<≤，所以tan tan 4x π≤，即tan 1x ≤.反之，当
tan 1x ≤时，24k x k πππ-<≤+π（k Z ∈），不能保证24x ππ-<≤，所以“24
x ππ
-<≤”是“tan 1x ≤”
的充分不必要条件，故选A. 8． 【答案】C
【解析】解：设C （x ，y ，z ），
∵点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C ，
∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，
∴C （4，﹣3，1）． 故选：C ．
9． 【答案】C
【解析】设圆O 的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC 中研究问题，过两个半圆的交点分别向OA ，OC 作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为
12
-π
，扇形OAC 的面积为π，所求概率为π
π
π
12112
-=
-=P ． 10．【答案】B
【解析】解：当x ﹣1≥0时，即x ≥1时，函数 y=log 3（x ﹣1），此时为增函数， 当x ﹣1＜0时，即x ＞1时，函数 y=log 3（1﹣x ），此时为减函数， 故选：B
【点评】本题考查了复合函数的单调性和函数图象的识别，属于基础题．
11．【答案】A 【
解
析
】
12．【答案】A
【解析】解：∵3＜2+log 23＜4，所以f （2+log 23）=f （3+log 23） 且3+log 23＞4
∴f （2+log 23）=f （3+log 23）
=
故选A ．
二、填空题
13．【答案】 ②③④⑤
【解析】解：①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数，不正确，取x=
，
，但是
，
，因此不是单调递增函数；
②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点，正确；
③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，∴
=5（a 6+a 5）＞0，
=11a 6＜0，
∴a 5+a 6＞0，a 6＜0，∴a 5＞0．因此S n 最大值为S 5，正确；
④在△ABC 中，cos2A ﹣cos2B=﹣2sin （A+B ）sin （A ﹣B ）=2sin （A+B ）sin （B ﹣A ）＜0⇔A ＞B ，因此正确；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确． 其中正确命题的序号是 ②③④⑤．
【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
14．【答案】 4 ．
【解析】解：将代入线性回归方程可得9=1+2b ，∴b=4
故答案为：4
【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．
15．【答案】
【解析】设l 1与l 2的夹角为2θ，由于l 1与l 2的交点A （1，3）在圆的外部， 且点A 与圆心O 之间的距离为OA==
，
圆的半径为r=
，
∴sin θ==，
∴cos θ=，tan θ==，
∴tan2θ===， 故答案为：。

16．【答案】
【解析】 试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA ⊥底面ABC ，且ABC ∆为直角三角形，且
5,,6AB VA h AC ===，所以三棱锥的体积为115652032
V h h =⨯⨯⨯==，解得4h =.
考点：几何体的三视图与体积.
17．【答案】e
【解析】考查函数()()20{x x x f x ax lnx
+≤=-，其余条件均不变，则： 当x ⩽0时,f （x ）=x +2x ，单调递增，
f （−1）=−1+2−1<0,f （0）=1>0，
由零点存在定理,可得f （x ）在（−1,0）有且只有一个零点；
则由题意可得x >0时,f （x ）=ax −lnx 有且只有一个零点，
即有ln x a x
=
有且只有一个实根。

令()()2ln 1ln ,'x x g x g x x x -==， 当x >e 时,g ′（x ）<0,g （x ）递减;
当0<x<e时,g′（x）>0,g（x）递增。

即有x=e处取得极大值,也为最大值,且为1
e
，
如图g（x）的图象,当直线y=a（a>0）与g（x）的图象
只有一个交点时,则1
a
e
=.
回归原问题，则原问题中a e=.
点睛：（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
18．【答案】
．
【解析】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，其底面半径为1，且其高为正三角形的高
由于此三角形的高为，故圆锥的高为
此圆锥的体积为=
故答案为
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
三、解答题
19．【答案】（1）参数方程为
1cos
sin
x
y
θ
θ
=+
⎧
⎨
=
⎩
，3460
x y
-+=；（2）14
5
.
【解析】
试题分析：（1）先将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标系下的方程,可得22
(1)1
x y
-+=,利用圆的参数方
程写出结果,将直线的参数方程消去参数变为直线的普通方程；（2）利用参数方程写出曲线C 上任一点坐标,用点到直线的距离公式,将其转化为关于的式子,利用三角函数性质可得距离最值.
试题解析：
（1）曲线C 的普通方程为22cos ρρθ=，∴22
20x y x +-=， ∴22(1)1x y -+=，所以参数方程为1cos sin x y θθ
=+⎧⎨
=⎩， 直线的普通方程为3460x y -+=. （2）曲线C 上任意一点(1cos ,sin )θθ+到直线的距离为
33cos 4sin 65sin()914555d θθθϕ+-+++==≤，所以曲线C 上任意一点到直线的距离的最大值为145. 考点：1.极坐标方程；2.参数方程.
20．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2=0，a 6+a 8=10．
∴，解得，
∴a n ﹣1+（n ﹣1）=n ﹣2．
（2）=．
∴数列{
}的前n 项和S n =﹣1+0+++…+，
=+0++…++，
∴=﹣1++…+﹣=﹣2+﹣=，
∴S n =
．
21．【答案】（1）2=
AD ；（2）3π=B . 【解析】
考点：正余弦定理的综合应用，二次方程，三角方程.
【方法点晴】本题主要考查三角形中的解三角形问题，解题的关键是合理选择正、余弦定理..当有三边或两边及其夹角时适合选择余弦定理，当有一角及其对边时适合选择正弦定理求解，解此类题要特别注意，在没有明确的边角等量关系时，要研究三角形的已知条件，组建等量关系，再就是根据角的正弦值确定角时要结合边长关系进行取舍，这是学生们尤其要关注的地方.
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：由4S n=（a n+1）2，
令n=1，得，即a1=1，
又4S n+1=（a n+1+1）2，
∴，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0．
∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，则{a n}是等差数列，
∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，b n
=
=，
则b 1+b 2+…+b n
=
=
=
．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线位置关系等基础知识，意在考查转化与化归和综合分析问题、解决问题的能力．
因
为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
，所以221222256323264y y y =++≥=， 当且仅当2222
256y y =即22y ＝16，24y =?时等号成立. 圆的直径OS
=
因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8
时，min OS =S 的坐标为
168±（，）． 24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ
）由题意得解得a=2，b=1，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）（i）由已知，直线MN的斜率存在，
设直线MN方程为y=kx﹣，M（x1，y1），N（x2，y2）．
由得（1+4k2）x2﹣4kx﹣3=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
又．
所以S△PMN=|PD|•|x1﹣x2|=
=．
令t=，则t≥，k2
=
所以S△PMN=，
令h（t）=，t∈[，+∞），则h′（t）=1﹣=＞0，所以h（t）在[，+∞），单调递增，
则t=，即k=0时，h（t）的最小值，为h（）=，
所以△PMN面积的最大值为．
（ii）假设存在△PMN是以O为中心的等边三角形．
（1）当P在y轴上时，P的坐标为（0，1），则M，N关于y轴对称，MN的中点Q在y轴上．
又O为△PMN的中心，所以，可知Q（0，﹣），M（﹣，），N（，）．
从而|MN|=，|PM|=，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．
（2）当P在x轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．
（3）当P不在坐标轴时，设P（x0，y0），MN的中点为Q，则k OP=，
又O为△PMN的中心，则，可知．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=2x Q=﹣x0，y1+y2=2y Q=﹣y0，
又x12+4y12=4，x22+4y22=4，两式相减得k MN=，
从而k MN=．
所以k OP•k MN=•（）=≠﹣1，
所以OP与MN不垂直，与等边△PMN矛盾．
综上所述，不存在△PMN是以O为中心的等边三角形．
【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想。