2019~2016历年辽宁数学高考真题分类整理(2021年整理精品文档)

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集合
2019。

理1．设集合A ={x ｜x 2
—5x +6〉0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．（—∞，1） B ．(—2，1)
C ．(—3，—1)
D ．（3，+∞)
2019文1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2）
C ．(–1,2）
D ．∅
2018理2．已知集合(){}22
3A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为
A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
2018文2．已知集合{}1,3,5,7A =,{}2,3,4,5B =，则A
B =
A ．{}3
B ．{}5
C ．{}3,5
D ．{}1,2,3,4,5,7
2017理2.设集合{}1,2,4A =，{}
240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ) A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017文1。

设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=A
B
A. {}123,4，，
B. {}123，， C 。

{}234，， D 。

{}134，，
2016理（2）已知集合,，则
(A ）
（B ）
（C ）
（D ）
2016文（1）已知集合{123}A =，
，，2{|9}B x x =<，则A B =
(A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，，
（C ）{123}，， （D ）{12}，
2015理1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则A B =
A ．{1,0}-
B ．{0,1}
C ．{1,0,1}-
D ．{0,1,2}
2015文1．已知集合{|12}A x x =-<<,{|03}B x x =<<，则A B =
A ．(1,3)-
B ．(1,0)-
C ．(0,2)
D ．(2,3)
复数
2019理2．设z =—3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2019文2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i
C ．1–2i
D ．–1–2i
2018理1．
12i
12i
+=- A ．43i 5
5
--
B ．43i 55
-+
C ．34i 55
--
D ．34i 55
-+
2018文1．()i 23i += A ．32i -
B ．32i +
C ．32i --
D ．32i -+
2017理1.
31i
i
+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2017文2。

（1+i ）（2+i ）=
A.1—i
B. 1+3i
C. 3+i
D.3+3i 2016理（1）已知
在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是
（A ）)1,3(-(B)
)3,1(-(C ）)
,1(+∞(D)
2016文（2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z = （A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +(D ）32i -
2015理2．若a 为实数，且(2)(2)4ai a i i +-=-,则a =
A ．—1
B ．0
C ．1
D ．2
2015文2．若a 为实数,且
231ai
i i
+=++,则a = A ．—4
B ．-3
C ．3
D ．4
平面向量
2019理3．已知AB =(2，3)，AC =（3，t ），BC =1，则AB BC ⋅= A ．—3 B ．—2
C ．2
D ．3
2019文3．已知向量a =(2，3),b =(3，2），则｜a –b ｜= A ．2 B ．2 C ．52
D ．50
2018理4．已知向量a ，b 满足||1=a ,1⋅=-a b ,则(2)⋅-=a a b A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
2017理12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）
A.2- B 。

3
2
- C 。

43
- D.1- 2017文4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 A a ⊥b B 。

=b a C. a ∥b D. >b a 2016理（3）已知向量
,且
，则m =
(A ）－8 （B ）－6 (C)6 （D ）8
2016文(13） 已知向量a =(m ,4），b =（3，-2），且a ∥b ，则m =___________。

2015理13．设向量a ，b 不平行,向量λ+a b 与2+a b 平行,则实数λ = __________。

2015文4．向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b a
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．3
运算能力
2019理4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月
拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １,月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，
r 满足方程:
121
223
()()M M M R r R r r R +=++。

设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453
2
333(1)
ααααα++≈+，则r 的近似值为 A
B
C
D
统计
2019理5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数
C ．方差
D ．极差
2019文19．（12分）
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表。

（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例; （2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。

（精确到0。

01)
附：748.602≈。

2018理18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模
型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1217，，…，）建立模型①：ˆ30.413.5y
t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，
，…，）建立模型②：ˆ9917.5y
t =+． （1）分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
2017理13。

一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = ．
2017理18。

（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg ）某频率直方图如下：
（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg ， 新养
殖法的箱产量不低于50kg ，估计A 的概率;
（2） 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99％的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法 新养殖法
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0。

01）
P() 0。

050 0。

010 0。

001 k
3。

841
6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 2017文19(12分)
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg), 其频率分布直方图如下：
（1） 记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，估计A 的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法 新养殖法
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较。

附: P （
）
0。

050 0。

010 0.001 k
3.841
6.635
10。

828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 2016文(18）(本小题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费"。

求P （A ）的估计值； (II ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”. 求P(B)的估计值；
(III ）求续保人本年度的平均保费估计值。

2015理3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论不正确的是
A ．逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
函数及基本初等函数
2019理6．若a >b ,则 A ．ln(a −b ）>0 B ．3a <3b
C ．a 3
−b 3
〉0
D ．│a │〉│b │
2019理14．已知()f x 是奇函数，且当0x <时,()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 2019文6．设f (x ）为奇函数，且当x ≥0时，f （x )=e 1x -，则当x 〈0时，f (x ）= A ．e 1x --
B ．e 1x -+
2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年
190020002100220023002400250026002700
C ．e 1x ---
D ．e 1x --+
2018理3．函数()2
e e x x
f x x --=的图像大致为
2018理11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则
(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
2018文12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则
(1)(2)(3)f f f ++(50)f +
+=
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
2017文8.函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是
A.（—∞，-2）
B. （—∞,-1） C 。

（1, +∞） D 。

（4, +∞）
2017文14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()-，
0∈∞时，()322=+f x x x ， 则()2=f
2016理（12）已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f -=-，若函数x
x y 1
+=与)(x f y =图像的交点为)(1,1y x ，),(22y x ···，（m m y x ,），则=+∑=m
i i i y x 1)(
(A ）0 （B ）m （C)2m （D ）4m
2016文（10） 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x
的定义域和值域相同的是 （A ）y =x （B ）y =lg x （C)y =2x
(D ）y x
=
2016文(12） 已知函数f （x ）(x ∈R ）满足f (x ）=f (2-x )，若函数y =｜x 2
—2x —3| 与y =f (x ）
图像的交点为（x 1,y 1），（x 2，y 2)，…，（x m ，y m ），则1=m
i i x =∑
2019~2016历年辽宁数学高考真题分类整理(可编辑修改word 版)
（A ）0 （B ）m （C ） 2m (D) 4m
2015理5．设函数21
1log (2),1
()2, 1
x x x f x x -+-<⎧⎪=⎨
≥⎪⎩,则2(2)(log 12)f f -+= A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
2015理10．如图，长方形ABCD 的边AB = 2，BC = 1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与
DA 运动，记∠AOB = x 。

将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =
的图
象大致为
A
B
C
D
条件与平面几何
2019理7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A ．α内有无数条直线与β平行
B ．α内有两条相交直线与β平行
C ．α，β平行于同一条直线
D ．α，β垂直于同一平面
平面解析几何
2019理8．若抛物线y 2
=2px （p 〉0）的焦点是椭圆2231x y p
p
+
=的一个焦点，则p =
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
2019理11．设F 为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径
的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =,则C 的离心率为 A
B
4
24
4
24
4
24
4
2 4
2019~2016历年辽宁数学高考真题分类整理(可编辑修改word 版)
C ．2
D 2019文20．（12分）
已知12,F F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点,P 为C 上一点，O 为坐标原点．
（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；
（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围. 2019理21．（12分）
已知点A (−2，0)，B (2，0),动点M （x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12。

记M 的轨
迹为曲线C .
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线;
（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限,PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE
并延长交C 于点G 。

(i ）证明：PQG △是直角三角形； (ii ）求PQG △面积的最大值
2018理5．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
A ．y =
B ．y =
C ．y =
D ．y = 2018理12．已知1F ,2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左,右焦点，A 是C 的左顶点,点P 在过A 且
斜率
为
12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为
23
B ．1
2
C ．1
3
D ．1
4
2018理19．(12分）
设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．
（1)求l 的方程；
(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
2018文6．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>则其渐近线方程为
A ．y =
B ．y =
C ．y x =
D ．y x = 2018文11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，
则C 的离心率为
A ．
1 B ．2C D ．1
2018文20．（12分） 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；
(2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
2017理9.若双曲线C :22221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦
长为2,则C 的离心率为（ ）
A ．2
B 2017理16.已知F 是抛物线
C :28y x =的焦点，M 是C 上一点,F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点,则F N = ． 2017理20. （12分)
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ,点P 满足
2NP NM =.
(1) 求点P 的轨迹方程；
(2) 设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过
C 的左焦点F 。

2017文5.若a ＞1，则双曲线x y a
=22
2-1的离心率的取值范围是
A. +∞）
B. 2）
C. （1 D 。

12（，）
2017文12.过抛物线C:y 2
=4x 的焦点F 的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为
C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为
A.
5 B.22 C.23 D 。

33
2017文20.（12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C
上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足
（1） 求点P 的轨迹方程； （2） 设点 在直线x =-3上,且。

证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

2016理（4)圆的圆心到直线
的距离为1，则a=
（A)34-
（B ）4
3
- （C ）3 （D ）2 2016理（11）已知F 1,F 2是双曲线E 的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与 轴垂直，
sin ,则E 的离心率为
（A ） (B ） (C ） （D ）2
2016理（20)（本小题满分12分)
已知椭圆E :的焦点在轴上,A 是E 的左顶点,斜率为k （k 〉0)的直线交E 于A ，
M 两点,点N 在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t =4，时，求△AMN 的面积； (II ）当
时，求k 的取值范围。

2016文(5) 设F 为抛物线C ：y 2
=4x 的焦点，曲线y =k
x
（k >0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k = （A ）12（B ）1 （C ）32
（D)2
2016文（6) 圆x 2
+y 2
−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =
（A ）−
43（B ）−3
4
（C ）3D ）2
2016文(21）(本小题满分12分）
已知A 是椭圆E ：22
143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，
MA NA ⊥.
（I)当AM AN =时，求AMN 的面积
(II)当2AM AN =2k <.
2015理7．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ,N 两点，则||MN =
A ．
B ．8
C ．
D ．10
2015理11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ΔABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为
A B ．2
C D 2015理20．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，
直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .
（1）证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;
（2）若l 过点(,)3
m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。

三角函数
2019理9．下列函数中，以2
π
为周期且在区间（4
π
，2
π
）单调递增的是
A ．f （x ）=│cos 2x │
B ．f （x )=│sin 2x │
C ．f (x )=cos│x │
D ．f (x )= sin │x │
2019文8．若x 1=4
π
，x 2=4
3π
是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点,则ω= A ．2
B ．3
2
C ．1
D ．1
2
2018理10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是
A ．π4
B ．π2
C ．
3π4
D ．π
2017理14.函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
)的最大值是 ．
2017文3。

函数()
f
x =π
sin （2x+
）3
的最小正周期为
A.4π
B.2π C 。

π D 。

2
π
2017文13.函数()cos sin =2+f x x x 的最大值为 2016理(7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12
π
个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A)x =
62k ππ- (k ∈Z ) (B ）x=62ππ+k (k ∈Z ） (C ）x=
122k ππ- （k ∈Z ） （D ）x =12
2k ππ+ （k ∈Z ) 2016文 (3) 函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则
（A ）2sin(2)6y x π
=-
（B ）2sin(2)3y x π
=-
(C ）2sin(2+)6y x π
=
(D ）2sin(2+)3
y x π
=
2016文（11） 函数π
()cos 26cos()2
f x x x =+-的最大值为 （A)4(B ）5
(C ）6 （D ）7
三角恒等变换
2019理10．已知α∈（0，2
π
）,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=
A ．1
5
B ．
5
C 3
D 5
2018理15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=,则sin()αβ+=__________． 2018文15已知
5π1tan()45
α-=
，则tan α=__________．
2016理(9）若cos(4π–α）= 53
，则sin 2α=
（A)25
7（B ）5
1（C ）5
1-
（D ）
25
7- 导数
2019理12．设函数()f x 的定义域为R ,满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-。

若对任意(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-，则m 的取值范围是
A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ B ．7,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．5,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
D ．8,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
2019文10．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为
A ．10x y --π-=
B ．2210x y --π-=
C ．2210x y +-π+=
D ．10x y +-π+=
2019理20．（12分) 已知函数()1
1
ln x f x x x -=-
+.
（1）讨论f （x )的单调性,并证明f (x ）有且仅有两个零点；
（2)设x 0是f (x ）的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线。

2019文21.（12分）
已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明： (1）()f x 存在唯一的极值点；
(2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数。

2018理13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 2018理21．（12分）
已知函数2()e x f x ax =-．
（1)若1a =，证明:当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．
2018文13．曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________ 2018文21．（12分）
已知函数()()321
13
f x x a x x =-++． （1）若3a =,求()f x 的单调区间;
（2）证明：()f x 只有一个零点．
2017理11。

若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ) A.1- B.32e -- C 。

35e - D.1 2017理21.（12分）
已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1)求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且230()2e f x --<<. 2017文（21）（12分） 设函数f(x ）=(1-x 2
)e x
. （1）讨论f （x ）的单调性;
（2）当x ≥0时,f （x)≤ax +1，求a 的取值范围。

2016理（16）若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln （x +1)的切线，则
b = .
2016理（21）(本小题满分12分）
（I)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，
（II)证明：当 时，函数 有最小值.设g(x ）的最小值为，
求函数
的值域。

2016文（20）（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.
(I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞,求a 的取值范围.
2015理12．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=,当x 〉 0时，()()0xf x f x '-<，则使得函数()0f x >成立的x 的取值范围是
A ．(,1)(0,1)-∞-
B ．(1,0)(1,)-+∞
C ．(,1)(1,0)-∞--
D ．(0,1)(1,)+∞
2015理21．(本小题满分12分）
设函数2()mx f x e x mx =+-。

(1）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；
（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围。

概率
2019理13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次
的正点率为0。

97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0。

99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.
2019文4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取
出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 A ．23
B ．35
C．2
5
D．
1
5
2019理18．（12分）
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后,每球交换发球权，先多得2分的一方获胜,该局比赛结束。

甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立。

在某局双方10:10平后，甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束。

（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
2018理8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723
=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A．
1
12
B．
1
14
C．
1
15
D．
1
18
2018文5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
2017文11.从分别写有1,2，3,4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A.
1
10
B.
1
5
C。

3
10
D。

2
5
2016理（10）从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
（A）（B）（C)（D）
2016理（18）(本题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位:元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:
上年度出
险次数
012345
保费0.85a a1。

25a 1.5a1。

75a2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出
险次数
012345
概率0。

300。

150.200。

200.100. 05
（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
(III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
2016文（8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
（A)
7
10
（B）
5
8
（C）
3
8
（D）
3
10
2015理18．（本小题满分12分)
某公司了解用户对其产品满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区:62738192958574645376
78869566977888827689
B地区：73836251914653736482
93486581745654766579
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度
评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
（2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
记事件C :“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”。

假设两地区用户的评价结果相互独立。

根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件的概率,求C 的概率。

解三角形
2019理15．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π
6,2,3
b a
c B ===
，则ABC △的面积为__________.
2019文15．ABC △的内角A ，
B ,
C 的对边分别为a ，b ，c .
已知b sin A +a cos B
=0，则B =_______
____。

2018理6
．在ABC △中，cos
2C =1BC =,5AC =，则AB = A ．B C D ．2017理17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2
sin()8sin 2
B A
C +=． (1)求cos B
（2）若6
a c
+=，ABC
∆面积为2，求.b
2017文16.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2b cosB=a cosC+c cosA，则B= 2016理（13）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若cos A=,cos C=，a=1,则
b= 。

2016文（15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若
4
cos
5
A=，
5
cos
13
C=,a=1，则
b=____________。

2015理17．（本小题满分12分)
ΔABC中，D是BC上的点,AD平分∠BAC，ΔABD面积是ΔADC面积的2倍。

(1)求sin
sin
B
C
∠
∠
；
(2）若AD = 1，2
DC=，求BD和AC的长.
立体几何
2019理16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。

印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。

半正多面体体现了数学的对称美.
图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________。

（本题第一空2分，第二空3分.)
2019理 17．（12分）
如图,长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1。

（1）证明:BE ⊥平面EB 1C 1；
（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值。

17．（12分）
如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1。

（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1;
(2)若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．
2018理9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA 则异面直线1AD 与1DB 所成角的余
弦值为 A ．15
B 5
C 5
D 22018理16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8,SA 与圆锥底面所成角为
45°，若SAB
△的面积为515,则该圆锥的侧面积为__________．
2018理20．（12分）
如图，在三棱锥P ABC
-中，22
AB BC
==，4
PA PB PC AC
====，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C
--为30︒,求PC与平面PAM所成角的正弦值．
P
A
O
C
M
2018文9．在正方体
1111
ABCD A B C D
-中，E为棱1
CC的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为
A．2B．3C．5D．7
2018文16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30︒，若SAB
△的面积为8，则该圆锥的体积为__________．
2018文19．(12分）
如图，在三棱锥P ABC
-中，22
AB BC
==，4
PA PB PC AC
====，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2)若点M在棱BC上，且2
MC MB
=，求点C到平面POM的距离．
2017理4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为( ）
A．90π B．63π C．42π D．36π
2017理10。

已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==,则异面直线1
AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ） A ．
3 B ．15 C ．10
D ．3 2017理19。

（12分）
如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点。

（1）证明：直线//CE 平面PAB
(2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o 45 ，求二面角M -AB -D 的余弦值
2017文6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90π B 。

63π C.42π D 。

36π
2017文15。

长方体的长、宽、高分别为3，2,1，其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为2017文18。

（12分）
如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=1
2
AD，∠BAD=∠
ABC=90°。

（1）证明：直线BC∥平面PAD；
（2）若△PAD面积为27，求四棱锥P-ABCD的体积.
2016理（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π
2016理（14）α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：
(1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。

（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
(3）如果α∥β,mα，那么m∥β。

（4)如果m∥n,α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。

其中正确的命题有。

(填写所有正确命题的编号）
2016理(19）（本小题满分12分）
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5，AC=6，点E，F分别在AD,CD上，AE=CF=,EF交BD于点H。

将△DEF沿EF折到△的位置，。

（I）证明:平面ABCD；
（II）求二面角的正弦值.
2016文（4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
（A）12π(B）32
3
π（C）8π（D）4π
2016文（7）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
(A）20π（B）24π(C）28π（D)32π
2016文（19）（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上，AE=CF，EF交BD 于点H，将DEF沿EF折到'D EF的位置。

（I）证明：'
AC HD
⊥;
(II)若
5
5,6,,'22
4
AB AC AE OD
====，求五棱锥'ABCEF
D-体积。

2015理6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
A．1
8B．1
7
C．1
6D．1
5
2015理9．已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB= 90°,C为该球面上的动点。

若三棱锥O—ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为
A．36πB．64π
C．144πD．256π
19．（本小题满分12分)
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8,点E，F分别在A1B1，D1C1上，
A 1E = D
1
F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦
值。

数列
2019理19．(12分)
已知数列｛a n ｝和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-. （1）证明：｛a n +b n }是等比数列,{a n –b n }是等差数列； （2）求｛a n ｝和{b n }的通项公式. 2019文18．（12分）
已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. (1）求{}n a 的通项公式；
（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和. 2018理17．（12分)
记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1)求{}n a 的通项公式； (2）求n S ，并求n S 的最小值． 2018文17．(12分） 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求n S ，并求n S 的最小值．
2017理3。

我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯（ )
D P C
B
O
A
x
D
D 1 C 1
A 1
E F A B
C
B 1
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏 2017理15。

等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11
n
k k
S ==∑
． 2017文17.（12分）
已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为Sn,等比数列{b n ｝的前n 项和为Tn ，a 1=—1，b1=1，a3+b2=2.
（1） 若a3+b2=5,求｛b n }的通项公式； （2） 若T=21,求S 1
2016理（17）（本题满分12分）
S n 为等差数列
的前n 项和,且1a =1 ，7S =28 记
,其中
表示不超过x 的最
大整数,如[0。

9］ = 0，［lg99]=1。

（I)求1b ，11b ,101b ； （II ）求数列
的前1 000项和。

2016文(17)（本小题满分12分) 等差数列{n a }中,34574,6a a a a +=+=
（I ）求｛n a }的通项公式;
（II)设n b =[n a ]，求数列｛n b ｝的前10项和,其中[x]表示不超过x 的最大整数,如［0。

9]=0,［2.6]=2
2015理4．已知等比数列{}n a 满足a 1 = 3，a 1 + a 3 + a 5 = 21，则a 3 + a 5 + a 7 =
A ．21
B ．42
C ．63
D ．84
2015理16．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且a 1 = —1，a n +1 = S n S n +1，则S n = __________。

参数方程
2019理22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分)
在极坐标系中，O 为极点,点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上,直线l 过点(4,0)A 且与
OM 垂直，垂足为P 。

（1）当0=3
θπ
时，求0ρ及l 的极坐标方程；
（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 2019文22．[选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）
在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .
（1）当0=3
θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程;
（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程。

2018理22．[选修4－4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩
，
（θ为参数），直线l 的参数方程为
1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩
，（t 为参数）． (1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 2018文22．[选修4－4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,
4sin x θy θ=⎧⎨
=⎩
(θ为参数），直线l 的参数方程为
1cos ,
2sin x t αy t α=+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数)． （1)求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．
2017理22。

[选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;
（2)设点A 的极坐标为(2,)3
π
,点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
2017文22. [选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

曲线C 1的极坐标方程为
（1)M 为曲线C 1的动点，点P 在线段OM 上，且满足16⋅OM OP =，求点P 的轨迹C 2
的直角坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为π
23
（，）,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值。

2016理(23)(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为(x +6）2
+y 2
=25。

（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程;
αcos t x =
（II ）直线l 的参数方程是 （t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点,
αsin t y =
∣AB ∣=10，求l 的斜率。

2016文（23)(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程; 2015理23．（本小题满分10分）
选修4 — 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：cos sin x t y t α
α=⎧⎨
=⎩
(t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以
O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:2sin ρθ=，C 3：23cos ρθ=。

（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；
（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。

（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x
t α,y t α,
（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB ,
求l 的斜率。

不等式
2019理23．［选修4-5：不等式选讲］（10分）
已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--
（1）当1a =时,求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1]x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围 2019文23．［选修4-5：不等式选讲](10分）
已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--
（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； (2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <,求a 的取值范围。

2018理23．［选修4－5：不等式选讲］（10分)
设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤,求a 的取值范围．
2018文23．［选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集;
（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．
2017理23。

[选修4—5：不等式选讲］(10分） 已知330,0,2a b a b >>+=，证明： （1）33()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
2017文23。

[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知=2。

证明: （1)：
（2）。

2016理（24）(本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f (x ）= ∣x —21
∣+∣x +2
1∣,M 为不等式f (x ） ＜2的解集。

(I)求M ；
（II ）证明：当a ,b ∈M 时，∣a +b ∣＜∣1+ab ∣. 2016文（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数11()2
2
f x x
x
，M 为不等式()2f x 的解集.
（Ⅰ）求M ； (Ⅱ）证明：当a ，b
M
时，1
a b
ab .
2015理24．（本小题满分10分)
选修4 - 5：不等式选讲
设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明： （1）若ab 〉 cd ;a b c d （a b c d ||||a b c d -<-的充要条件。

逻辑推理
2019文5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙
B ．乙、甲、丙。