山西省忻州市定襄县2022-2023学年八年级(上)期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年山西省忻州市定襄县八年级（上）期末数学试卷一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．（3分）若一个三角形的两边长分别为7和9，则此三角形第三边的长可能为（）A．1B．7C．16D．17
2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史（）A．B．
C．D．
3．（3分）下列运算结果正确的是（）
A．x3•x4＝x12B．（﹣2x2）3＝﹣8x6
C．x6÷x3＝x2D．x2+x3＝x5
4．（3分）2022年11月18日，“芯科技，创未来”2022中国汽车芯片高峰论坛在中国电科智能科技园举行．中国电科协同相关企业，DSP，MCU等数十款汽车电子产品，采用28nm （1nm＝10﹣9m）国产工艺，可应用于汽车疲劳驾驶预警、车载信息娱乐等领域．将数据“28nm”转换成米用科学记数法表示为（）
A．2.8×10﹣10m B．28×10﹣9m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣7m 5．（3分）如图，阴影部分是在一个边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼，每种割拼方法都能够验证平方差公式，其中用到的数学思想是（）
A．数形结合思想B．分类思想
C．公理化思想D．函数思想
6．（3分）将关于x的分式方程＝﹣1去分母、去括号后所得整式方程正确的是（）
A．3＝﹣5﹣x+2B．3＝﹣5﹣x﹣2C．3＝5﹣x+2D．3＝5﹣x﹣2 7．（3分）永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是我市现存最高的古建筑，如图的正八边形是双塔平面示意图，其每个内角的度数为（）
A．80°B．100°C．120°D．135°
8．（3分）把分式中的a，b都扩大到原来的5倍（）
A．不变B．扩大到原来的25倍
C．缩小到原来的D．扩大到原来的5倍
9．（3分）如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，PD∥OB交OA于点D．若PD ＝6，则PC的长为（）
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，DF⊥AB，垂足为点E、F；②AD 垂直平分EF；③S△BFD：S△CED＝BF：CE；④EF∥BC，正确的是（）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
二.填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11．（3分）若分式的值为0，则a的值为．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，2）关于y轴对称的点的坐标为．13．（3分）如图，在长方形纸片ABCD中，AB∥CD，A，D两点的对应点分别为点A′，D′．若∠CFE＝2∠CFD′°．
14．（3分）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等．若DF＝6m，AD＝4m，则BF＝m．
15．（3分）如图，∠AOB＝30°，M，N分别为射线OA，P为∠AOB内一点，连接PM，MN．若OP＝5，则△PMN周长的最小值为．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（4分）分解因式：4a2+12ab+9b2．
17．（6分）计算：（3a+1）（3a﹣1）﹣（1﹣a）（3a+2）．
18．（8分）下面是小刚同学进行分式化简﹣的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：﹣
＝﹣……第一步
＝﹣……第二步
＝﹣……第三步
＝……第四步
＝……第五步
＝﹣．……第六步
任务一：
①以上化简过程中，第步是分式的通分，通分的依据是；
②第步开始出现错误，这一步错误的原因是．
任务二：请直接写出该分式正确的化简结果．
19．（8分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC
（1）使用直尺和圆规作∠B的平分线，交AC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的基础上，若AB＝8，求△BCD的周长．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上（1）分别画出△ABC关于x轴、y轴对称的△A1B1C1和△A2B2C2．
（2）分别写出△A1B1C1和△A2B2C2各顶点的坐标．
21．（8分）材料：常见的分解因式的方法有提公因式法和公式法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如x2+2xy+y2﹣16，我们仔细观察这个式子会发现，前三项符合完全平方公式，可以继续分解，过程为：x2+2xy+y2﹣16＝（x+y）2﹣42＝（x+y+4）（x+y﹣4）．它并不是一种独立的分解因式的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．解答下列问题：
（1）分解因式：2a2﹣8a+8．
（2）请尝试用上面材料中的方法分解因式：x2﹣y2+3x﹣3y．
22．（8分）某市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，求原来每天用水量是多少吨？23．（12分）综合与实践
在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应的任务．
作法：如图1．
①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P；
②连接P A，PB，PC．
结论：沿线段P A，PB，PC剪开
理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴．（依据）
同理，得P A＝PC．
∴P A＝PB＝PC．
∴△P AB，△PBC，△P AC都是等腰三角形．
任务：
（1）上述过程中，横线上的结论为，括号中的依据为．
（2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以点B为圆心，交AC于点D，交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点），也可解决问题．请在图2中画出一种裁剪方案，并求出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．
（3）如图3，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）
24．（13分）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．
（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，CE之间的数量关系是；
（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1），请你给出证明；若不成立；
（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，分别连接FB，FD，FC，试判断△DEF的形状
2022-2023学年山西省忻州市定襄县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．（3分）若一个三角形的两边长分别为7和9，则此三角形第三边的长可能为（）A．1B．7C．16D．17
【解答】解：∵此三角形的两边长分别为7和9，
∴第三边长的取值范围是：4﹣7＝2＜第三边＜5+7＝16．
即：2＜x＜16，3符合要求，
故选：B．
2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史（）A．B．
C．D．
【解答】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：D．
3．（3分）下列运算结果正确的是（）
A．x3•x4＝x12B．（﹣2x2）3＝﹣8x6
C．x6÷x3＝x2D．x2+x3＝x5
【解答】解：A．x2•x3＝x2，故本选项不合题意；
B．（﹣2x2）3＝﹣8x6，正确；
C．x6÷x3＝x3，故本选项不合题意；
D．x7与x3不是同类项，所以不能合并．
故选：B．
4．（3分）2022年11月18日，“芯科技，创未来”2022中国汽车芯片高峰论坛在中国电科智能科技园举行．中国电科协同相关企业，DSP，MCU等数十款汽车电子产品，采用28nm （1nm＝10﹣9m）国产工艺，可应用于汽车疲劳驾驶预警、车载信息娱乐等领域．将数据“28nm”转换成米用科学记数法表示为（）
A．2.8×10﹣10m B．28×10﹣9m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣7m 【解答】解：28nm＝28×10﹣9m＝2.4×10﹣8m．
故选：C．
5．（3分）如图，阴影部分是在一个边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼，每种割拼方法都能够验证平方差公式，其中用到的数学思想是（）
A．数形结合思想B．分类思想
C．公理化思想D．函数思想
【解答】解：∵此题探究方法是通过对图形面积的不同求解方法验证了整式乘法的特殊方法“平方差公式”，
∴其中用到的数学思想是数形结合思想，
故选：A．
6．（3分）将关于x的分式方程＝﹣1去分母、去括号后所得整式方程正确的是（）
A．3＝﹣5﹣x+2B．3＝﹣5﹣x﹣2C．3＝5﹣x+2D．3＝5﹣x﹣2【解答】解：分式方程变形得：＝﹣，
去分母得：3＝﹣8﹣（x﹣2），
去括号得：3＝﹣4﹣x+2，
故选：A．
7．（3分）永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是我市现存最高的古建筑，如图的正八边形是双塔平面示意图，其每个内角的度数为（）
A．80°B．100°C．120°D．135°
【解答】解：∵多边形外角和为360°，
∴正八边形每个外角为360°÷8＝45°，
∴正八边形每个内角的度数为180°﹣45°＝135°，
故选：D．
8．（3分）把分式中的a，b都扩大到原来的5倍（）
A．不变B．扩大到原来的25倍
C．缩小到原来的D．扩大到原来的5倍
【解答】解：＝＝7×，
所以把分式中的a，则分式的值扩大5倍，
故选：D．
9．（3分）如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，PD∥OB交OA于点D．若PD ＝6，则PC的长为（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵PD∥OB，
∴∠EDP＝∠AOB＝30°，
∴PE＝PD＝5，
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OB，
∴PC＝PE＝3，
故选：C．
10．（3分）如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，DF⊥AB，垂足为点E、F；②AD 垂直平分EF；③S△BFD：S△CED＝BF：CE；④EF∥BC，正确的是（）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【解答】解：∵∠A的平分线交BC于D，DE⊥AC，
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE，又∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE，①正确；
∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，又DE＝DF，
∴AD垂直平分EF，②正确；
S△BFD：S△CED＝×BF×DF：，③正确；
EF与BC不一定平行，④错误，
故选：A．
二.填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11．（3分）若分式的值为0，则a的值为1．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
解得：a＝1．
故答案为：1．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，2）关于y轴对称的点的坐标为（5，2）．【解答】解：∵P（﹣5，2），
∴点P关于y轴的对称点的坐标是（4，2）．
故答案为：（5，6）．
13．（3分）如图，在长方形纸片ABCD中，AB∥CD，A，D两点的对应点分别为点A′，D′．若∠CFE＝2∠CFD′72°．
【解答】解：设∠CFD'＝x，则∠CFE＝2∠CFD'＝2x，
由折叠的性质得：∠DFE＝∠EFD'＝4x，
∵∠DFE+∠CFE＝180°，即2x+3x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠CFE＝36°×8＝72°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠CFE＝72°．
故答案为：72°．
14．（3分）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等．若DF＝6m，AD＝4m，则BF＝18m．
【解答】解：由题意知，滑梯、墙，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴AB＝DE＝8m，
∴BF＝AB+AD+DF＝8+2+6＝18（m）．
故答案为：18．
15．（3分）如图，∠AOB＝30°，M，N分别为射线OA，P为∠AOB内一点，连接PM，MN．若OP＝5，则△PMN周长的最小值为5．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，分别交OA、N，连接OC、PM．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，
∴OC＝OD＝OP＝5，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+7∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝5．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN＝CD＝5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（4分）分解因式：4a2+12ab+9b2．
【解答】解：4a2+12ab+3b2＝（2a+8b）2．
17．（6分）计算：（3a+1）（3a﹣1）﹣（1﹣a）（3a+2）．
【解答】解：原式＝9a2﹣7﹣（3a+2﹣2a2﹣2a）
＝6a2﹣1﹣6a﹣2+3a6+2a
＝12a2﹣a﹣5．
18．（8分）下面是小刚同学进行分式化简﹣的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：﹣
＝﹣……第一步
＝﹣……第二步
＝﹣……第三步
＝……第四步
＝……第五步
＝﹣．……第六步
任务一：
①以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是分子去括号时出错．
任务二：请直接写出该分式正确的化简结果．
【解答】解：任务一：①三，分式的基本性质．
②五，分子去括号时出错．
任务二：原式＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝
＝．
故答案为：任务一：①三，分式的基本性质．
②五，分子去括号时出错．
19．（8分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC
（1）使用直尺和圆规作∠B的平分线，交AC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的基础上，若AB＝8，求△BCD的周长．
【解答】解：（1）如图，BD即为所求；
（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36）°＝72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴DA＝DB，
∵AC＝AB＝8，BC＝7，
∴△BCD的周长＝BC+BD+DC＝BC+BD+DA＝BC+AC＝5+8＝13．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上（1）分别画出△ABC关于x轴、y轴对称的△A1B1C1和△A2B2C2．
（2）分别写出△A1B1C1和△A2B2C2各顶点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C6和△A2B2C7即为所求，
（2）A1（0，2），B1（2，6），C1（4，2），A2（0，﹣5），B2（﹣2，﹣8），C2（﹣4，﹣4）．
21．（8分）材料：常见的分解因式的方法有提公因式法和公式法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如x2+2xy+y2﹣16，我们仔细观察这个式子会发现，前三项符合完全平方公式，可以继续分解，过程为：x2+2xy+y2﹣16＝（x+y）2﹣42＝（x+y+4）（x+y﹣4）．它并不是一种独立的分解因式的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．解答下列问题：
（1）分解因式：2a2﹣8a+8．
（2）请尝试用上面材料中的方法分解因式：x2﹣y2+3x﹣3y．
【解答】解：（1）原式＝2（a2﹣3a+4）
＝2（a﹣7）2；
（2）原式＝（x+y）（x﹣y）+3（x﹣y）
＝（x﹣y）（x+y+3）．
22．（8分）某市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，求原来每天用水量是多少吨？
【解答】解：设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是，
依题意，得﹣＝3，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，
答：原来每天用水量是10吨．
23．（12分）综合与实践
在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应的任务．
作法：如图1．
①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P；
②连接P A，PB，PC．
结论：沿线段P A，PB，PC剪开
理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴P A＝PB．（依据）
同理，得P A＝PC．
∴P A＝PB＝PC．
∴△P AB，△PBC，△P AC都是等腰三角形．
任务：
（1）上述过程中，横线上的结论为P A＝PB，括号中的依据为线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
（2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以点B为圆心，交AC于点D，交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点），也可解决问题．请在图2中画出一种裁剪方案，并求出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．
（3）如图3，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）
【解答】解：（1）∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴P A＝PB（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），同理，得P A＝PC，
∴P A＝PB＝PC，
∴△P AB，△PBC．
故答案为：P A＝PB，P A＝PB；
（2）答案不唯一，如图2，DE，DE即为所求．
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝．
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴∠DBC＝180°﹣72°×2＝36°，
∴△BDC是顶角为36°的等腰三角形．
∵∠DBE＝∠ABC﹣∠DBC＝36°，
∴BD＝BE，
∴△BDE是顶角为36°的等腰三角形．
∵∠BED＝∠BDE＝，
∴∠AED＝180°﹣∠BED＝108°，
∴∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠A＝36°，
∴∠ADE＝∠A，
∴AE＝DE，
∴△AED是顶角为108°的等腰三角形；
（3）如图，作AB，交BC于点D，E，AE．
24．（13分）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．
（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，CE之间的数量关系是DE＝BD+CE；
（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1），请你给出证明；若不成立；
（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，分别连接FB，FD，FC，试判断△DEF的形状
【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（3）△DEF是等边三角形，理由如下，
∵α＝120°，AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝60°，
∵AB＝AF＝AC，
∴△ABF和△ACF是等边三角形，
∴F A＝FC，∠FCA＝∠F AB＝∠AFC＝60°，
同（2）可得，△BDA≌△AEC，
∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，
∴∠F AD＝∠FCE，
∴△F AD≌△FCE（SAS），
∴DF＝EF，∠DF A＝∠EFC，
∴∠DFE＝∠DF A+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，∴△DEF是等边三角形．。