2024学年广东省中山市实验中学数学高三第一学期期末质量检测试题含解析

2024学年广东省中山市实验中学数学高三第一学期期末质量检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,
4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>>
B ．()(0)()f a b f f ab +>>
C ．()()(0)f ab f a b f >+>
D ．()(0)()f ab f f a b >>+ 3．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛
⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=
，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2π B ．23π C ．π D ．43
π 4．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ）
A ．1
5 B ．415 C ．1
3 D ．25
5．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ）
A B ．98 C ．1 D ．78
6．射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测
物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001）
A ．0.110
B ．0.112
C ．0.114
D ．0.116
7．已知i 是虚数单位，若z 211i i =+-，则||z =（ ） A ．2 B ．2
C ．10
D ．10 8．已知(,)a bi a b R +∈是
11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．1 9．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的
垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
10．已知正四面体A BCD -外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为（ ）
A ．183
B ．163
C ．143
D ．123
11．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：
记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）
A ．147
B ．294
C ．882
D ．1764
12．已知函数()ln a f x x a x
=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦ B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭ D ．[
)1,e - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________．
14．已知点M 是曲线y ＝2lnx ＋x 2﹣3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_______．
15．等腰直角三角形ABC 内有一点P ，1PA =，2PB =2PC =，90A ∠=，则ABC ∆面积为______.
16．（5分）已知π4cos()25-=-α，且π(,0)2
α∈-，则2π2cos 2)4-αα的值是____________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()1f x x =-.
（1）解不等式()()48f x f x ++≥；
（2）若1a <，1b <，0a ≠，求证：()b f ab a f a ⎛⎫>
⎪⎝⎭. 18．（12分）已知函数()1ln f x x x x =-
- . （1）若()1ln f x x x x
=--在()1212,x x x x x =≠ 处导数相等，证明：()()1232ln2f x f x +>- ； （2）若对于任意(),1k ∈-∞ ，直线y kx b =+ 与曲线()y f x =都有唯一公共点，求实数b 的取值范围.
19．（12分）已知离心率为12的椭圆2222:1x y M a b
+=(0)a b >>经过点31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求椭圆M 的方程；
(2)荐椭圆M 的右焦点为F ，过点F 的直线AC 与椭圆M 分别交于,A B ，若直线DA 、DC 、DB 的斜率成等差数列，请问DCF ∆的面积DCF S ∆是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
20．（12分）已知函数()()
213cos f x x x =+. （Ⅰ）若α是第二象限角，且6sin 3
α=
，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的定义域和值域. 21．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点．
（1）求证：EF ‖平面PAD ；
（2）求二面角P EC D --的正切值．
22．（10分）设a 为实数,已知函数()x
f x axe =,()ln
g x x x =+． （1）当0a <时,求函数()f x 的单调区间：
（2）设b 为实数,若不等式()2
2f x x bx ≥+对任意的1a ≥及任意的0x >恒成立,求b 的取值范围; （3）若函数()()()h x f x g x =+（0x >,x ∈R ）有两个相异的零点,求a 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C
【解题分析】
可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.
【题目详解】
由题意可得：
()(2)c b c a b a b -=-++-，
2222|2|(2)||4||444164452a b a b a b a b -=-=+⋅-⋅=+⨯-⨯=
|2|213a b ∴-=，
2222||()[()(2)]|()(2)|c b c b c a b a b c a b a b ∴-=-=-++-=-++-
22|||2|2|||2|cos ,2c a b a b c a b a b c a b a b =-++-+⋅-+⋅-⋅<-++>
3522cos ,2c a b a b =++<-++>
55cos ,2c a b a b =+<-++>
55439+
2554395223+=+⨯=， 故选：C
【题目点拨】
本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.
2、C 【解题分析】 根据偶函数的性质，比较+,a b ab 即可.
【题目详解】
解：0.22lg0.3lg0.3+log 0.3log 0.3+lg0.2lg 2
a b =+= 55lg 0.3lg
lg 0.3lg 22lg5lg 2lg5lg 2⨯⨯==--⨯⨯ ()0.22lg 0.3lg 0.3log 0.3log 0.3lg 0.2lg 2lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 5lg 2lg 5lg 2lg 0.3lg 0.3lg 5lg 2
10lg 0.3lg 3lg 5lg 2
ab =⨯=⨯-⨯⨯=
=⨯⨯-⨯-=⨯⨯=-⨯
显然510lg lg 23
<，所以+a b ab < ()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，
所以()()(0)f ab f a b f >+>
故选：C
【题目点拨】
本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.
3、C
【解题分析】 根据题意，知当7π3x ω=时，π5π62x ω+=，由对称轴的性质可知122π3x x ω+=和238π3x x ω
+=，即可求出w ，即可求出()f x 的最小正周期.
【题目详解】
解：由于()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
有三个零点1x ，2x ，3x ， 当7π3x ω=时，π5π62
x ω+=， ∴由对称轴可知1x ，2x 满足12πππ2662x x ωω+
++=⨯， 即122π3x x ω
+=. 同理2x ，3x 满足23ππ3π2662x x ωω+
++=⨯，即238π3x x ω+=， ∴12310π5π233
x x x ω++==，2ω=， 所以最小正周期为：2ππ2T =
=. 故选：C.
【题目点拨】
本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.
4、B
【解题分析】
先列举出不超过15的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，满足3a b -<”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【题目详解】
不超过15的素数有：2、3、5、7、11、13，
在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数，所有的基本事件有：()2,3、()2,5、()2,7、12()()f x f x -、()2,13、()3,5、()3,7、()3,11、()3,13、()5,7、()5,11、()5,13、()7,11、()7,13、()11,13，共15种情况，
其中，事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，且3a b -<”包含的基本事件有：()2,3、()3,5、()5,7、()11,13，共4种情况， 因此，所求事件的概率为415P =
. 故选：B.
【题目点拨】
本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.
5、B
【解题分析】
首先由正弦定理将边化角可得cos sin A B =，即可得到2A B π
=-，再求出3,24B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，最后根据sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
求出sin sin A C +的最大值； 【题目详解】
解：因为cos sin a A b A =，
所以sin cos sin sin A A B A =
因为sin 0A ≠
所以cos sin A B = 2B π>
2A B π∴=-
02202A B C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即0222022B B B πππππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪⎛⎫<--< ⎪⎪⎝
⎭⎩，3,24B ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，cos B ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭
sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
cos cos2B B =--
22cos cos 1B B =--+
2192cos 48B ⎛⎫=-++ ⎪⎝
⎭
1cos 42B ⎛⎫∴=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭
时()max 9sin sin 8A C += 故选：B
【题目点拨】
本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.
6、C
【解题分析】
根据题意知,010.8,7.6,
2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【题目详解】
由题意可得,010.8,7.6,2
I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08
μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114.
故选:C
【题目点拨】
本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.
7、C
【解题分析】
根据复数模的性质计算即可.
【题目详解】 因为z 211i i
=+-， 所以(1)(21)z i i =-+，
|||1||21|z i i =-⋅+==
故选：C
【题目点拨】
本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.
8、A
【解题分析】 先利用复数的除法运算法则求出
11i i
+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【题目详解】 ()()21(1)21112
i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，
∴a ＝0，b ＝﹣1，
∴a +b ＝﹣1，
故选：A ．
【题目点拨】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 9、B
【解题分析】
根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.
【题目详解】
因为线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，如下图所示：
所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==， 因此21214(4)PF PF F F -=<
当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,
故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<， 综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线.
故选：B
【题目点拨】
本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想. 10、B
【解题分析】
设正四面体ABCD的外接球的半径R，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积．
【题目详解】
将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示，
设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则
3
4
86
3
R
π
π
=，得6
R=ABCD的外接球和正方体的
3a=226
R=a=22．而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，
所以，正四面体ABCD2a=2224
=，因此，这个正四面体的表面积为
2
3
4163
a
=
故选：B．
【题目点拨】
本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题．
11、A
【解题分析】
根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S的值.
【题目详解】
依题意列表如下：
上列乘6上列乘5上列乘2
1 6 30 60
1
2
3 15 30
所以6
603020151210147S =+++++=.
故选：A 【题目点拨】
本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题. 12、C 【解题分析】
对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解. 【题目详解】 ∵()21a f x x x +'=
= 2x a x
+，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意. 当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]
1,e 上单调递减，也不合题意.
当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(]
,e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在
(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()
10a
f e a e
=-+≥即可，解得11e
a e
≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫
-⎪⎢-⎣⎭
. 故选C. 【题目点拨】
本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、12
画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值． 【题目详解】
根据约束条件画出可行域，如下图，由，解得
目标函数，当
过点
时，有最大值，且最大值为．
故答案为：．
【题目点拨】
本题考查线性规划的简单应用，属于基础题． 14、3y x =- 【解题分析】
先求导数可得切线斜率，利用基本不等式可得切点横坐标，从而可得切线方程. 【题目详解】
2
23y x x
'=
+-， 2
23M M
k x x =
+-，M x ＝1时有最小值1，此时M (1，﹣2)， 故切线方程为：21y x +=-，即3y x =-． 故答案为：3y x =-. 【题目点拨】
本题主要考查导数的几何意义，切点处的导数值等于切线的斜率是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 15、
52
利用余弦定理计算()
cos ,cos 90PAB PAB ∠-∠，然后根据平方关系以及三角形面积公式，可得结果. 【题目详解】 设AB AC x == 由题可知：
222
cos 2PA AB PB PAB PA AB
+-∠=
⋅ ()222
cos 90sin 2PA AC PC PAB PAB PA AC
+--∠==∠⋅
由22sin cos 1PAB PAB ∠+∠=，
1PA =
，PB =2PC =
所以2
2
222
222112122x x x x ⎡⎤+-⎡⎤+-⎢
⎥+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
化简可得：42650x x -+= 则25x =或21x =
，即x =1x =
由AB PA >
，所以x =所以1522
ABC S AB AC ∆=⋅⋅= 故答案为：
52
【题目点拨】
本题主要考查余弦定理解三角形，仔细观察，细心计算，属基础题. 16、
125
【解题分析】
由于ππ4cos()cos()sin 225-=-==-ααα，且π(,0)2α∈-
，则3cos 5
α==，得24sin 22sin cos 25==-ααα，
则2
πππ2cos )1cos22cos cos2sin )1444-=+-=+ααααα1sin 225
=α．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）(][),53,-∞-+∞；
（2）证明见解析. 【解题分析】
（1）分3x <-、31x -≤≤、1x >三种情况解不等式()()48f x f x ++≥，即可得出该不等式的解集； （2）利用分析法可知，要证()b f ab a f a ⎛⎫>
⎪⎝⎭
，即证1ab a b ->-，只需证明22
10ab a b --->即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立. 【题目详解】
（1）
()()22,34134,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪
++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩
.
当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-，此时5x ≤-； 当31x -≤≤时，()8f x ≥不成立；
当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥，此时3x ≥. 综上所述，不等式()4f x ≤的解集为(]
[),53,-∞-+∞；
（2）要证()a b f ab a f ⎛>⎫
⎪⎝⎭
，即证1ab a b ->-，
因为1a <，1b <，所以，21a <，21b <，
()()2222222
22
2
12121ab a b a b ab a ab b a b a b ∴---=-+--+=-+-()()()()2222211110a b b a b =---=--<.
所以，1ab a b ->-.故所证不等式成立. 【题目点拨】
本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.
18、（I ）见解析（II ）ln 2b ≥- 【解题分析】
（1）由题x ＞0，()211
1f x x x
'=+
-，由f （x ）在x=x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等，得到()()12f x f x m ''==，得
211
22
211
101110m x x m x x ⎧-+-=⎪⎪⎨
⎪-+-=⎪⎩， 由韦达定理得
12
11
1x x +=
，由基本不等式得1212x x x x +=⋅>，得124x x ⋅>，由题意得()()()121212ln 1f x f x x x x x +=--，令124t x x =⋅>,则()1212ln 1ln 1x x x x t t --=--，令()()ln 14g t t t t =-->，，利用导数性质能证明()()432ln2g t g >=-．
（2）由()f x kx b =+得
1ln x x b x k x ---=
，令()1
ln x x b
x h x x
---=
， 利用反证法可证明证明()1h x <恒成立．
由对任意(),1k ∈-∞，()h x k =只有一个解，得()h x 为()0,+∞上的递增函数，()2
2
ln 1
x b x h x x ++-='∴≥得2ln 1b x x ≥--+，令()()2
ln 10m x x x x
=--+>，由此可求b 的取值范围..
【题目详解】 （I ）()211
1f x x x
'=+
- 令()()12f x f x m ''==，得211
22
211
101110m x x m x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，
由韦达定理得
12
11
1x x +=
即1212x x x x +=⋅>，得124x x ⋅>
()()()()1212121211ln ln f x f x x x x x x x ⎛⎫
∴+=+-+-+ ⎪⎝⎭
()1212ln 1x x x x =--
令124t x x =⋅>,则()1212ln 1ln 1x x x x t t --=--，令()()ln 14g t t t t =-->， 则()()1104g t t t
>'=->，得()()432ln2g t g >=-
（II ）由()f x kx b =+得
1
ln x x b
x
k x
---=
令()1
ln x x b
x h x x
---=
， 则0x →+，()h x →-∞，(),1x h x →+∞→ 下面先证明()1h x <恒成立．
若存在()00,x ∈+∞，使得()01h x ≥，0x →+，()h x →-∞，且当自变量x 充分大时，()1ln 1
x x b
x h x x
---=<，所以存在()100,x x ∈，()20,x x ∈+∞，使得()11h x <，()21h x <，取()(){}
12max ,1k h x h x =<，则y k =与()
y h x =至少有两个交点，矛盾．
由对任意(),1k ∈-∞，()h x k =只有一个解，得()h x 为()0,+∞上的递增函数，()2
2
ln 1
x b x h x x ++-='∴≥ 得2ln 1b x x ≥--+，令()()2ln 10m x x x x =--+>，则()22
212x
m x x x x -=-='，
得()()max 2ln2b m x m ≥==- 【题目点拨】
本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力属难题．
19、 (1)22
143
x y +=；(2)是，94
【解题分析】 (1)根据12c e a =
=及222a b c =+可得2243b a =，再将点31,2D ⎛⎫
⎪⎝⎭
代入椭圆的方程与2243b a =联立解出22,a b ，即可求出椭圆的方程；
(2) 可设AC 所在直线的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,(1))C t k t -，将直线AC 的方程与椭圆的方程联立，用根与系数的关系求出1212,x x x x +，然后将直线DA 、DB 、DC 的斜率1k 、2k 、3k 分别用12,,x x t 表示，利用1232k k k +=可求出4t =，从而可确定点C 恒在一条直线4x =上，结合图形即可求出DCF ∆的面积DCF S ∆． 【题目详解】 (1)因为椭圆的离心率为
1
2，所以12c e a ==，即12
c a =，
又222a b c =+，所以2243b a =，① 因为点31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以
22
1914a b +=，② 由①②解得2243
a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22
143x y +=．
(1)可知1c =，(1,0)F ，可设AC 所在直线的方程为(1)y k x =-，
由22(1)
14
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,(1))C t k t -，则2122834k x x k +=+，2
1224(3)34k x x k
-+=， 设直线DA 、DB 、DC 的斜率分别为1k 、2k 、3k ， 因为,,A B F 三点共线，所以AF BF k k k ==，即
12
1211
y y k x x ==--， 所以121212
12121233
311221111211y y y y k k x x x x x x -
-⎛⎫+=+=+-+ ⎪------⎝⎭
121212()2322121x x k k x x x x +-=-⋅=--++， 又
33(1)21
k t k t --=
-，
因为直线DA 、DC 、DB 的斜率成等差数列，所以1232k k k +=，
即(21)(1)2(1)3k t k t --=--，化简得4t =，即点C 恒在一条直线4x =上， 又因为直线DF 方程为1x =，且3
||2
DF =， 所以DCF S ∆是定值1393224
DCF S ∆=⨯⨯=. 【题目点拨】
本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题，属于中档题． 20、
（Ⅱ）函数()f x 的定义域为,,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
且，值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解题分析】
（1）由α为第二象限角及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α及tan α的值，再代入()f x 中即
可得到结果.
（2）函数()f x 解析式利用二倍角和辅助角公式将()f x 化为一个角的正弦函数，根据x 的范围，即可得到函数值域. 【题目详解】
解：（1）因为α是第二象限角，且sin 3
α=，
所以cos α=
所以sin tan cos α
αα
=
=
所以()(2
1133f α⎛=-= ⎝⎭
.
（2）函数()f x 的定义域为,,2x x R x k k Z π
π⎧⎫
∈≠+
∈⎨⎬⎩
⎭
且.
化简，得()()
2
1cos f x x x ==
2
1cos x ⎛= ⎝
2cos cos x x x =
1cos 222x x +=
+ 1sin 262x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
因为x ∈R ，且2
x k π
π≠+，k Z ∈，
所以7226
6
x k π
ππ+
≠+， 所以1sin 216x π⎛⎫
-≤+
≤ ⎪⎝
⎭
. 所以函数()f x 的值域为13,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦. （注：或许有人会认为“因为2
x k π
π≠+，所以()0f x ≠”，其实不然，因为06f π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
.） 【题目点拨】
本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和
辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型. 21、 (1)见证明；(2) 153
【解题分析】
（1）取PD 中点G ，可证EFGA 是平行四边形，从而EF
AG ， 得证线面平行；
（2）取AD 中点O ，连结PO ，可得PO ⊥面ABCD ，连OB 交CE 于M ，可证PMO ∠是二面角P EC D --的平面角，再在PMO ∆中求解即得． 【题目详解】
（1）证明：取PD 中点G ，连结GF AG 、
GF 为PDC △的中位线，//GF CD ∴且1
2
GF CD =，
又//AE CD 且1
2
AE CD =，//GF AE ∴且GF AE =，
∴EFGA 是平行四边形，则EF
AG ，
又EF ⊄面PAD ，AG ⊂面PAD ，
EF ∴∥面PAD ；
（2）解：取AD 中点O ，连结PO ，
∵面PAD ⊥面ABCD ，PAD △为正三角形，
PO ∴⊥面ABCD ，且3PO =，
连OB 交CE 于M ，可得Rt EBC Rt OAB ≌，
MEB AOB ∴∠=∠，则90MEB MBE ∠+∠=︒，即OM EC ⊥．
连PM ，又PO EC ⊥，
可得EC ⊥平面POM ，则PM EC ⊥， 即PMO ∠是二面角P EC D --的平面角，
在Rt EBC 中，BE BC BM OM OB BM CE ⋅===-=
∴tan PO PMO OM ∠=
=P EC D --的正切值为3
． 【题目点拨】 本题考查线面平行证明，考查求二面角．求二面角的步骤是一作二证三计算．即先作出二面角的平面角，然后证明此角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算．
22、（1）函数()f x 单调减区间为(),1-∞-;单调增区间为()1,-+∞．（2）22ln 2b ≤-（3）1,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
【解题分析】
（1）据导数和函数单调性的关系即可求出;
（2）分离参数,可得2x ae x b ≥+对任意的1a ≥及任意的0x >恒成立,构造函数()2x x e x ϕ=-,利用导数求出函数的最值即可求出b 的范围;
（3）先求导,再分类讨论,根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围
【题目详解】
解：（1）当0a <时,因为()()1x
f x a x e '=+,当1x <-时,()0f x '>; 当1x >-时,()0f x <．所以函数()f x 单调减区间为(),1-∞-;单调增区间为()1,-+∞．
（2）由()2
2f x x bx ≥+,得22x axe x bx ≥+,由于0x >, 所以2x ae x b ≥+对任意的1a ≥及任意的0x >恒成立,
由于0x e >,所以x x ae e ≥,所以2x e x b -≥对任意的0x >恒成立,
设()2x
x e x ϕ=-,0x >, 则()2x
x e ϕ'=-,所以函数()x ϕ在()0,ln 2上单调递减,在()ln 2,+∞上单调递增, 所以()()min ln 222ln 2x ϕϕ==-,
所以22ln 2b ≤-．
（3）由()ln x
h x axe x x =++,得()()()()11111x x x axe h x a x e x x ++'=+++=,其中0x >． ①若0a ≥时,则()0h x '>,所以函数()h x 在()0,∞+上单调递增,所以函数()h x 至多有一个零点,不合题意;
②若0a <时,令()0h x '=,得10x xe a
=->． 由第（2）小题,知：当0x >时,()222ln 20x x e x ϕ=-=->,所以2x e x >,所以22x xe x >,所以当0x >时,函数x xe 的
值域为()0,∞+．
所以,存在00x >,使得0010x ax e +=,即001x ax e =-, ①
且当0x x <时,()0h x '>,所以函数()h x 在()00,x 上单调递增,在()0,x +∞上单调递减．因为函数有两个零点1x ,2x , 所以()()0000000max ln 1ln x
h x h x ax e x x x x ==++=-++．② 设()1ln x x x ϕ=-++,0x >,则()110x x ϕ'=+
>,所以函数()x ϕ在()0,∞+单调递增,由于()10ϕ=,所以当1x >时,()0x ϕ>．所以,②式中的01x >,
又由①式,得001x x e a
=-． 由第（1）小题可知,当0a <时,函数()f x 在()0,∞+上单调递减,所以1e a -
>, 即1
,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
． 当1,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时, （ⅰ）由于11110e ae h e e e ⎛⎫⎛⎫=+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,所以得()010h h x e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭,又因为011x e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,且函数()h x 在()00,x 上单调递减,函数()h x 的图象在()00,x 上不间断,所以函数()h x 在()00,x 上恰有一个零点; （ⅱ）由于1111ln a h e a a a -⎛⎫⎛⎫-=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,令1t e a =->, 设()ln t
F t e t t =-++,t e >, 由于t e >时,ln t t <,2t e t >,所以设()0F t <,即10h a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
-<． 由①式,得,当01x >时,0001x x e x a -=>,且()010h h x a ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭
,同理可得函数()h x 在()0,x +∞上也恰有一个零点． 综上,1,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
． 【题目点拨】
本题考查含参数的导数的单调性,利用导数求不等式恒成立问题,以及考查函数零点问题,考查学生的计算能力,是综合性较强的题.。