人教版A版课标高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念课件(2)

(x,y)|y=x2}.
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学点六 集合的应用 已知集合A={x|ax2+2x+1=0}. （1）若A中只有一个元素，求a的取值范围; （2）若A中至少有一个元素,求a的取值范围; （3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围 【分析】理解“只有”“至少”“至多”的准确含义是解本题
的关键.
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互异性，列出两两元素的关系式求解，通常要用到分类讨论.
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集合{3,x,x2-2x}中，x应满足的条件是
.
【解析】 x≠3且x≠0且x≠-1根据构成集合的元素的 互异性，x应满足
x3
x
2
2x
3
x 2 2x x
解之得x≠3且x≠0且x≠-1.
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学点四 集合的表示 用列举法表示下列集合：
返回 24
1.集合和元素是两个不同的概念，符号∈和 是表示元素
和集合关系的.如{1}∈{1,2,3}的写法是错误的，而 {1}∈{{1},{2}，{3}}的写法就是正确的. 2.解题时要特别关注集合元素的三个性质,特别是互异性,要 进行解题后的检验. 3.注意将数学语言与集合语言进行相互转化.
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3x
2
y
8
得
方程组的解集为{(4,-2)}.
x4
y
2
（2）1 000以内被3除余2的正整数可以表示为x=3k+2,k∈N的 情势. 故所求的集合为{x|x=3k+2,k∈N,且x<1 000}.
（3）在直角坐标平面上,位于第二象限内的点,其横坐标x<0,纵 坐标y>0,用集合表示为{(x,y)|x为{正方形}.
（5）在直角坐标平面上,在直线x=1和x=-1两侧的点,其横坐标 x>1或x<-1,纵坐标y可以取任意值,故集合表示为{(x,y)|x>1或x<-
1}.
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学点五：数集的应用
用符号“∈”或“ ”填空:
1
N, -1 N*, -3 N, 0.5 N, 3
集合的含义与表示
1
学点一
学点二
学点三 学点四
学点五
学点六
2
1.一般地，我们把研究对象统称为 元素 ，把一些元素组成的总体叫 做 集合 （简称为 集 ）.
2.集合通常用 大写拉丁字母A，B，C，…来表示，而集合中的元素通常
来表示 小写拉丁字母a,b,c,… ，如果a是集合A中的元素，就 a属于集合 A
返回 4
学点一 集合的概念 下列各组对象能否组成集合. (1)小于10的自然数：0,1,2,3,…,9; (2)满足3x-2>x+3的全体实数; (3)所有直角三角形; (4)到两定点距离的和等于两定点间的距离的点; (5)高一(1)班成绩好的同学; (6)参与中国加入WTO谈判的中方成员; (7)小于零的自然数; (8)小于等于零的正整数.
描述法
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返回 6
下列各组对象能否构成集合:
(1)所有漂亮的人;
(2)所有大于0的正整数;
(3)不大于3且不小于0的有理数; (4)所有的正整数;
(5)某校2009年在校的所有成绩好的同学. 解析：
(1)不能.“漂亮”的标准不具有元素的确定性，故不能构成集合.
(2)能.所有大于0的正整数为1,2,3,…,故能构成集合.
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用符号“∈”或“ ”填空:
(1)0 N*;5 Z;(-1)0 N*.
(2)2 3 {x|x< 11}; 3 2
{x|x>4}; 2 5 {x|x≤2+ 3 }.
(3)3
{x|x=n2+1,n∈N*}; 5
{x|x=n2+1,n∈N*}.
(4)(-1,1)
{y|y=x2}; (-1,1)
（1）A={x|x=|x|,x∈Z且x<8};
（2）B={x|x=
a a
+
b b
,a,b为非零实数}；
（3）C={x|
3
6
x
∈Z,x∈N+
}
【分析】（1）根据x的范围解方程；
（2）根据绝对值的意义化简；
（3）所求的x要满足两个条件：
①x是正整数；②使
3
6
x
是整数.
返回 12
【解析】（1）∵x=|x|,∴x≥0,又∵x∈Z且x<8, ∴{x|x=|x|,x∈Z且x<8}用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6,7}.
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(1)用适当的方法表示下列集合:
方程组
2x 3y 14
3x
2y
8
的解集;
(2)1 000以内被3除余2的正整数所组成的集合;
(3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合;
(4)所有的正方形;
(5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成
的集合.
返回 14
解：
（1）由 2x 3y 14
素构成的集合，并且a× 1 a× a =-1 . 即这三个元素的乘积恒为-1.
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1.解题时如何利用集合中元素的性质? 集合中元素的确定性、互异性、无序性是集合中元素的
三个重要性质，要充分理解和认识三个性质，掌握其规律. 如在解有关集合相等时,集合中元素间存在相等关系,元素顺 序是一个重要因素,利用元素的无序性,可解决此问题.另外 在解决了表示集合元素的字母后,应代回集合中检验互异性.
【解析】（1）A
ax2 +2x+1=0只有一解.
若a≠0,则Δ=0,解得a=1，此时x=-1.
若a=0,则x=-12.
∴当a=0或a=1时,A中只有一个元素.
（2）①当A中只有一个元素时,由（1）知a=0或a=1;
②当A中有两个元素时,需满足条件a≠0,
Δ>0.得a＜1且a≠0.综上，得a≤1.
返回 19
（2）当a>0,b>0时，x=2;当a<0,b<0时，x=-2；当a,b异号 时，x=0. ∴B={-2,0,2}. （3）由题意，知3-x=±1,±2，±3，±6, ∴x=0, -3,1,2,4,5,6,9,又∵x∈N+, ∴C={1,2,4,5,6,9}.
【评析】掌握集合的两种表示情势的关系和转化
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2.集合的列举法和描述法的转换如何进行? 集合的表示情势主要有两种:列举法和描述法.当需
要转换表示情势时,可这样实施,由描述法到列举法,只 需把满足特征性质的所有元素一一写出来即可,而完成 由列举法到描述法时,需由列出的元素找规律,常常用 归纳、猜测、计算等方法，要注意元素的一些限制条 件.
（4）有理数构成的集合叫 有理数集 ，记作 Q
；
（5）实数的全体构成的集合叫 实数集 ，记作 R
.
返回 3
5.列举法是 把集合中元素一一列举出来放在“{ }”内，这种表示集合的方法叫列举法. 6.如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)， 而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A 的 特征性质 . 7.描述法的表示情势为 {x∈I|p(x)} .
N;
1
Z, 0 Z, -3 Z, 0.5 Z, 2 Z;1 Q,
0
Q, -3 Q, 0.5 Q, 2 Q;1 R,0 R,
-3
R, 0.5 R, 2
R.
【分析】元素在集合中时,用符号“∈”，而元素不在集
合中时，用符号“ ”.
【评析】数集的范围不明或数集的符号记忆错误是出错的主要 原因.
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给出下列命题:
①N中最小的元素是1;
②若a∈N,则-aN;
③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2.
其中所有正确命题的个数为( A )
A.0个 B.1个
C.2个
对命题逐个分析判断.
D.3个
① N是自然数集,最小的自然数为0,故错误;
②若a∈N,则-aN,错误,如a=0时,-a=0∈N,故错误;
说 a不属于集合A，记作
；如果a不是集合Aa∈中A的元素，就
说 aA
，记作
；
3.集合中元素具有的性质 确定性 、 互异性 无序性 .
4.常用的数集
（1）非负整数的全体构成的集合叫 自然数集，记作
N；
（2）在自然数集内排除零构成的集合叫 正整数集 ，记作 N*或 N+ ；
（3）整数的全体构成的集合叫 整数集 ，记作 Z ；
③因为N中最小元素为0,故当a∈N,b∈N时,a+b的最小值为0,故错
误.
返回 9
学点三 集合中元素的性质
已知由1,x,x2三个实数构成一个集合，求x应满足的条件.
【分析】1，x,x2是集合中的三个元素，则它们是互不相等的. 【解析】根据集合中元素的互异性，得
x 1
x
2
1
x x 2
所以x∈R且x≠±1且x≠0. 【评析】解决这类问题的主要根据是集合元素的性质特征—
(3)能.满足条件的集合为{x∈Q|0≤x≤3}.
(4)能.所有的正整数构成的集合为N*.
(5)不能.成绩“好”的分类标准不明确，故不能构成集合. 返回 7
学点二 元素与集合的关系
若M是由1和3两个数构成的集合,则下列表示方法正确的是( C)
A.3 M
B.1 M C.1 ∈M D.1∈M且3M
【分析】如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A;
返回 5
【分析】一组对象能否构成集合,关键在于其是否具有确定性. 【解析】由于研究对象具有确定性,故(1) (2)(3)(4) (5)(6) 构成集合;(7) (8)中的元素不存在因构成空集;而(5)中的对象无 标准,因成绩是否好是不确定的,不能构成集合.
【评析】要构成集合,必须明确集合中的元素是确定的,模棱 两可、似是而非的不确定元素不能构成集合.
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
【解析】注意集 合与元素的关系,正确的使用符号“∈”与 “”
易知1∈M,3∈M，故应选C.
【评析】集合与元素之间的关系只能是属于和不属于的关系，
即对于集合A和某一个元素x,有一个明确的判断标准，即是x∈A，
还是x A，两者必居其一，且仅居其一.
4.列举法与描述法各有其优点,应该根据具体问题确定采用哪
种表示法,列举法有直观、明了的优点,但有些集合是不能用
“列举法”表示出来的,如满足x>3的x的集合.描述法是把集合
中元素所具有的特征性质描述出来,具有抽象、概括、普遍性
的优点.表示一个集合可认为是进行如下的过程：
列举法
由对元素规律的视察,概括出确定的条件 根据元素满足的条件,找出具体元素
（3）A
ax2 +2x+1=0至多有一解.
∴Δ=4-4a≤0 a≠0或a=0, ∴a≥1或a=0.
∴当a≥1或a=0时，A中至多有一个元素.
【评析】本题应用一元二次方程有关根的讨论，将集合语 言转化为方程解的问题.
本题难点在于如何将集合中元素个数转化为方程系数所需 要的条件.
返回 20
已知数集A满足条件:若a∈A,则 11∈a A (a≠1). (1)若2∈A,试求出A中其他所有元素;
返回 21
构成(3)的视集察合(1，)(2并)不且难a×发现11:aA×是由aa“1=a-,11.1a ,
a 1 a
”三个元素
证明:设a∈A,则
1 1 a
1
∈A,∵1 a∈A,则
1 1 1
1 a
a 1
= a ∈A.
a 1
1
1 a 1
∵
a
∈A,则
1
a
a
1
=a
∈A ∴A是由“a,
1a ,
a
”三个
元
1 a 1
(2)自己设计一个数属于A,再求出A中其他所有元素;
(3)从(1)(2)中你能发现什么规律,并论证你的发现.
（1）2∈A,则 1 =-1∈A,∵-1∈A,则 1 a
1 1 (1)
1
=
2
∈A,
1
1
1
∵2 ∈A,则 1 1 =2∈A.∴A中其他元素为-1, 2 .
2
（2）可根据自己所选的数去重复(1)中的过程.