一道高考题错误解法的反思

2021年第13期总第506期
数理化解题研究
—道咼考题错误解法的反思
冯世伟
（河南省新乡市第二中学453000）
摘要:排列组合是高中数学中相对独立部分，其中立体几何模型中的涂色问题是师生反映较难的部分,
对学生分析问题、解决问题能力要求较高.由于题目变化多端，结构复杂，思考过程容易出错，解答思路灵活, 答案检验和纠错困难，本文以排列组合问题的一个错误解法为例，分析排列组合中涂色问题的常见认知错误,
研究其产生错误的原因，找到解决问题的思路.
关键词：排列组合；常见错误；分类讨论；立体几何
中图分类号:G632 文献标识码:A 在讲排列组合复习课时，学生A 拿着资料问我下面
的一道题：
题目某人有4种颜色的灯 泡（每种颜色的灯泡足够多）,要
在如图1所示的6个点A , B , C ,
A 1，
B 1，
C 1上各装一个灯泡,要求同Al 图1 Bl
一条线段两端的灯泡不同色，则
’
每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有
种
（用数字作答）.
此题是高考理科填空题第16题（重庆卷），这是一道
“染色”问题与立体几何结合的综合试题，当时就给学生
如下分析：由条件知点A 处有4种选择,点B 处有3种选 择，点C 处有2种选择，从而点A 1处有3种选择，点B 1处
与点A 处的灯泡可以同色，也可以异色,故点B 1处也有3 种选择，点C 1处只有1种选择,由乘法原理共有4x3x2
x3x3 =216（种）方法.看数据与答案相符，当时还有点沾
沾自喜的“成就感”.在第二天上课时我就将此题在班里讲了 一下.
学生B 说:“老师，您的解题思路有问题”.
我当时持有怀疑的心理,为了鼓励学生B,我还是说：
“请你说说错误之处”.
学生B 说:“在A ,B ,C 指定了的染色方法后,A 1,B 1的
“任意性”，可导致最终只使用了三种颜色的情况出现”.
对呀！题目要求每种颜色的灯泡都至少用一个，我
向同学们说:我知道，我错了！究竟错在何处呢,为什么 我的思路所得数据又和答案“如此完美的相符”呢？同学 们发现了老师的错误，真是激情高涨，为了能尽快地纠正
文章编号：1008 -0333 （2021） 13 -0009 -02
老师的错误,当时在班内就热火朝天地讨论开了.
题意分析 这是一道“染色”问题与立体几何结合的 综合试题，解题时抓住题意，“同一条线段两端的灯泡不
同色”，同时要注意“每种颜色都要使用”的限制.
解析 先确定A ,B , C 处的颜色，有A 4种，第四种颜
色的灯的安装位置有C ；种（例如放在C 1处）,其余两处
分两种情况:若A 1，B 同色，则B 1处有2个选择，若A 1，B
不同色，由于A 1处已确定，则B 1处仅有1个选择.所以共 有A ：C ；（2 + 1） =216种不同的方法.这才是正确的解法.
解法研究“棱的两端不同色”的条件大家都会注意 到，而“四种颜色都要使用”的条件,往往容易忽略或使用 不好.解法的示范揭示出:底面三角形的顶点必不同色, 故可整体处理为A 4种.以下即可从另一底面上“必有一
点为第四种颜色”出发,经过分类讨论（化朦胧为清晰）得
出答案.这里讨论是不可避免的.
提供另外一种思路供大家探究:用四种颜色染六个
点,必有两个是同色的；统一底面上的点不能同色,而同 色的两点必分处于两个底面，故不会有三点同色,故六个
点依题设染色时,必有两组“双点”同色和另外两个单点 与其它点均不同色,于是可依“先组合后排列”的原则,先
分析两组同色的“双点”的取法，并将同色的“双点”视为
一点,再做全排列.同色的“双点”连线必为侧面对角线, 且两条对角线没有公共的端点（即棱台的顶点）,故取两
组的方法数为C 2 -6（C 6中的“6”指侧面有6条对角线；
“ -6”是减去“虽不在同一侧面,却有公共端点一一棱台
顶点的6组对角线”）；也可以分类:侧面6条对角线中异 面的组数为2C 2种，相交（并非有公共顶点）的为3种.总
收稿日期：2021 -02 -05
作者简介：冯世伟（1979. 9 -），河南省平舆人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.
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数理化解题研究2021年第13期总第506期
之，两种同色点的取法共有C；-6-2C；+3-9种.将同色的两点视为一个点，问题变为以四种颜色涂四个点,共有A4种方法,于是原题的答案就是9A4-216种.
错解由条件知点A处有4种选择，点B处有3种选择，点C处有2种选择，从而点A1有3种选择,B1处与点A 处的灯泡可以同色，也可以异色，故点B1处也有3种选择，点C1处只有1种选择，由乘法原理共有4x3x2x3x3-216（种）方法.
错解分析错误1：在指定了A,B,C的染色方法后，A1,B1的“任意性”可导致最终只使用了三种颜色的情况出现.
错误2：染A1固然有3种方法，但只有A1与B同色时,B]才有3种方法，否则就只有2种.
错误3：对于A1，B1的不同染色,C1的染法不总是唯一确定的，如,A1与B1中有一个是第四种颜色，另一个与C同色时,C1有两种染法（与A或B同色）.
几处错误“交织”在一起,既有“增根”（不是重复，而是不符合题意）,又有“丢根”，而且何处“增”多少,何处“丢”多少，已难于用简短的语言交代清楚.“难能可贵的”是，其得数与正确答案相同！这正是该错误的隐蔽之处.错解之错是思路之错,不可容忍,答案的“一致”仅仅是题设的数据造成的巧合，在数据改变之后，以这样的错误思路解题势必铸成大错，这也是危害所在，解这类问题，直接“分步”的过程中，不分类讨论几乎是不可能的.
题目延伸如果颜色种数有变化，错误的思路体现的错误就很明显，最显然的一种情况，用足给定的六种颜色三棱台标有字母的六个顶点，自然是A6种方法，若用足给定的五种颜色染三棱台标有字母的六个顶点，方法有多少种？
正解染A,B,C有A3种方法，余下的两种颜色染A1, B1,C1中的两点有A；种方法，余下的一个点与和它共棱的三个点不同色，其余两色任选有C2种.故有a3a2c3-A6种方法.
错解六个点选五个点染不同颜色有a6种方法，余 下的一个点与和它共棱的三个点不同色,其余任选有c；种，故有a5c2-2a5种.
分析恰好重复了一倍,理由是“余下的点”可能在上底面，也可能在下底面，这两种只考虑一种（即是正解）.都考虑当然重复一倍，尽管不是有意的,但这种思维的“随意性”有害，应引以为戒.其实也可以如下分析:六个点中必有两点同色（连线为侧面对角线）,于是将“两点视为一点”的方法有C；种,然后全排列有A5种,故共有C1A5-A6-A5种.
下面看一道数学联赛题（1995年高中数学联赛）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色.如果只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？
方法1以颜色为主分类讨论
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A
C D
图2
第一类用3种不同颜色时，第一步选色染A,第二步从剩余4种颜色任选两种染E,B,C,D四点，此时只能对角点可分别同色，故有C1C2C；-60种；
第二类用4种不同颜色，先从5种颜色选一种色染A；再从剩余4种颜色任选两种染E,B且颜色可交换有A2种;再从余下的两种颜色中任选一种染D或C,而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有CA2C2C；-240种.
第三类用5种颜色染色有A5-120种，由加法原理得不同的涂色方法数共有60+240+120-420种.
方法2以区域为主分步计数（可以以相邻颜色最多的区域开始）
第一步先涂A,有5种,第二步再涂D（与A不同色）有4种，第三步涂E（与A,B不同色）有3种，此时只剩2种颜色染B,C，对角点可同色,C,A同色时,B与A（C）,E 不同色有3种；C,A不同色时,C有2种选择的颜色,D也有2种选择的颜色，从而C,D染色有1x3+2x2,由乘法原理共有60x7-420种.
推广1用5种颜色将“棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色.如果只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是°-15[3“-1+（-1）“-2]；
推广2用m（m M4）种颜色将n（n M3）棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色.如果只有m种颜色可供使用,那么不同的染色方法总数是°n-m（m-2）[（m-2）n-1+（-1）n].
解题反思错解给了我们反思的机会，让我们更加深刻地认识到排列组合的本质内涵，分类计数原理（加法计数原理）和分步计数原理（乘法计数原理）是解决排列组合问题的最根本的方法.
参考文献:
[1]陈鸿斌，贾丽红.一道高考题求解错误的调查研究[J].中学数学研究,2019（05）：7-9.
[2]孙世林.一道高考题的解法探究、变式及反思[J].中学数学教学参考,2017（07）：48-50.
[3]范方兵.素养导向下一道高考试题的解法探究[J].中国数学教育,2018（22）：52-55.
[责任编辑:李璟
]。