人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》提高卷(含答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（ ）
A ．16
B ．32
C ．64
D ．128C
解析：C
【分析】 根据三角形的外角性质以及等边三角形的判定和性质得出OA 1=B 1A 1=1，OA 2=B 2A 2=2，OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而得出答案．
【详解】
如图，
∵△A 1B 1A 2是等边三角形，
∴A 1B 1=A 2B 1，∠2=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠MON=∠1=30°，
∴OA 1=A 1B 1=1，
∴A 2B 1= A 1A 2=1，
∵△A 2B 2A 3是等边三角形，
同理可得：OA 2=B 2A 2=2，
同理；OA 3=B 3A 3=224=，
OA 4=B 4A 4=328=，
OA 5=B 5A 5=4216=，
…，
以此类推：
所以OA 7=B 7A 7=6264=，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出OA2=B2A2=2，OA3=B3A3=224
=，…进而发现规律是解题的关键．
=，OA4=B4A4=328
4,3-，点P在x轴上，且使2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为()
AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数为（）．
A．2 B．3 C．4 D．5C
解析：C
【分析】
以O为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有2个交点，再以A为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有1个交点，然后再作AO的垂直平分线可得与x轴有1个交点．
【详解】
解：如图所示：
点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法：①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中正确的是（）
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③B
解析：B
【分析】
根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝
∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【详解】
∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC＋∠BCF，∠AGF＝∠CAD＋∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．
4．如图，在Rt ABC ∆中， 90,30,ACB A CD ︒︒∠=∠=是斜边AB 上的高，2BD =，那么AD 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8C 解析：C
【分析】
根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD 是斜边AB 上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC ，在Rt △ABC 中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB ，再用线段的差求AD ．
【详解】
解：Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，
CD 是斜边AB 上的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=30°，
∴BC=2BD ＝4，
同理，AB=2BC=8，
AD=AB-BD=8-2=6，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半是解题关键．
5．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（ ）
A ．32
B ．2
C ．52
D ．3B
解析：B
【分析】
由已知可以写出∠B 和∠C ，再根据三角形内角和定理可以得解．
【详解】
解：由已知可得：∠B=∠C=k ∠A=（36k ）°，
由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，
∴k=2，
故选B ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键 ．
6．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（ ）
A ．()2,2
B ．(2,1)-
C ．()2,1-
D ．(2,1)-- C 解析：C
【分析】
根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．
【详解】
解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，
∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）
故选：C ．
【点睛】
本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．
7．如图，在ABC 中，90C =∠，30B ∠=，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交
BC 于点D ，则:DAC ABC S S 等于（ ）
A ．1:2
B ．2:3
C ．3
D ．1:3D
解析：D
【分析】 先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=
12AD ，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：由作图过程可知：AP 平分∠BAC ，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠1=∠2=∠B=30°，
∴CD=12
AD ，AD=BD ， ∴BC=BD+CD=AD+12AD=32
AD ，
S △DAC =12AC•CD=14
AC•AD ， ∴S △ABC =
12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD ， ∴S △DAC ：S △ABC =1：3，
故选D ．
【点睛】
本题考查的是作图—基本作图，熟知角平分线的作法和性质，30°的直角三角形的性质是解答此题的关键．
8．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（ ）
A ．A
B
C ∠=∠=∠
B ．,60AB A
C B =∠=︒ C ．60,60A B ∠=︒∠=︒
D ．AB AC =，且B C ∠=∠ D 解析：D
【分析】
根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．
【详解】
A 、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；
B 、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△AB
C 是等边三角形，故本选项不符合题意；
C 、由“∠A ＝60°，∠B ＝60°”可以得到“∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；
D 、由“AB ＝AC ，且∠B ＝∠C”只能判定△ABC 是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
9．如图，在ABC 与A B C ''△中，,90AB AC A B A C B B ==''='∠+∠'=︒，ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，则（ ）
A ．12S S >
B ．12S S
C ．12S S <
D ．无法比较1S 、2
S 的大小关系B
解析：B
【分析】 分别做出两三角形的高AD ，A′E ，利用题干的条件证明△ABD ≅△A′B′E 即可得到两三角形的面积相等；
【详解】
分别做出两三角形的高AD ，A′E ，如图：
90B B '+=∵∠∠，90B A E B '''+=∠∠，90BAD B ∠+∠=,
∴∠B=∠B′A′E ，∠B′=∠BAD ，
又AB=A′B′，
∴△ABD ≅△A′B′E ，
同理△ACD ≅△A′C′E ；
∴ABD A B E S
S ''=，ACD A C E S S ''=， 故ABD ACD A B E A C E S S S S ''''+=+，
又ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，
∴12S S
故选：B ．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质及三角形全等的判定及性质：两三角形全等，则对应边对应角相等，面积也相等．
10．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）
A ．50°
B ．80°
C ．65°或80°
D ．50°或80°D
解析：D
【分析】
由50︒的角是顶角或底角，依据三角形内角和计算得出顶角的度数．
【详解】
当50︒的角为顶角时，它的顶角为50︒，
︒-︒⨯=︒，
当50︒的角为底角时，它的顶角为18050280
∴它的顶角为50︒或80︒，
故选：D．
【点睛】
此题考查等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟记等边对等角的性质是解题的关键．
二、填空题
11．如图，点CD在线段AB的同侧，CA=6，AB=14，BD=12，M为AB中点，
∠CMD=120°．则CD的最大值为____．
25【分析】作点A关于CM的对称点A作点B关于DM的对称点B证明△AMB 为等边三角形在根据两点之间线段最短即可解决问题【详解】解：作点A关于CM的对称点A作点B关于DM的对称点B如下图所示：∴∠1=
解析：25
【分析】
作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，证明△A’MB’为等边三角形，在根据两点之间线段最短即可解决问题．
【详解】
解：作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，如下图所示：
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠CMD=120°，
∴∠2+∠3=60°，
即∠A’MB’=120°-60°=60°，
又M为AB的中点，
∴AM=MA’=MB’=MB，
∴△A’MB’为等边三角形，
∴A’B’=AM=7，
由两点之间线段最短可知：
CD≤CA’+A’B’+B’D=CA+AM+BD=6+7+12=25，
故答案为：25．
【点睛】
本题主要考查了几何变换之折叠，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．
P-向右平移4个单位得到点P'，则点P'关于x轴的12．在平面直角坐标系中，将点(3,2)
对称点的坐标为________．【分析】先根据向右平移4个单位横坐标加4纵坐标不变求出点的坐标再根据关于x轴对称横坐标不变纵坐标相反解答【详解】解：∵将点P（3-2）向右平移4个单位得到点∴点的坐标是（7-2）∴点关于x轴的对称点
解析：(7,2)
【分析】
先根据向右平移4个单位，横坐标加4，纵坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．
【详解】
解：∵将点P（3，-2）向右平移4个单位得到点P'，
∴点P'的坐标是（7，-2），
∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（7， 2）．
故答案为：（7， 2）
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化−平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
∠=︒，
13．如图，点D、E是ABC的边BC上的点，且AED n
∠∠∠=，若点D在边AC的垂直平分线上，点E在边AB的垂直CAD DAE BAE
::1:3:2
平分线上，则n=________．
80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C∠BEA=∠B再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x再根据三角形外角的性质可得∠AED【详解】解：∵点D在边AC的垂直平分线上点解析：80
【分析】
先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．
【详解】
解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，
∴AD=CD ，AE=BE ，
∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，
∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，
∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，
∴,2C x B x ∠=∠=，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴322180x x x x x ++++=︒，
解得20x =︒，
∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，
故答案为：80．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．
14．如图，点C 在DE 上，,,45B E AB AE CAD BAE ∠=∠=∠=∠=︒，则
ACB =∠_____________．
【分析】由条件可证得△ABC ≌△AED 则
可求得∠ACB=∠ADEAD=AC 再利用等腰三角形的性质可求得答案【详解】解：∵∠CAD=∠BAE ∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE 即∠BAC=∠DAE
解析：67.5
【分析】
由条件可证得△ABC ≌△AED ，则可求得∠ACB=∠ADE ，AD=AC ，再利用等腰三角形的性质可求得答案．
【详解】
解：∵∠CAD=∠BAE ，
∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE ，
即∠BAC=∠DAE ，
在△ABC 和△AED 中，
B E AB AE
BAC EAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABC ≌△AED （ASA ），
∴AD=AC ，∠ACB=∠ADE ，
∴∠ACD=∠ADC ，
∵∠CAD=45°，
∴∠ADC=67.5°，
∴∠ACB=67.5°，
故答案为：67.5．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
15．如图，在正方形网格中，分别将①②③④四个网格涂上阴影，能与原阴影部分构成一个轴对称图形的有____________．（填网格序号）
②③【分析】根据轴对称图形的概念求解【详解】解：
有2个使之成为轴对称图形分别为：②③故答案是：②③【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念正确把握轴对称图形的概念是解题关键
解析：②③．
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
解：有2个使之成为轴对称图形，分别为：②，③．
故答案是：②③．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的概念，正确把握轴对称图形的概念是解题关键．
16．在△ABC 中，按以下步骤作图：
①分别以A ，C 为圆心，以大于
12
AC 的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M ，N ； ②作直线MN 交AB 于点D ，连结CD ．
请回答：若BC=DC ，∠B=100°，则∠ACB 的度数为____．30°【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠BDC 的度数再根据线段垂直平分线的性质即可得出∠A 的度数进而得到∠ACB 的度数【详解】解：根据题意如图：
∵BC=DC ∠ABC=100°∴∠BDC=∠CBD
解析：30°
【分析】
依据等腰三角形的性质，即可得到∠BDC 的度数，再根据线段垂直平分线的性质，即可得出∠A 的度数，进而得到∠ACB 的度数．
【详解】
解：根据题意，如图：
∵BC=DC ，∠ABC=100°，
∴∠BDC=∠CBD=180°-100°=80°，
根据题意得：MN 是AC 的垂直平分线，
∴CD=AD ，
∴∠ACD=∠A ，
∴∠A=1(18080)502
⨯︒-︒=︒， ∴∠ACB=∠CBD -∠A=80°-50°=30°．
故答案为：30°．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．解题时注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
17．如图，DF 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ，若110BAC ∠=︒，则
DAE =∠__________°．
【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°再根据
线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得
∠B=∠BAD∠C=∠CAE则有∠BAD+∠CAE=70°进而求得∠DAE的度数【详解】解：∵在△A
解析：40︒
【分析】
先由已知求出∠B+∠C=70°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，则有∠BAD+∠CAE=70°，进而求得∠DAE的度数．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，
∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=70°，
∴∠ADE=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）=110°﹣70°=40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质是解答的关键．
=，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．若18．如图，ABC中，AB AC
=，BCE的周长为17cm，则BC=________cm．
AB cm
11
6【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=BE即可得出AC=BE+CE
根据△BCE的周长即可得答案【详解】∵DE是AB的垂直平分线
∴AE=BE∵AB=ACAC=AE+CEAB=11∴BE+CE=AC=
解析：6
【分析】
根据垂直平分线的性质可得AE=BE，即可得出AC=BE+CE，根据△BCE的周长即可得答案．【详解】
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵AB=AC，AC=AE+CE，AB=11，
∴BE+CE=AC=11，
∵BCE的周长为17cm，
∴BC+CE+BE=17，即BC+11=17，
解得：BC=6．
故答案为：6
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线性质，熟练掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题关键．
19．含30角的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12//l l ，30A ∠=︒，160∠=︒，若6AB =，CD 的长为__________．
3【分析】再根据含角的直角三角形的边角关系证得
BC=AB=3根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形即可证得CD=BC=3【详解】
解析：3
【分析】
再根据含30角的直角三角形的边角关系证得BC=12
AB=3，根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°，根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形，即可证得CD=BC=3．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=12
AB=3，∠CBD=60°， ∵12//l l ，
∴∠BDC=∠1=60°，又∠CBD=60°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD 为等边三角形，
∴CD=BC=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了含30角的直角三角形的边角关系、平行线的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握含30角的直角三角形的边角关系，证得△BCD 为等边三角形是解答的关键．
20．如图，已知 O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为_____度．
100【分析】连接AO延长交BC于D根据线段垂直平分线的性
质可得OB=OA=OC再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A即可求解【详解】解：连接AO延长交BC于D∵O为△A
解析：100
【分析】
连接AO延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A，即可求解．
【详解】
解：连接AO延长交BC于D，
∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴OB=OA=OC，
∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，
∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC，
∵∠BAC=50°，
∴∠BOC=100°．
故答案为：100．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握它们的性质和运用是解答的关键．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC 外，∠CBE＝150°，∠ACE＝60°．
（1）求∠ADC的度数．
（2）判断△ACE的形状并加以证明．
（3）连接DE，若DE⊥CD，AD＝1，求DE的长．
解析：（1）150°；（2）等边三角形，见解析；（3）2
【分析】
（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC＝60°，DB＝DC，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB＝∠ADC即可解决问题；
（2）利用ASA证明△ACD≌△ECB得到AC＝CE，结合∠ACE＝60°可得△ACE是等边三角形；
（3）首先证明△DEB是含有30度角的直角三角形，求出EB与DE的关系，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】
（1）解：∵BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△DBC是等边三角形．
∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°．
在△ADB和△ADC中，
∵
AC=AB AD=AD DC=DB ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
，
∴△ADC≌△ADB（SSS）．
∴∠ADC＝∠ADB．
∴∠ADC＝1
2
（360°﹣60°）＝150°．（2）解：△ACE是等边三角形．
理由如下：∵∠ACE＝∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠ECB．
∵∠CBE＝150°，∠ADC═150°，
∴∠ADC＝∠EBC．
在△ACD和△ECB中，
∵
ACD=ECB CD=CB
ADC=EBC ∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠
⎩
，
∴△ACD≌△ECB（ASA）．∴AC＝CE．
∵∠ACE＝60°，
∴△ACE是等边三角形．
（3）解：连接DE ．
∵DE ⊥CD ，
∴∠EDC ＝90°．
∵∠BDC ＝60°，
∴∠EDB ＝30°．
∵∠CBE ＝150°，∠DBC ＝60°，
∴∠DBE ＝90°．
∴EB ＝12
DE ． ∵△ACD ≌△ECB ，AD ＝1，
∴EB ＝AD ＝1，
∴DE ＝2EB ＝2．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 22．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将ABC ∆经过一次轴对称变换后得到'''A B C ∆，图中标出了点C 的对应点'C
()1在给定方格纸中画出变换后的'''A B C ∆；
()2画出AC 边上的中线BD 和BC 边上的高线AE ；
()3求'''A B C ∆的面积．
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）
152
【分析】
（1）连接CC′，作CC′的垂直平分线l ，然后分别找A 、B 关于直线l 的对称点A′、B′，连接
A′、B′、C′，即可得到A B C '''；
（2）作AC 的垂直平分线找到中点D ，连接BD ，BD 就是所求的中线；从A 点向BC 的延长线作垂线，垂足为点E ，AE 即为BC 边上的高；
（3）根据三角形面积公式即可求出A B C '''的面积．
【详解】
解：（1）如图，A B C '''即为所求；
（2）如图，线段BD 和线段AE 即为所求；
（3）111553222
A B C ABC S S BC AE '''∆∆==
⋅⋅=⨯⨯=． 【点睛】 本题主要考查几何变换作图，作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤：（1）找：在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点等）；（2）作：作各个特殊点关于已知直线的对称点；（3）连：按原图对应连接各对称点．熟练掌握作图步骤是解题的关键． 23．如图，,A B AE BE ∠=∠=，点D 在AC 边上，12,AE ∠=∠和BD 相交于点O ． （1）求证：AEC BED ∆≅∆
（2）若70BDE ︒∠=，求1∠的度数．
解析：（1）见解析；（2）40°
【分析】
（1）由12∠=∠得到BED AEC ∠=∠，然后根据ASA 即可证明AEC BED ∆≅∆； （2）由（1）得DE=CE ，70C BDE ∠=∠=︒，由三角形内角和即可求出1∠的度数．
【详解】
解：()11=2∠∠，
BED AEC ∠=∠∴
又,A B AE BE ∠=∠=
()AEC BED ASA ∴∆≅∆；
()2AEC BED ∆≅∆
70,BDE C DE CE ∴∠=∠=︒=
70C EDC ︒∴∠=∠=
118027040︒︒︒∴∠=-⨯=；
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题．
24．如图，点E 在ABC 的边AB 上，90ABC EAD ∠=∠=︒，
30BAC ADE ∠=∠=︒，DE 的延长线交AC 于点G ，交BC 延长线于点F ．AB=AD ，BH ⊥DF ，垂足为H ．
（1）求HAE ∠的度数；
（2）求证：DH
FB FH =+． 解析：（1）=15∠HAE ；（2）见解析
【分析】
（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；
（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论
【详解】
解：（1）连接BG
∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，
∴∠DAG=120°，
∵30ADE ∠=︒，
∴30∠=∠=︒ADE AGD ， ∴AG=AD ，
∵AB=AD ，
∴AG=AB ，
∵30BAC ∠=︒，
∴75∠=∠=︒AGB ABG ， ∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒， ∴=90∠∠=︒BHE EAD ， ∵=∠∠BEH AED ，
∴30∠=∠=︒ADE EBH ， ∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ， ∵90FHB ∠=︒，
∴∠=∠HBG HGB ，
∴GH=BH ，
∵AG=AB ，AH=AH ，
∴△AGH ≌△ABH ，
∴=∠∠HAE HAG ，
∵30BAC ∠=︒，
∴=15∠HAE ；
（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；
∵90ABC EAD ∠=∠=︒， ∴AD//BF ，
∴30∠=∠=︒F ADE ， ∵BH ⊥DF ，HM=HF ，
∴BF=BM
∴30∠=∠=︒F BMF
∵AB=AD ，90EAD ∠=︒ ∴45ADB ∠=︒，
∵30ADE ∠=︒
∴15∠=︒MDB ，
∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，
∴==15∠∠MBD MDB ，
∴BM=DM=BF ，
∵DH=DM+HM ，
∴DH=FH+BF
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 25．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A B C ，，的坐标分别为()()()4,5,2,1,1,3--- （1）作出ABC ∆关于y 轴对称的A B C ∆'''，并写出点'B 的坐标
（2）点P 是x 轴上的动点，当A BP ∆'周长最小时，找出点P ，并直接写出点P 的坐标
解析：（1）见解析，()'2,1B ；（2）见解析，()1,0P -
【分析】
（1）分别作出A ，B ，C 关于y 轴对称的对应点A′，B′，C′，即可得到答案．
（2）作点B 关于x 轴的对称点B″，连接A′B″交x 轴于P ，点P 即为所求．
【详解】
解：()1如图'''A B C ∆即为所求，
由图可知，()'2,1B ；
()2如图所示，点()
P-即为所求点．
1,0
【点睛】
本题考查作图——轴对称变换，轴对称——最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC ＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．
【分析】
（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；
（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠BCD+∠ACE=120°，
∵∠AEC=60°，
∴∠ACE+∠EAC=120°，
∴∠BCD=∠EAC，
在△AEC和△CDB中
∵
60 AEC BDC
BCD EAC
AC BC
∠=∠=︒⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，
由（1）知：△AEC≌△CDB，
∴BD=CE，
∵∠AEC=60°，
∴∠AEF =120°，
∵∠AFH ＝120°，
∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，
∴∠FAE=∠GFH，
∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，
∴△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH=EF，
∴CF=EF+CE=HG+BD；
（3）解：HG=CF+BD，理由是：
如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，
∵∠BDC=60°，
∴△BDM 是等边三角形，
∴∠BMD=60°，
∵∠AED=60°，
∴∠AEC=∠CMB=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，
∴∠CAE=∠BCE ，
∵AC=BC ，
∴△ACE ≌△CBM （AAS ），
∴CE=BM=BD ，
由（2）可证△HGF ≌△FEA （AAS ），
∴GH=FE ，
∵EF=CF+CE
∴HG=CF+BD ．
故答案为：HG=CF+BD ．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．
27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，完成下列作图（不必写作法，保留作图痕迹,标出相应字母）；
（1）作出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；
（2）尺规作图：在x 轴上找出一个点P ，使点P 到,A B 两点的距离相等．
解析：（1）见解析，（2）见解析，
（1）根据轴对称的性质，分别画出A 、B 、C 三点的对称点，顺次连接即可；
（2）作AB 的垂直平分线，交x 轴于点P ．
【详解】
解：（1）ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆如图所示；
（2）如图，作AB 的垂直平分线，交x 轴于点P ；
．
【点睛】
本题考查了轴对称变换和垂直平分线的性质的应用，依据知识准确画图是解题关键． 28．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ．
（1）求证：ABC ADE △≌△；
（2）若10AC =，求四边形ABCD 的面积；
（3）求FAE ∠的度数．
解析：（1）见解析；（2）50；（3）135°
（1）由题意先求出∠BAC=∠EAD ，然后根据SAS 推出△ABC ≌△ADE ；
（2）根据题意即可推出四边形ABCD 的面积=△ACE 的面积，进而分析计算即可得出答案；
（3）根据题意可推出∠CAF=45°，再根据∠EAF ＝∠FAC ＋∠CAE 即可求出∠FAE 的度数．
【详解】
（1）证明：90BAD CAE ∠=∠=︒，
90BAC CAD ∴∠+∠=︒，90CAD DAE ∠+∠=︒，
BAC DAE ∴∠=∠，
在ABC 和ADE 中，
AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
(SAS)ABC ADE ∴△≌△．
解:（2）ABC ADE △≌△，
ABC ADE S S ∴=△△，
ABC ACD ADE ACD ACE ABCD S S
S S S S ∴=+=+=四边形，
10AC =， 1010250ACE ABCD S S
∴==⨯÷=四边形． （3）90CAE ∠=︒，AC AE =，
45E ∴∠=︒，
BAC DAE △≌△，
45BCA E ∴∠=∠=︒，
AF BC ⊥，
45CAF ∴∠=︒，
4590135FAE FAC CAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．。