2006年江西省南昌市高三第一次调研测试数学

2006年江西省南昌市高三第一次调研测试数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，满分60分）
1. D
2. A
3. B
4. A
5. （理）A （文）C
6. D
7. B 8. C 9. （理）C （文）B 10. D 11. C 12. B
二、填空题（每小题4分，满分16分）
13. （理）2 （文）13
14. [)0，+∞
15. －1
16. 斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17. 解：f x x x a ()cos sin =+++1232……………………3分 =+++2261sin()x a π
…………………………5分
（I ）f(x)的最小正周期T =
=22ππ…………………………6分 （II ）由x x ∈-
+∈-[][]πππππ6326656，知，……………………8分 ∴-≤+≤∴-≤+
≤∴=++=-++∴+==1226
112262102111233012sin()sin()()()max min x x f x a f x a a a ππ……………………分，，解得……………………分
18. 解：（1）S 42=，需4次中有3次正面1次反面，设其概率为P 1
则P C 14334121241214
=⋅==()()…………………………6分 （2）（理）ξ∈{}0246，，，……………………7分 P C P C C P C C P C ()()()()()()()()()()()()()()ξξξξ=====+===+===⨯=01212516
821212121215329412121212316
106122132
11633364246242655615666………………分………………分………………分………………分
∴=⨯+⨯+⨯+⨯=E ()ξ05162153243166132158
………………12分 （文）6次中前两次均出现正面，要使246≤≤S ，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面。

设其概率为P 2。

P C C 242224331212121212121212532
=⨯+⨯⋅=()()()……………………12分 19. 解法（一）：
（1）在△ABC 中
BC AB AC AB AC BAC BC AC BC AB ACB BC AC ACC A ABC
BC ACC A BC A C
BC B C B C A C 222222
1111
1111112164166012
239024=+-⋅⋅∠=+-=∴=+=∴=⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥cos cos //°∠°，即……………………分
由直三棱柱性质知：平面平面平面又…………分
（2）∵BC B C BC ABC //11，平面⊂
∴∴B C A CB
B A CB
C A CB 11111116//平面点到平面的距离等于点到平面的距离……………分 设B A CB h 11点到平面的距离为，则 V V V h BC S S BC A C CC A C BC B A BC C A BC B A C C
A C C
A BC 111111111111122222228---==∴=⋅=⋅⋅⋅=⨯+=∆∆…………分
（3）连结AC A C O O OD A B D C D 1111，交于，过作⊥于，连结
由（）⊥平面得：平面⊥平面由正方形知⊥平面是在平面上的射影
（三垂线定理）
∠是二面角的平面角………………分11011111
11111111111111BC ACC A BCA ACC A ACC A AC A C
C A A BC
OD C D A BC C D A B ODC C A B C ∴⊥∴∴⊥∴--
在△中，，，，由得：∠二面角的大小是………………分A BC A B BC A C A O OD BC A O A B OD ODC OC OD C A B C 11111111112523222
22325
6526
5
15315312======⋅=∴===∴--tan arctan
解法（二）先证∠ACB=90°，然后以C 为原点，分别以CA 、CB 、CC 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（略）
20. （理）解：一. 1210<≤∈≤a x a f x 时，∵，时，[]'()………………2分 x a f x ∈>(]'()，时，………………分204
∴==f x f a ()()min 0………………6分
二. a >2时，
∵，x ∈[]12 ∴<∴=⋅-x a f x x e ax ，()2
f x x ax e ax '()()=-⋅<-202………………8分
∴f(x)在x ∈[]12，时是减函数……………………10分
∴f x f e a ()()min ==-242……………………12分
（文）解：f x ax a x ax x '()()()()=+--=+-36363612………………2分 一. a f x x =>⇔>001时，'()
∴递增区间是（1，+∞）……………………6分
二. a<0时，f x x a x '()()()>⇔+-<02
10 （）时，递增区间是（，）………………分
（）时，无递增区间……………………分（）时，递增区间是（，）………………分
12012
82210322
112-<<-=-<--a a a a a
21. 解：（1）双曲线的左准线为x =-1
∴=抛物线方程是y x 24……………………4分
（2）设A （y y 0
204，），AP 的直线方程为y y k x y -=-00
2
4()
将抛物线方程y x 24=代入AP 的直线方程，得ky y y ky 2002
440-+-=
……………………
6分
∴+==-=-=--=+∴=--=+=--y y k y k y x k
y
y k y x k y k y y y y y y k k y P p P Q Q PQ P Q P Q P Q 0002
002
220
4
444
4444444428
，，同理：，………………分
()()
()
∴PQ 的直线方程是y k y k k y x k y ++=--⋅-+444424400
02
[()
]…………9分
令y y k ky x k ky y =-⇒--=-++020200
2
4421684 ∴=++-∴=→=→→x y M y y h BM MP PQ 4444
11440120202
0，点的坐标是（，）………………分
存在，使得，，且………………分
()//
22. 解：（1）a a a a a a n n n n n n n n +++++==12
11
2121412141
4
2()()
，∴………………分 又∵a a a a 11221
212141
4==⋅=，，∴……………………4分 ∴-a a a a a a a n n 135212421
4，，……及，…，…均为公比为的等比数列 a a a n n n n
n n 212122
14141
26--==∴=()()()………………分
（2）（理）||()()()b a a a a a a a a a 11
21
11211201
122≤⇔-≤⇔>-≥⎧
⎨⎩<<--≥⎧⎨⎩⇔≥或
………………8分
现证：a b a n N n n ≥≤∈+2时，对||成立
①n=1时，||b a 11≤成立；
②假设n=k （k ≥1）时，||b a k k ≤成立，
则n k b b a b a b a a b a a k k k k k k
k =+=+≤-≤-≤++11
211
2
11时，||||||||
(||)()…………12分
即时，也成立，∴时，n k b a n N b a k k n n =+≤∈≤++111||||*………………13分 ∴+∞a 的取值范围是，[)2……………………14分
（文）b n n =-21……………………8分
T n n T n n n n n n n n =
++++-+-=++++-+--+1232522322121012123252232212112312341………………①………………分……………………②…………分 ①②得：
………………………分……………………分
-=++++--=-+∴=-+∴<++1212222222212322323232
133142311T n n T n T n n n n n n n。