人教版高中数学选修2-2学业测评：1.1.3导数的几何意义

学业分层测评
(建议用时： 45 分钟 )
[ 学业达标 ]
一、选择题
1．已知曲线 y ＝ f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程为 2x －y ＋2＝0，则 f ′ (1)＝() A ．4
B ．－4
C ．－2
D ．2
【分析】
由导数的几何意义知 f ′(1)＝2，应选 D.
【答案】 D
．直线 ＝ ＋ 与曲线 y ＝x 2
＋ ax ＋b 相切于点 A(1,3)，则 2a ＋b 的值等于
2 y kx 1
()
A ．2
B ．－1
C ．1
D ．－2
12＋a ＋b ＝3，
【分析】
依导数定义可求得
y ′＝3x 2 ＋a ，则 3×12＋a ＝k ，
由此解得
k ＋1＝3，
a ＝－ 1，
b ＝3，
因此
＋＝，选
2a b 1C.
k ＝2，
【答案】 C ．已知曲线 y ＝x 3 在点 P 处的切线的斜率 k ＝ 3，则点 P 的坐标是 (
)【导
3
学号： 60030007】
A ．(1,1)
B ．(－1,1)
C ．(1,1)或(－ 1，－ 1)
D ．(2,8)或(－ 2，－ 8)
＋ x 3－x 3
【分析】
由于 y ＝ x 3
，因此 x ＝ lim [3x 2 ＋3x ·Δx ＋
y ′＝ lim x
x →0 x →0
( x)2]＝ 3x 2.
由题意，知切线斜率 k ＝3，令 3x 2＝ 3，得 x ＝1 或 x ＝－ 1. 当 x ＝1 时， y ＝1；当 x ＝－ 1 时， y ＝－ 1. 故点 P 的坐标是 (1,1)或(－ 1，－ 1)．
【答案】
C
4．(2016 ·银川高二检测 )若曲线 f(x)＝ x 2 的一条切线 l 与直线 x ＋4y －8＝0 垂
直，则 l 的方程为 (
)
A ．4x － y － 4＝ 0
B ．x ＋4y － 5＝0
C ．4x － y ＋ 3＝0
D ．x ＋4y ＋ 3＝ 0
【分析】
设切点为 (x 0， y 0 )，
∵f ′(x)＝ lim
x ＋ x
2－x
2
(2x ＋ x)＝ 2x.
x
＝ lim
x →0
x →0
由题意可知，切线斜率 k ＝4，即 f ′(x ＝ ＝ 4，
0) 2x 0
∴x 0＝ 2，∴切点坐标为 (2,4)，∴切线方程为 y －4＝4(x －2)，即 4x －y － 4＝
0，应选 A.
【答案】
A
．曲线 ＝ 1
在点 1
，2 处的切线的斜率为 ( )
5 y x 2
A ．2
B ．－4
1 C ．3
D.4
1
1
y
＋ －
x
－1
1
【解】 由于 y ′＝ lim
x
x
＝ lim ，
x ＝ lim
x
2 ＝－ 2
x →0
x →0
x →0 x ＋ x ·Δx
x 因此曲线在点
1
，2 处的切线斜率为 k ＝ y ′|x ＝ 1
＝－ 4.
2
2
【答案】
B
二、填空题
6．已知函数 y ＝ f(x)的图象如图 1-1-5 所示，则函数
y ＝ f ′(x)的图象可能是
__________(填序号 )．
图 1-1-5
【分析】由 y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0 时 f′(x)>0，当 x
＝0 时 f′(x)＝ 0，当 x>0 时 f′(x)<0，故②切
合．【答案】②
7．曲线 y＝ x2－2x＋ 3 在点 A(－1,6)处的切线方程是
__________.
【分析】2
由于 y＝x － 2x＋3，切点为点 A( －1,6)，因此斜率 k＝y′|
＝－
＝ lim－ 1＋ x 2－－1＋ x＋3－＋2＋
x
x→0
＝ lim
(x －
4)
＝－，
4
x→0
因此切线方程为 y－6＝－ 4(x＋ 1)，即 4x＋y－ 2＝0.
【答案】4x＋y－2＝ 0
8．若曲线 y＝x2＋2x 在点 P 处的切线垂直于直线x＋2y＝ 0，则点 P 的坐标是 __________．
【分析】设 P(x0， y0)，则
x0＋ x2＋ x0＋ x － x02－2x0
y′|x＝x0＝ lim
x
x→0
＝lim (2x0＋ 2＋ x)＝ 2x0＋ 2.
x→0
由于点 P 处的切线垂直于直线x＋2y＝0，
因此点 P 处的切线的斜率为2，
因此 2x0＋2＝2，解得 x0＝0，即点 P 的坐标是 (0,0)．
【答案】(0,0)
三、解答题
9．(2016 安·顺高二检测 )已知抛物线 y＝ f(x)＝ x2＋3 与直线 y＝2x＋ 2 订交，求它们交点处抛物线的切线方程．
2
y＝x ＋3，
【解】由方程组得x2－2x＋1＝0，
y＝2x＋2，
x＋2＋3－2＋解得 x＝ 1，y＝4，因此交点坐标为 (1,4)，又x＝ x ＋2.
当 x 趋于 0 时 x＋ 2 趋于 2，因此在点 (1,4)处的切线斜率 k＝2，因
此切线方程为 y－4＝2(x－1)，即 y＝2x＋ 2.
10．试求过点 P(3,5)且与曲线 y＝x2相切的直线方程．
【解】 y′＝ lim y
＝ lim x＋ x2－x2＝2x.
x→0
x x→0x
设所求切线的切点为A(x0， y0)．
∵点 A 在曲线 y＝x2上，
∴y0＝ x20，
又∵ A 是切点，
∴过点 A 的切线的斜率 y′|x＝x0＝ 2x0，
∵所求切线过 P(3,5)和 A(x0， y0)两点，
2
y0－5 x0－5
2
x0－ 5
∴2x0＝x0－3，
解得 x0＝1 或 x0＝5.
进而切点 A 的坐标为 (1,1)或 (5,25)．
当切点为 (1,1)时，切线的斜率为 k1＝2x0＝2；当切点为 (5,25)时，切线的斜率
为 k2＝2x0＝10. ∴所求的切线有两条，方程分别为 y－1＝2(x－1)和 y－ 25＝
10(x－5)，即 y
＝ 2x－1 和 y＝ 10x－25.
[ 能力提高 ]
1．(2016 ·天津高二检测 )设 f(x)为可导函数，且知足 lim f－ f －x＝
x→0
2x － 1，则过曲线 y＝f(x)上点 (1，f(1))处的切线斜率为 ()【导学号： 60030008】A．2B．－1
C．1D．－2
f－ f －x
【分析】∵ lim
2x
x→0
1 f
－x － f ＝－ 1，
＝2
lim
x →0
－x
f
－x －f
＝－ 2，即 f ′(1)＝－ 2.
∴ lim
－ x
x →0
由导数的几何意义知，曲线在点 (1， f(1))处的切线斜率 k ＝f ′(1)＝－ 2，应选
D.
【答案】
D
＝ x 2
＋ ax ＋b 相切于点 A(1,3)，则 2a ＋b 的值等于 2．直线 y ＝ kx ＋1 与曲线 y
()
A ．2
B ．－1
C ．1
D ．－2
13
＋a ＋b ＝3，
【分析】
依导数定义可求得 y ′＝3x 2 ＋a ，则 3×12
＋a ＝k ，
由此解得
k ＋1＝3，
a ＝－ 1，
b ＝3， 因此 2a ＋ b ＝ 1，选 C.
k ＝2，
【答案】 C
3．(2016 ·州高二检测郑 )已知直线
x － － ＝ 与抛物线 2 相切，则 a
y 1 0
y ＝ax 的值为 ________．
【分析】 设切点为 P(x 0， y 0)．
则 f ′(x 0＝
f x 0＋ x －f x 0
)
lim
x
x →0
a x 0＋ x
2
－ax 02
＝ lim
x
x →0
＝ lim (2ax 0＋ a x)＝2ax 0，即 2ax 0＝1.
x →0
又 y 0＝ax 20，x 0－y 0－ 1＝0，
0＝1，
2ax
＝1
联立以上三式，得
y 0＝ ax 02
，
解得
a
4.
x 0－ y 0－1＝0，
1 【答案】
4
4．已知函数 f(x)＝ ax 2＋ 1(a>0)， g(x)＝x 3＋bx.若曲线 y ＝f(x)与曲线 y ＝g(x)
在它们的交点 (1， c)处拥有公切线，求 a ，b 的值．
y 【解】
由于 f ′(x)＝ lim
x →0
x
＝ lim
a
x ＋ x
2
＋1－ ax 2
＋
＝2ax ，
x →0
x
因此 f ′(1)＝2a ，即切线斜率 k 1＝2a.
y 由于 g ′(x)＝ lim
x →0
x
x ＋ x
3
＋b x ＋ x － x 3＋bx
＝ lim
x
＝3x 2
＋b ，
x →0
因此 g ′(1)＝ 3＋ b ，即切线的斜率 k 2＝3＋b.
由于在交点 (1， c)处有公切线，
因此 2a ＝3＋b.①
又由于 c ＝a ＋1，c ＝1＋b ，
因此 a ＋1＝ 1＋ b ，即 a ＝b ，
a ＝3， 代入①式，得
b ＝3.。