江苏省南京市2018-2019学年高一上学期期末调研数学试题(含精品解析)

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C. 18
D. 22
14. 已知函数 f(x)=2cosx(x∈[0,π])的图象与函数 g(x)=3tanx 的图象交于 A,B 两点,则△OAB(O
为坐标原点)的面积为( )
������
A. 4
3������
B. 4
������
C. 2
3������
D. 2
三、解答题(本大题共 6 小题,共 90.0 分)
⃗⃗ 6. 如图,在直角三角形 ABC 中,AB=2,∠B=60°,AD⊥BC,垂足为 D,则������������•������������的值
为______.
������
7. 将函数 f(x)=2sin2x 的图象向左平移6个单位后,得到函数 g(x)的图象,则 g (0)的值为
______.


⃗ ⃗⃗⃗⃗
15. 已知向量������=(2,1),������=(1,-2),向量������满足������•������=������•������=5.
⃗ (1)求向量������的坐标;
⃗⃗ (2)求向量������与������的夹角 θ.
25
16. 已知 α 是第二象限角,且 sinα= 5 .
解:∵a=log1.40.7<log1.41=0, b=1.40.7>1.40=1, 0<c=0.71.4<0.70=1, ∴a,b,c 的大小关系是 a<c<b. 故选:B. 利用对数函数、指数函数的单调性直接求解. 本题考查三个数的大小的求法,考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识,考查运算求解 能力,是基础题.
|⃗|
������������
⃗⃗
⃗⃗
|⃗|
(2)若点 P 满足������������与������������共线,������������⊥������������,求 ������������ 的值.
20. 给定区间 I,集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的集合:任意 x∈I,f(x+1)>2f(x). (1)已知 I=R,f(x)=3x,求证:f(x)∈M; (2)已知 I=(0,1],g(x)=a+log2x.若 g(x)∈M,求实数 a 的取值范围; (3)已知 I=[-1,1],h(x)=-x2+ax+a-5(a∈R),讨论函数 h(x)与集合 M 的关系.
解:平行四边形 ABCD 中,AB=4,AD=3,
又∵ • =11,

=
=
+9=11,

=2,
则 • =(
)=
=16+2=18.
故选:C.
由 • =11,结合向量加法的平行四边形法则及向量数量积的运算可求
,然后代入,
• =(
) 即可求解.
本题主要考查了向量加法的 平行四边形法则及向量数量积的基本运算,属于基础试题. 14.D
{ 3 ‒ ������,������ ≤ 2
8. 已知 a>0 且 a≠1,若函数 f(x)= ������������������������������,������ > 2的值域为[1,+∞),则 a 的取值范围是______.
⃗⃗
⃗⃗Leabharlann ⃗⃗ ⃗⃗⃗
2
9. 已知向量������������与������������满足|������������|=2,|������������|=1.又������������=t������������,������������=(1-t)������������,且|������������|在 t=7时取到最小值,则向量
������
9.3
解:设向量 与 的夹角的值为 θ, 由 =t , =(1-t) ,
= - =(1-t) -t , | |2=[(1-t) -t ]2, =(1-t)2+4t2-4t(1-t)cosθ =(5+4cosθ)t2-2(1+2cosθ)t+1, 又 5+4cosθ>0,
所以当 t=
=,
解得:cosθ= , 又 θ∈[0,π],
⃗⃗ ������������与������������的夹角的值为______.
������������
10. 已知函数 f(x)=kx2-x,g(x)=sin 2 .若使不等式 f(x)<g(x)成立的整数 x 恰有 1 个,则实数 k
的取值范围是______.
二、选择题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)
3. 已知角 α 的终边经过点 P(-5,12),则������������������������的值为______.


⃗⃗
4. 已知向量������=(4,-3),������=(x,6),且������∥������,则实数 x 的值为______.
5. 已知 x=log612-log63,则 6x 的值为______.
12. 函数 f(x)=xsinx,x∈[-π,π]的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
⃗⃗
⃗⃗
13. 在平行四边形 ABCD 中,AB=4,AD=3,若������������•������������=11,则������������•������������的值是( )
A. 10
B. 14
f(x)的图象经过(2,0),即 4k-2=0,解得 k= . 由题意可得 ≤k<2. 故答案为:[ ,2). 作出 y=g(x)的图象,讨论 k=0,k<0,k>0,结合抛物线开口方向和整数解的情况,即可得到所 求范围. 本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想,考查正弦函数的周期性和分类讨论思想方法, 属于中档题. 11.B
1.{2,4} 解:A∪B={0,1,3}; ∴∁U(A∪B)={2,4}. 故答案为:{2,4}. 进行并集、补集的运算即可. 考查列举法的定义,以及并集、补集的运算. 2.[2,+∞)
解:由题意得:2x-4≥0,解得:x≥2, 故函数的定义域是[2,+∞), 故答案为:[2,+∞). 根据二次根式的性质得到关于 x 的不等式,解出即可. 本题考查了函数的定义域问题,考查二次根式的性质,是一道基础题.
������
17. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)的图象如图所
示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调增区间;
������
(3)若 x∈[-2,0],求函数 f(x)的值域.
18. 某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共 14 吨,如果在市场上直接销售,每吨可获利 0.2 万元;如果进行
2018-2019 学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷
一、填空题(本大题共 10 小题,共 50.0 分) 1. 已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,3},B={1,3},则∁U(A∪B)=______. 2. 函数 f(x)= 2������ ‒ 4的定义域为______.
������������������������
11. 已知 a=log1.40.7,b=1.40.7,c=0.71.4,则 a,b,c 的大小关系是( )
A. ������ < ������ < ������
B. ������ < ������ < ������
C. ������ < ������ < ������
D. ������ < ������ < ������
费)为 y(万元).
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式;
(2)当精加工蔬菜多少吨时,总利润最大,并求出最大利润.
3
19. 如图,在△ABC 中,AB=2,AC=5,cos∠CAB=5,D 是边 BC 上一点,且
⃗⃗
⃗⃗⃗
������������=2������������(1)设������������=x������������+y������������,求实数 x,y 的值;
8.(1,2]
解:a>0 且 a≠1,若函数 f(x)= 当 x≤2 时,y=3-x≥1,
的值域为[1,+∞),
所以
,可得 1<a≤2.
故答案为:(1,2].
利用分段函数的表达式,结合函数的值域,列出不等式求解 a 的范围即可.
本题考查分段函数的应用,函数的单调性以及函数的最值的求法,考查计算能力.
的值.
故答案为:-8. 直接由向量共线的坐标运算得答案. 平行问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系 在一起,要特别注意垂直与平行的区别.若 =(a1,a2), =(b1,b2),则 ⊥ ⇔a1a2+b1b2=0,
∥ ⇔a1b2-a2b1=0,是基础题. 5.4
解:x=log612-log63=log64, ∴6x=4, 故答案为:4. 根据对数的运算性质和对数式和指数式的互化即可求出. 本题考查了对数的运算性质和对数式和指数式的互化,属于基础题. 6.3 解:在直角三角形 ABD 中,BD=ABcos60°=1
• = •( + )= + • =4+2×1×cos120°=3. 故答案为:3. 把 = + 代入化简通过向量的数量积的定义求解即可. 本题考查向量的数量积的应用,考查向量的表示以及计算,考查计算能力 7. 3
解:将函数 f(x)=2sin2x 的图象向左平移 个单位后,得到函数 g(x)=2sin(2x+ )的图象, 则 g (0)=2sin = , 故答案为: . 根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得 g(x)的解析式,可得 g (0)的值. 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.
所以 θ= ,
故答案为: 由向量的模的运算得:| 值用配方法可得解.
|2=[(1-t) -t ]2=(5+4cosθ)t2-2(1+2cosθ)t+1,由二次函数的最
本题考查了平面向量的数量积及二次函数的最值问题,属中档题.
1
10.[2,2)
解:g(x)=sin 的周期为 4,作出 y=g(x)的图象, 当 k=0 时,f(x)=-x,不等式 f(x)<g(x)成立的整数 x 有无数 个; 当 k<0 时,f(x)的图象为抛物线,且开口向下,恒过原点, 不等式 f(x)<g(x)成立的整数 x 有无数个; 当 k>0,可得不等式 f(x)<g(x)成立的整数 x=1, 当 f(x)的图象经过(1,1),可得 k-1=1,即 k=2;
5
3.-13
解:∵角 α 的终边经过点 P(-5,12),∴sinα=
= ,tanα= =- ,
则 = =- ,
故答案为:- .
利用任意角的三角函数的定义,求得 sinα、tanα 的值,可得 本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题. 4.-8
解:∵量 =(4,-3), =(x,6),且 ∥ , 则 4×6-(-3)x=0. 解得:x=-8.
解:函数 y=2cosx(x∈[0,π])和函数 y=3tanx 的图象相交于 A、B 两点,O 为坐标原点, 由 2cosx=3tanx,可得 2cos2=3sinx,即 2sin2x+3sinx-2=0,
求得 sinx= ,或 sinx=-2(舍去),结合 x∈[0,π], ∴x= ,或 x= ; ∴A( , )、B( ,- ),画出图象如图所示;
精加工后销售,每吨可获利 0.6 万元,但需另外支付一定的加工费,总的加工费 P(万元)与精加工
{ 210������2,0 ≤ ������ ≤ 8
的蔬菜量
x(吨)有如下关系:P=
3������ + 10
8,8<������

14 .
设该农业合作社将 x(吨)蔬菜进行精加工后销售,其余在市场上直接销售,所得总利润(扣除加工
(1)求 tanα 的值;
������������������(������ + ������) + ������������������(������ ‒ ������)
(2)求 ������������������(���2��� ‒ ������) + ������������������(���2��� + ������) 的值.
根据函数图象的对称性可得 AB 的中点 C( ,0), ∴△OAB 的面积等于△OAC 的面积加上△OCB 的面积,
12.A
解:f(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=f(x), 所以 f(x)为偶函数,即图象关于 y 轴对称,则排除 B,C,
当 x= 时,f( )= sin = >0,故排除 D, 故选:A. 判断函数的奇偶性排除选项,然后利用特殊点的位置判断即可. 本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置的应用,考查计算能力. 13.C
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