云南师范大学实验中学2025届高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

云南师范大学实验中学2025届高三第二次诊断性检测数学试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A ．()
27,8
B ．()
25,7
C ．()
25,8
D ．()
27,7
2．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ） A ．4
5
-
B ．
45
C ．
35
D ．
35
3．函数2sin cos ()20
x x x
f x x =+
在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
4．已知函数32,0()ln ,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1
(())f f e =（ ）
A ．
3
2
B ．1
C ．-1
D ．0
5．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ）
A ．∅
B ．1{|}2
x x <-
C ．5{|}3
x x >
D ．15{|}23
x x -
<< 7．设变量,x y 满足约束条件2
2390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）
A ．7
B ．5
C ．3
D ．2
8．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）
A ．6
B ．7
C ．5
D ．8
9．8
21x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
的展开式中12
x y -的系数是（ ）
A ．160
B ．240
C ．280
D ．320
10．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ） A ．12种
B ．24种
C ．36种
D ．72种
11．i 为虚数单位,则32i 1i
-的虚部为（ ）
A ．i -
B ．i
C ．1-
D ．1
12．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23
C π
=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．1(,2)2
D ．(1,3)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知四棱锥P ABCD -，底面四边形ABCD 为正方形，PA PB PC PD ===，四棱锥的体积为3
，在该四棱锥内放置一球O ，则球O 体积的最大值为_________．
14．在数列{}n a 中，已知*
111,2()n n n a a a n N +=⋅=∈，则数列{}n a 的的前21n 项和为21n S +=__________.
15．已知()727
012711112x a a x a x a x x x
⎛⎫+
-=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，则2a =___________，0127a a a a +++⋅⋅⋅+=_____________________________
16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c cos 1A A -=，2a =，则ABC ∆的面积的最大值为______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. （1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为
X 元，求X 的分布列与数学期望.
18．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且
12AB AD AA BD DC =====，
(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;
(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.
19．（12分）,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=. （1）若1,6
b A π
==，求sin B ； （2）已知3
C π
=
，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 的周长.
20．（12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f （x ）=log 2（|x+1|+|x ﹣2|﹣m ）． （1）当m=7时，求函数f （x ）的定义域；
（2）若关于x 的不等式f （x ）≥2的解集是R ，求m 的取值范围．
21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线2
2
12:C x y -=，曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y θ
θ
=+⎧⎨=⎩
（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线．．
6
π
θ=与曲线1C ，2C 分别交于A 、B 两点（异于极点O ），定点(3,0)M ，求MAB ∆的面
积
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：的右准线方程为x ＝2，且两焦点与短轴的一个
顶点构成等腰直角三角形． （1）求椭圆C 的方程； （2）假设直线l ：与椭圆C 交于A ，B 两点．①若A 为椭圆的上顶点，M 为线段AB 中点，连接OM 并延
长交椭圆C 于N ，并且，求OB 的长；②若原点O 到直线l 的距离为1，并且
，当
时，
求△OAB 的面积S 的范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
由已知先确定出双曲线方程为2
2
13
y x -=，再分别找到12F PF △为直角三角形的两种情况，最后再结合
122PF PF -=即可解决.
【详解】
由已知可得22a =，
2c
a
=，所以1,2,a c b ==== 2
2
13
y x -=，不妨设点P 在双曲线C 右支上运动，则122PF PF -=，当12PF PF ⊥时，
此时2
2
1216PF PF +==12
2()2PF PF -+12PF PF ，所以126PF PF =，
122()PF PF +=22
12
2PF PF ++1228PF PF =，所以12PF PF +=
当2PF x ⊥轴时，22
12
16PF PF =+，所以1216
82
PF PF =+=，又12F PF △为锐角三
角形，所以12PF PF +()
∈. 故选：A. 【点睛】
本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到12F PF △为锐角三角形的临界情况，即12F PF △为直角三角形，是一道中档题. 2、D 【解析】
由题知cos α=2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，代入计算可得. 【详解】
由题知cos α=2
3sin 2cos 22cos 125πααα⎛⎫-==-= ⎪⎝⎭.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值. 3、A 【解析】
首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得； 【详解】
解：依题意，22sin()()cos()sin cos ()()2020
x x x x x x
f x f x x x ----=+=+=-，故函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴
对称，排除C ； 而2
()020
f ππ=-<，排除B ；2
(2)05
f ππ=
>，排除D.
故选：A . 【点睛】
本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题. 4、A 【解析】
由函数32,0()ln ,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1
(())f f e 的值，得到答案.
【详解】
由题意函数32,0
()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩
，
则1
1()ln 1f e e ==-，所以1313
(())(1)2(1)2
f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】
本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5、B 【解析】
先根据复数的除法表示出z ，然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可.
【详解】
因为()122i z ai -=+，所以()()()()()21222421212125
ai i a a i
ai z i i i ++-+++=
==--+， 又因为z 是纯虚数，所以220a -=，所以1a =. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数，则有0,0a b =≠. 6、D 【解析】
集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】
{}1210|2S x x x x ⎧
⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭，
{}5|350|3T x x x x ⎧
⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，
则15|23S T x x ⎧
⎫⋂=-<<⎨⎬⎩
⎭
故选D 【点睛】
本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题． 7、B 【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】
画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，表示的可行域，如图，
由20 2390x y x y +-=⎧⎨
--=⎩可得3
1
x y =⎧⎨=-⎩，
将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，
由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.
【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 8、B 【解析】
列举出循环的每一步，可得出输出结果. 【详解】
4i =，3S =，22S a b >不成立，239S ==，415i =+=；
22S a b >不成立，2981S ==，516i =+=； 22S a b >不成立，2816561S ==，617i =+=； 22S a b >成立，输出i 的值为7.
故选：B. 【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题. 9、C 【解析】
首先把1x x +看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2
y 的系数，再求7
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的展开式中1x -的系数，二者相乘
即可求解. 【详解】
由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181r
r r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则7
12281T C x y
x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，又7
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为727
17
71r
r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪
⎝⎭
，令3r =，则3735C =，所以12x y -的系数是358280⨯=.
故选：C 【点睛】
本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题. 10、C 【解析】
先将4名医生分成3组，其中1组有2人，共有24C 种选法，然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去，有3
3A 种方法，由分步原理可知共有23
43C A 种. 【详解】
不同分配方法总数为23
43C A 36=种.
故选：C 【点睛】
此题考查的是排列组合知识，解此类题时一般先组合再排列，属于基础题. 11、C 【解析】
利用复数的运算法则计算即可. 【详解】
()()()
()32122111111i i i i
i i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C. 【点睛】
本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题. 12、C 【解析】
因为23C π=
，1c =
，所以根据正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ==
a A =
，b B
，所以sin()])sin 32z b a B A B B B λ
λλπ=+=
+
=
+--+
])
B B φ=+
，其中tan φ=，03B π<<， 因为z b a λ=+存在最大值，所以由2,2B k k φπ+=+π∈Z ，可得22,62
k k k φππ
π+<<π+∈Z ，
所以tan φ
>，解得122λ<<，所以正数λ的取值范围为1(,2)2
，故选C ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
、
12
【解析】
由题知，该四棱锥为正四棱锥P ABCD -，作出该正四棱锥的高PH 和斜高PE ，连接HE ，则球心O 必在Rt PHE 的PH 边上，设OEH θ∠=，由球与四棱锥的内切关系可知2PEH θ∠=，设2AB a =，用a 和θ表示四棱锥的体积，解得a 和θ的关系，进而表示出内切球的半径，并求出半径的最大值，进而求出球的体积的最大值. 【详解】
设OEH θ∠=，2AB a =，
由球O 内切于四棱锥可知，2PEH θ∠=，EH a =， 则tan 2PH a θ=，球O 的半径tan R a θ=，
214tan 23P ABCD V a a θ-∴=⨯⨯=
，
3tan 22a θ∴=
，32tan 2a θ
∴=，
333
3
3
2tan 22tan 2tan 21tan R a θθ
θθθ
θ
===
⨯-
(
)
221tan 4
16
θθ-=
≤
当且仅当tan 2
θ=
时，等号成立，
此时431612
o V π=
=.
故答案为：612
π.
【点睛】
本题考查了棱锥的体积问题，内切球问题，考查空间想象能力，属于较难的填空压轴题.
14、223n +-
【解析】
由已知数列递推式可得数列{}n a 的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到2n S ，再由21221n n n S S a ++=+求解．
【详解】
解：由*111,2()n n n a a a n N +==∈，
得112(2)n n n a a n --=，
∴11
2(2)n n a n a +-=， 则数列{}n a 的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列．
∴1222,2,n
n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩
为奇数为偶数，
21321242()()n n n S a a a a a a -∴=++⋯++++⋯+
212(1222)(222)n n -=+++⋯++++⋯+
21123(1222)332312n
n n --=+++⋯+==--． ∴221221323223n n n n n n S S a +++=+=-+=-．
故答案为：223n +-．
【点睛】
本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题．
15、−196 −3
【解析】
由二项式定理及二项式展开式通项得：()()232327722196a C C =-+-=-，令x =1，则1+a 0+a 1+…+a 7=（1+1）×
（1-2）7=-2，所以a 0+a 1+…+a 7=-3，得解．
【详解】
由二项式(1−2x )7展开式的通项得()172r
r r T C x +=-，
则()()232327722196a C C =-+-=-， 令x =1,则()()7
017111122a a a +++⋯+=+⨯-=-，
所以a 0+a 1+…+a 7=−3，
故答案为：−196，−3.
【点睛】
本题考查二项式定理及其通项，属于中等题.
16
【解析】 化简得到1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3
A π=，根据余弦定理和均值不等式得到4bc ≤，根据面积公式计算得到答案. 【详解】
cos 2sin 16A A A π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,A π∈，故3
A π=. 根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，即2242b c bc bc bc bc =+-≥-=.
当2b c ==时等号成立，故1sin 2S bc A =
≤
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，面积公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）910
；（2）见解析. 【解析】
事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）（1）这对
夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为X 元可能取值为400，
600，
800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X 的数学期望．
【详解】
事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，
事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）.
（1）事件M 表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.
()()111121211212P M P A B A B B A A B A A B B =+++
()()()()
111121211212P A B P A B B P A A B P A A B B =+++
434131431413954544554554410
=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=. （2）X 的可能取值为400，600，800，1000，1200. ()()33433400545
P X P A B ===⨯=， ()()334343600P X P A B B A A B ==+ 41314327544554100
=⨯⨯+⨯⨯=， ()()3434334343800P X P A A B B A B B A A B ==++ 14134115544544=⨯⨯⨯+⨯⨯ 11311554100
+⨯⨯=， ()()343434341000P X P A A B B A A B B ==+ 14111113755445544400
=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， ()()
34341111112005544400P X P A A B B ===⨯⨯⨯=. 则X 的分布列为：
故4006008005100100EX =⨯
+⨯+⨯ 10001200510.5400400
+⨯+⨯=(元). 【点睛】 本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题.
18、 (Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ【解析】
(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.
(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.
【详解】
(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，故1AA AB ⊥.
2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.
1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .
(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .
设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩， 取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ
故2
6sin cos ,6
26n AB
n AB n AB θ⋅====⋅.
【点睛】
本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
19、（1）1sin 8
B =
（2）513+【解析】
（1）根据正弦定理，将()sin 4sin 8sin a A B A +=，化角为边，即可求出a ，再利用正弦定理即可求出sin B ；
（2）根据3C π=，选择in 12s S ab C =，所以当ABC 的面积取得最大值时，ab 最大， 结合（1）中条件48a b +=，即可求出ab 最大时，对应的,a b 的值，再根据余弦定理求出边c ，进而得到ABC 的周长．
【详解】
（1）由()sin 4sin 8sin a A B A +=，得()48a a b a +=，
即48a b +=.
因为1b =，所以4a =.
由4
1sin sin 6B =π
，得1sin 8
B =. （2）因为48244a b ab ab +=≥=，
所以4ab ≤，当且仅当44a b ==时，等号成立.
因为ABC 的面积11sin 4sin 3223
S ab C π=≤⨯⨯=. 所以当44a b ==时，ABC 的面积取得最大值， 此时22241241cos
133c π=+-⨯⨯⨯=，则13c =， 所以ABC 的周长为513+.
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．
20、（1）(,3)
(4,)-∞-+∞，（2）(,1]-∞-
【解析】
试题分析：用零点分区间讨论法解含绝对值的不等式，根据绝对值三角不等式得出 12(1)(2)3++-≥+--=x x x x ，不等式|x+1|+|x ﹣2|≥m+4解集是R ，只需m+4≤3，得出m 的范围.
试题解析：
（1）由题设知：|x+1|+|x ﹣2|＞7，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
，或，或，
解得函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．
（2）不等式f （x ）≥2即|x+1|+|x ﹣2|≥m+4，
∵x ∈R 时，恒有|x+1|+|x ﹣2|≥|（x+1）﹣（x ﹣2）|=3，
不等式|x+1|+|x ﹣2|≥m+4解集是R ，
∴m+4≤3，m 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
21、（1）22221:cos sin 2C ρθρθ-=，2:4cos C ρθ=；（2）3332-. 【解析】 （1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程； （2）先利用极坐标求出弦长AB ，再求高，最后求MAB ∆的面积．
【详解】
（1）曲线1C 的极坐标方程为：2222cos sin 2ρθρθ-= ，
因为曲线2C 的普通方程为：()2224x y -+= ，2240.x y x ∴+-= ∴曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=；
（2） 由（1）得：点A 的极坐标为2,6π⎛
⎫ ⎪⎝⎭， 点B 的极坐标为23,6π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
， ∴223232AB =-=-，
()3,0M 点到射线()06π
θρ=≥的距离为33sin 62
d π
== ∴MAB ∆的面积为 ()
1133332322222AB d -⋅=⨯-⨯=. 【点睛】
本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.
22、（1）
；（2）①；②.
【解析】
（1）根据椭圆的几何性质可得到a 2，b 2；
（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB ，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l 的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域．
【详解】
（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，
又由右准线方程为，得到，
解得，所以
所以，椭圆的方程为
（2）①设，而，则，
∵，∴
因为点都在椭圆上，所以
，将下式两边同时乘以再减去上式，解得，
所以
②由原点到直线的距离为，得，化简得：
联立直线的方程与椭圆的方程：，得
设，则，且
，
所以
的面积
，
因为在为单调减函数，
并且当时，，当时，，
所以的面积的范围为．
【点睛】
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取
值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．。