2020年高中数学人教A版必修二 圆与方程 练习22 Word版含答案

学业分层测评（二十二）
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()
A．一个点B．一个圆
C．一条直线D．不存在
【解析】方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，
可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．【答案】 A
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是()
A．D＝E＝0，F≠0 B．D＝F＝0，E≠0
C．D＝E≠0，F≠0 D．D＝E≠0，F＝0
【解析】∵圆过原点，∴F＝0，又圆心在y＝x上，∴D＝E≠0.
【答案】 D
3．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋1
2m
2＝0所确定的圆中，最大面积是()
A.
3
2π B.
3
4π
C．3πD．不存在【解析】所给圆的半径为
r＝1＋(m－1)2－2m2
2＝
1
2－(m＋1)
2＋3.
所以当m＝－1时，
半径r取最大值
3
2，此时最大面积是
3
4π.
【答案】 B
4．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为
2
2，则a的值
为()
A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0
D ．－2或0
【解析】 把圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故此圆圆心为(1,2)，圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则22＝|1－2＋a |
2，解得a ＝2，
或a ＝0.故选C.
【答案】 C
5．(2016·惠州高一检测)若Rt △ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为( )
A ．x 2＋y 2＝25(y ≠0)
B ．x 2＋y 2＝25
C ．(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)
D ．(x －2)2＋y 2＝25
【解析】 线段AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以C 到点(2,0)的距离为1
2|AB |＝5，所以点C (x ，y )满足(x －2)2＋y 2＝5(y ≠0)，
即(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)． 【答案】 C 二、填空题
6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.
【导学号：09960136】
【解析】 由题意可得圆C 的圆心⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将
⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 【答案】 －2
7．当动点P 在圆x 2＋y 2＝2上运动时，它与定点A (3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________．
【解析】 设Q (x ，y )，P (a ，b )，由中点坐标公式得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a ＋32，y ＝b ＋12，
所以⎩⎨⎧
a ＝2x －3，
b ＝2y －1.
点P (2x －3,2y －1)满足圆x 2＋y 2＝2的方程，所以(2x －3)2＋(2y －1)2＝2， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1
2，即为点Q 的轨迹方程．
【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12
三、解答题
8．(2016·吉林高一检测)已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．
【解】 圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D
2，－E 2，
因为圆心在直线x ＋y －1＝0上， 所以－D 2－E
2－1＝0，即D ＋E ＝－2，
① 又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2
＝20，
②
由①②可得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎨⎧
D ＝－4，
E ＝2.
又圆心在第二象限，所以－D
2<0，即D >0， 所以⎩⎨⎧
D ＝2，
E ＝－4，所以圆的一般方程为：
x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.
9．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作▱MONP ，求点P 的轨迹方程．
【解】
如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2，y 2，线段MN 的中
点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 0－32，y 0＋42.
因为平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 则有⎩⎨⎧
x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，
即N (x ＋3，y －4)．
又点N 在圆x 2＋y 2＝4上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.
因此，点P 的轨迹为圆，其轨迹方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4， 但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－215，285.
[自我挑战]
10．若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A 、B 两点，且∠ACB ＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于( )
【导学号：09960137】
A ．1
B ．－3
C ．0
D ．2
【解析】 设A (0，y 1)，B (0，y 2)，在圆方程中令x ＝0得y 2＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，
由根与系数的关系及判别式得⎩⎨⎧
Δ＝4－4m >0，
y 1＋y 2＝－2，
y 1·y 2＝m ，
又由∠ACB ＝90°，C (2，－1)，知k AC ·k BC ＝－1，
即
y 1＋1－2·y 2＋1
－2
＝－1， 即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4， 代入上面的结果得m －2＋1＝－4，
∴m ＝－3，符合m <1的条件． 【答案】 B
11．已知圆的方程是x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0. (1)求此圆的圆心与半径；
(2)求证：不论m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆． 【解】 (1)x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0可化为[x ＋(m －1)]2＋(y －2m )2＝9，
∴圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3.
(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a ，b )满足方程组⎩⎨⎧
a ＝1－m ，
b ＝2m ，
即2a ＋b ＝2.
∴不论m 为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．
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