2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟(五)数学(文)试题含答案

核 心 八 模
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
数学（文科）（五）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合{}()(){}1,2,3,|120A B x Z x x ==∈+-<，则A B =
A. {}1
B. {}1,2
C. {}0,1,2,3
D.{}1,0,1,2,3-
2.复数12cos sin ,sin cos z x i x z x i x =-=-，则12z z ⋅=
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.设,a b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的
A. 充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.在验证吸烟与是否患肺炎有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无关的可能性不足1%，则2K 的一个可能值是
A. 6.635
B. 5.024
C. 7.897
D.3.841
5.如图是一个由两个版圆锥和一个长方体组合而成的几何体
的三视图，则该几何体的体积为
A. 263π
+ B. 83π+ C. 243π+ D.43π
+
6.已知A,B,C 是直线l 上不同的三点，点O l ∉直线，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=，有下列结论：①20OB OA OC -⋅≥;②20OB OA OC -⋅<;③x 的值有且只有一个；④x 的值有两个；⑤点B 是线段AC 的中点.其中正确的个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D.4
6.
A. B. C. D. 7.2345cos
cos cos cos cos 1111111111πππππ= A. 512 B. 4
12 C. 1 D.0 8.已知函数(
)()()sin 0,0,62f x x x f f f x ππωωω⎛⎫⎛⎫=>+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调，则ω= A. 2 B. 3 C. 1 D. 5
9.在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c
，若22,sin a b C B -==，
则A =
A. 30
B. 60
C. 45
D.
150
10.设,x y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，则22x y +的最大值为
A. 4
B. 9
C. 10
D.12
11.在棱长为1的长方体1111ABCD A B C D -中，E,F 分别是1,DD AB 的中点，平面1B EF 交棱AD 于点P ，则PE =
A.
B.
C.
12.已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左焦点为F,过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H,点P 在双曲线上，且3FP FH =，则双曲线的离心率为
A.
B.
C. 2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在[]1,1-上随机地取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆()2
259x y -+=相交”发生的概率为 .
14.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的
3个数字按从小到大的排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三
位数记为()D a ，（例如815a =，则()()815158,815851I D ==）
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出
的结果b = .
15.已知实数,x y
满足x y ，则x y +的最大值为为 .
16.若正数t 满足()2ln 1a e t t -=（e 为自然对数的底数），则实数a 的
取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且12n n S ta =-
，其中.n N *∈ （1）求实数t 的值和数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足32log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
18.（本题满分12分）
如图，在三棱锥P ABCD -中，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 的中点，PA PC =，二面角P AC B --的大小为60.
（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；
（2）求AC 与平面PAC 所成角的正弦值.
19.（本题满分12分）
设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.
（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为126,,
,A A A ，从这6名运动员中随
机抽取2名参加双打比赛.
（ⅰ）用所给编号列出所有可能的结果；
（ⅱ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A 发生的概率.
20.（本题满分12分） 平面直角坐标系xoy 中，过椭圆()22
22:10x y M a b a b
+=>>的右焦点的直线
0x y +-=交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为
12
. （1）求M 的方程；
（2）,C D 是M 是的两点，若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ABCD 面积的最大值.
21.（本题满分12分）
（1）讨论函数()22
x x f x e x -=+的单调性，并证明当0x >时，()220x x e x -++>； （2）证明：当[)0,1a ∈时，函数()()2
0x e ax a g x x x --=>有最小值，设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为2:4cos .C ρθ=
（1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化成极坐标方程；
（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与曲线2C 的公共点都在3C 上，求α.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()2.f x x a a =-+
（1）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；
（2）设函数()21g x x =-，当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求实数a 的取值范围.。