垂径定理

画一画
例：平分已知弧
C
AB AB 已知：弧
求作：弧AB的中点 E
A
作法： ⒈ 连结AB.
B
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. D
点E就是所求弧AB的中点。
变式一： 求弧AB的四等分点。
C m n
F
A
EGΒιβλιοθήκη BDC m E A n
变式二：你能确定
B
弧AB的圆心吗？
作图依据：
弦的垂直平分线经过圆心.
经过圆心 垂直于弦
可推得
平分弦
平分弦所对的劣（优）弧
定理辨析 判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
C
O A D E B
A D E
O
O
B
A D
E
B
C
O
O
O
A E D B
A E B
A
E
B
练习
如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径.
A
E
. O
B
解：连结OA. 过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，由垂径定理可知AE＝BE ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
解得 R≈27.9（m）
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
练习
(课本16页练习2)已知如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点. 求证：AC=BD 证明：过O作OE⊥AB于E， 由垂径定理可知： •o AE=BE,CE=DE C ┐E D A B ∴AE－CE=BE－DE 即AC=BD
D O
你能破镜重
圆吗？
n
m
C
A
·
O
B
作两条任意的弦AB、AC及它们
的垂直平分线m、n，交于O点；以O 为圆心，OA为半径作圆即可.
破镜重圆
A
n
m
C
·
O
B
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥 37.4 主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）
条件
① CD为直径 ② CD⊥AB
⌒ ⌒ 结论 ④ AC=BC
⑤ AD=BD
③ AE=BE
C
⌒ ⌒
垂径定理的几何语言叙述: ∵ CD为直径，CD⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE=BE， AC=BC， AD=BD．
O
·
B
A
E D
（定理证明见教材14页）
引申定理
• 定理中的径可以是直径、半径等过圆心的 直线或线段.从而得到垂径定理的变式： • 一条直线具有：
C B
C
B
O
O
A D
A
D
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦 AB有可能被直径CD平分？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E . 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且 （1）(折一折)这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴 平分弦所对的两条弧． 是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段（半径除外）和弧？ 为什么？
沪科版九年级下数学 25.2
25.2
圆对称性(2) ——垂径定理
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
在Rt △AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米
方法小结：在圆中，过圆心作弦的垂线构造直角三角 形，应用勾股定理是一种常见的解题方法.
C
O E D
推论1. 平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧.
B
A
探索一：
①CD过圆心O
③ AE=BE
②CD⊥AB
④ AC=BC
C E└
●
B
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ BD. ⑤AD=
⌒
O
D
结论：任意两个作为题设，其余三个 作为结论，都是真命题.(其余课后尝 试证明)
挑战自我
判断
⑴垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( × ) ⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 (√ ) ⑶平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ( × )
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重 复几次，你发现了什么？由此你能得到什 么结论？ 任何一条直径所在的直线都是对称轴. 圆是轴对称图形， 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ X ）
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦， 弦AB是否一定被直径CD平分？
注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作 出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往 往只需从圆心作弦的垂线段.
课堂小结：
1.圆是轴对称图形； 2.垂径定理及其推论； 3. 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦 的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径 等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
别忘记还有我哟！！
② CD⊥AB ③ AE=BE
①CD过圆心O ④ AC=BC
⌒ ⌒ ⌒
⑤AD=BD
⌒
C
推论3.
O E D
平分弦所对的一条弧的直径, 垂直平分弦,并且平分弦所 对的另一条弧.
B
A
探索三：
①CD过圆心O ⌒ ⌒ ⑤AD=BD
② CD⊥AB ③ AE=BE
④ AC=BC
⌒
⌒
垂径定理及其推论：
A ① CD过圆心 ② CD⊥AB, ③ AE=BE,
⑤AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
推论1. 平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧. A
M
一个圆的任意两 C 条直径总是互相平分， 但是它们不一定互相 垂直.因此这里的弦 如果是直径，结论就 不一定成立.
O
D
B
N
C
推论2.
O E D
弦的垂直平分线经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧.
B
A
探索二：
作业：
1、教材16页练习
2、全品第7、8页
C
解：如图，过圆心O作AB的垂线， 交AB与点D，交AB弧与点C.设半 径为R，则
7.2
A
18.7
D
B
由垂径定理可知： R AB=37.4, CD=7.2，
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
R-7.2
O
在Ｒt△AOD中，由勾股定理，得