10排队论

) S! S nS
(n S
n S
1
S1 ( / )n ( / )S
P0
Cn
1/[
n0
n!
( )]
S! nS S
S1 ( / )n ( / )S
1
1/[
]
n0 n!
S! 1 ( / S)
再来的顾客必须等待的概率为:
ns
Pn
(
/ )S
S!
1
1 ( /
S )
P0
←Erlang等待公式
( / )n
解：
M/M/3 ρ λ= 3×0.3=0.9 μ=0.4 ρ= λ/ μ=2.25
P0
S1 (λ / μ )n (λ / μ )S
1
P0 1 /[
n0
n!
S!
1 (λ / Sμ )]
31 (0.9 / 0.4)n (0.9 / 0.4)3
1
1/[
]
n0
n!
3! 1 (0.9 / 1.2)
1 / 1
• 则对每个顾客的平均服务时间为1/μ；
负指数分布的性质-2
• 当服务设施对顾客的服务时间t为参数μ的 负指数分布时，则有
① 在[t，t+Δt]内没有顾客离去的概率为 1-
μΔt
② 在[t，t+Δt]内恰好有一个顾客离去的概率
为μΔt；
③ 如果Δt足够小的话，在[t，t+Δt]内有多于
两个以上顾客离去的概率为
s
nPn
n0
s
ns
Pn
Wq
Lq
WS Wq 1/
例：某修理店只有1个修理工人。顾客到达服从最简 单流，平均每小时4人。修理时间服从负指数分布， 平均6分钟。求：1、空闲概率；2、店内有3顾客概 率；3、店内至少一顾客概率；4、系统运行指标。
解：M/M/1, λ=4人/小时,μ=10人/小时, ρ= λ/ μ=0.4
(1)P0=1- ρ=0.6 (2)P3=(1-ρ) ρ3= 0.6×0.43=3.84% (3)1- P0 =0.4=40% (4)队长LS= ρ /(1 - ρ)=0.4/(1-0.4)=0.667人 排队长Lq= LS - λ/ μ=0.667-0.4=0.267 逗留时间WS=1/(μ- λ)=1/(10-4)小时=10分钟 等待时间Wq= WS - 1/ μ=1/6-1/10=4分钟
• 若干独立的负指数分布的最小值是负指 数分布。
• 设Tl，T2，…，Tn分别表示参数为μ1， μ2，…，μn的独立的负指数分布的随机变
量，
• 令， U=min (Tl，T2，…，Tn)，则U也是
负指数分布的随机变量。
概率分布的检验 χ2检验
§3 生灭过程简介
一、随机过程{ N(t), t≥0}→生灭过程
简单流的普遍性
• 指在足够小的时间区间内只能有一个顾 客到达，不可能有两个以上顾客同时到
达。如用Ф(t)表示在[0，t]内有两个或两
个以上顾客到达的概率，则有
• ψ(t)=0(t) (t→0)
简单流的有限性
• 指在一定时间间隔内，来到服务系统的 顾客数量是有限的
简单流实例：
到达工厂机修车间接受维修的机器
(0.9 / 0.4)1 1
(0.9 / 0.4)2 2
7.59
0.075
P1
λ / μ 1
2当服务设施对顾客的服务时间t为参数的负指数分布时则有如果t足够小的话在ttt内有多于两个以上顾客离去的概率为如果服务设施对顾客的服务时间服从负指数分布则不管对某一个顾客的服务已进行了多久剩下来的服务时间的概率分布仍为同原先一样的负指数分布
排 队论
Queueing Theory
排队论的主要研究内容
经验分布
• 顾客到达时间间隔相互独立，相同分布， 分布密度可由实际记录的数据计算得到。
简单流（泊松Poisson ）
• 输入流满足四条性质
① 平稳性
② 无后效性
③ 普遍性
④ 有限性
• 在长为t(t≥0)的时间段内到达n个顾客的
概率为
k (t)
(t ) k
k!
et ,
t
0,
k 0,1,2,...
• 有限性：显而易见。
近似简单流：自动电话的呼唤流
• 平稳性：一昼夜时间内，呼唤流呈周期性变化，差
异很大，因此划分很多时间区段，在这些区段内把呼 唤流看成近似平稳；
• 无后效性：电话通话内容往往有联系，如甲打电话
给乙，乙又转通知丙、丁，这样前一段时间内呼唤流 的次数不能不影响到后一段时间内的通话次数，特别 一个紧急通知，一个重要消息的传播，会引起电话呼 唤次数的急剧增加，因此并不严格具备无后效性；
• 普通性：一般也不具备。
近似简单流：自动电话的呼唤流
• 巴尔姆—欣钦极限定理：若其中每个流都 是平稳且普通的，大量相互独立的小强度 流的总和近似于一个最简单流。
• 由于电话局得到的总的呼唤流是个别用户 (强度相对地很小)发出呼唤的总和，而每 一个别用户的呼唤近似看成平稳、普通的 流，因此电话局得到的流的总和可以近似 看作最简单的流。
• 稳定性：每台机器在各个时刻处的状态大致 一样，因此在相等时间区间内各台机器损坏 的概率大致相同；
• 无后效性：一台机器的故障不会引起别的机 器的故障，又对同一台机器讲，这段时间内 的损坏次数不影响到以后的损坏次数多少；
• 普通性：每台机器损坏概率很小，在足够小 的时间区间内同时发生两台或两台以上机器 损坏的概率几乎为零；
ψ
(Δt)→0(Δt)。
负指数分布的性质-3
• 如果服务设施对顾客的服务时间服从负 指数分布，
• 则不管对某一个顾客的服务已进行了多 久，剩下来的服务时间的概率分布仍为 同原先一样的负指数分布。
• 即对任何t>0，Δt>0有
P{T t t | T t} P{T t}
负指数分布的性质-4
最简单流是实际现象 相当程度的近似
• 排队论中大量研究的是最简单流的服务情 况；
• 事实上应用排队论来研究实际问题也较多 局限于最简单流。
最简单流的性质
① 参数λ代表单位时间内到达顾客的平均数 ② 在[t,t+Δt]时间内没有顾客到达的概率为
v0 (t) et (1 t) 0(t) 1 t
2、排队长； 4、Pn(t)； 6、μn 8、稳定状态
四、排队系统的主要指标
λ——单位时间内顾客的平均到达数 μ——单位时间内被服务完平均离去的顾客数
1、Ls和Lq（队长和排队长）
2、Ws和Wq（逗留时间和等待时间）
3、忙期和闲期 Little公式：
Ls= λWs Ws= Wq+1/ μ
Lq= λWq Ls=Lq+ λ/ μ
P0
令：
Cn
n1n2 10
unun1 u1
(n 1,2...),
则： Pn Cn P0
C0 1
由ΣPn=1，得ΣCnP0=1，P0=1/ ΣCn。
当Pn已知时， Ls nPn n0
Lq (n s)Pn n s1
§4 最简单的排队系统的模型
基本要求： • 会用生灭过程推导最简单排队系统模型及公式 • 掌握各模型间关系及相互演化 • 最简单排队系统模型的实际应用
§4 最简单的排队系统的模型 一、M/M/S/：∞/∞/FCFS
假 定 ： （ 1 ） n
（2） （3）
n
n
S
1 S
(n 1,...,S) (n S, S 1...)
§4 最简单的排队系统的模型
一、M/M/S/：∞/∞/FCFS
1、S=1单服务台时：
Cn
n1 n2 10
unun1 u1
( )n
n
则：
Pn
Cn P0
Pn 0
P0
1 Cn
1
n
1
Pn (1 ) n
1 P0
1 (1 )
←忙期
其它指标：
Ls
nPn
n0
(1 ) n n
n0
1
2
2
Lq Ls 1 ( )
Ws
Ls
1
Wq
Lq
( )
1) 顾客在系统中停留时间超过 t 的概率是？
P Ws t Pn P Sn1 t 1 e(1 )t n0
2) 顾客在系统中停留时间小于 t 的概率是？
P Ws t 1 P Ws t e(1 )t
3) 已经有人等待的情况下还要等待多久？
P Wq |Wq
0
Wq 1 P0
( )
1
§4 最简单的排队系统的模型
•对随机系统进行分类，把实际问题归结成 某个数学模型，以便进行理论剖析。 •对各种具体的排队系统，揭示其内部运行 的统计规律，确定其重要的数量指标。 •在把握排队系统内部运行机制的前提下， 对系统进行优化设计和实施最优控制。
§1 基本概念
顾客 总体
队伍
服务站 输出
服务系统
一、排队系统的描述：
1．输入； 2．输出； 3．排队服务规则； （1）FCFS （2）PR （3）SIRO 4 ．服务机构
一、M/M/S/：∞/∞/FCFS
2、S>1，多服务台时：
n
n S
(n 1,...S) (n S, S 1...)
Cn
n1n2 10
unun1 u1
n n! n
n1n2 10
(un uS1 )(uS u1 )
( / )n
n!
n (S)nS (S!
S
(n 1,...S)
( / )n
简单流的平稳性
• 指在一定时间间隔内，来到服务系统有k 个顾客的概率仅与这段时间间隔的长短 有关，而与这段时间的起始时刻无关。
• 也即在时间区间[0，t]或[a，a+t]内，vk(t)
的值是一样的。
简单流的无后效性
• 即在不相交的时间区间内到达的顾客数 是相互独立的，
• 或者说在时间区间[a,a+t]内来到k个顾客 的概率与时刻a之前来到多少个顾客无关。
每一细菌在Δt内分裂成两个概率为λΔt+ο(Δt)， Δt内灭亡之概率 为μΔt+ο(Δt) ，每细菌的生灭独立，问t时间后细菌数。
二、生灭过程定义：
1、N(t)=n时，下一顾客到达间隔时间服从λn的负指数分布。 2、N (t)=n时，下一顾客离去间隔时间服从μn的负指数分布。 3、同一时刻，只有一个顾客到达或离去。
n0
n0
N 2 0.1
N 2 lg 0.1 8 lg 0.75
N≥6
例：某售票处三个售票窗口，假定三个窗口前 各排一队，每个窗口前到达人为λi=0.3人/min的 最简单流，各窗口前服务时间服从μ=0.4人/min 的负指数分布。求每个服务系统的特性指标。 若改变排队方式，到达顾客在售票处排成一队， 求此排队系统特性指标。
爱尔朗Erlang分布
• 顾客到达间隔时间相互独立，且具有相同 的爱尔朗分布密度：
P(t) λ(λt)k1 eλt , t 0, k 0,1,2,... (k -1 )!
参数λ的物理意义：表示单位时间内到达的 顾客数的平均值，成为流的强度或平均到 达率；
1/ λ的物理意务时间的分布
输入过程主要到达间隔时间分布 • 定长分布 • 爱尔朗分布 • 经验分布
• 简单流（泊松Poisson ）
• 负指数分布
定长分布D
• 每间隔一定长的时间τ0到达一个顾客 • 顾客到达时间间隔 T 的分布函数FT(t)为
1, FT(t) 0,
当 τ0时； 当 τ0时。
Pn
n!
(
/
)n
S! S nS
P0 P0
(n 1,...S) (n S)
则：
( / )S j
Lq (n S )Pn jPS j j
n S
j0
j0
S!S j
P0
( / )S
P0 S!
j0
j j
( / )S S!(1 )2
P0
平均在忙的服务台
LS Lq
s1
由流入=流出，得：
状态
输入率=输出率
0
u1P1 0 P0
1
0P0 u2P2 (u1 1)P1
…
…
n
P n1 n1 un1Pn1 (un n )Pn
…
…
P1
0
u1
P0
P2
1
u2
P1
1 u2
(u1P1
0P0 )
1
u2
P1
10
u2u1
P0
…
Pn
n1
un
Pn1
n1n2 10
unun1 u1
二、排队系统的分类记号
(输入/输出/并联的服务站数):(系统容量/顾客源数目/服务规则)
M——泊松输入或负指数服务； D——定长输入或定长服务； Ek——k阶爱尔朗分布的输入与服务； GI——一般独立输入； G——一般服务时间。
三、排队系统中常用概念
1、系统状态； 3、N（t）； 5、λn； 7、S；
③ 在[t,t+Δt]时间内恰好有一个顾客到达的概 率为：
v1(t) 1 v0 (t) (t) t
负指数分布
• 依次到达的两个顾客的间隔时间 t 的概率
密度函数（t≥0） 为
• f(t)=μe-μt(t≥0) • 概率分布函数为 • F(t)=1-e-μt
负指数分布的性质-1
• 假如服务设施对每个顾客的服务时间服 从负指数分布f(t)=μe-μt(t≥0),
例：门诊部有一名医生，病人到达时间平均20分钟 一个，病人诊治时间平均为15分钟，且到达与服务 均服从负指数分布。问：设置多少座位可使到达病 人90%以上有座位。
解： λ=1/20， μ=1/15， ρ= λ/ μ=0.75
设置了N个座位
N 1
Pn 90%
n0
N 1
N 1
(1 ) n (1 ) n 1 N 2 0.9