新北师大版九年级下册初中数学 8 圆内接正多边形 教学课件
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第八页，共二十三页。
新课讲解
解： ∵三角形AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°，OB=OA. ∴点B 在⊙ O 上. ∵ FC ∥ AB，∴∠ FOA= ∠ OAB=60°，∠ COB= ∠ OBA=60°. ∴∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD= ∠ DOE= ∠ EOF= ∠ FOA=60° . ∴六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
边长和边心距.
第六页，共二十三页。
新课讲解
解： 连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴ ∠ COD = 360= 60° 6
∴ △COD为等边三角形.
∴ CD = OC = 4.
在 Rt △ COG中，OC = 4，CG= BC1= ×41=2,
∴ OG =
2
2
OC2 CG2 42 22 2 3.
第三章 圆
8 圆内接正多边形
第一页，共二十三页。
学习目标
1.圆内接正多边形 2.圆内接正多边形的有关概念 3.正多边形的作图（重点、难点）
第二页，共二十三页。
新课导入
1.观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形.
2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体?
第三页，共二十三页。
新课讲解
形，如图所示．
第十五页，共二十三页。
新课讲解
作法二：
(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)作⊙O的任一直径AB； (3)分别以A，B为圆心，以0.9 cm为半径作弧，交
⊙O于点C，F和D，E；(4)连接AD，DE，EA. 则△ADE为所求作的正三角形，如图所示．
第十六页，共二十三页。
新课讲解
典例分析
第十八页，共二十三页。
新课讲解
练一练
如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分
别如下：
甲：(1)以D为圆心，OD长为半径画圆弧，交⊙O于B，C两点；
(2)连接AB，BC，AC.△ABC即为所求作的三角形．
乙：(1)作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；
(2)连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．
第九页，共二十三页。
新课讲解
典例分析
例 下列说法不正确的是( )D
A．等边三角形是正多边形
B．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形
C．菱形不一定是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形
分析：等边三角形是正三角形；各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；当
菱形的四个角相等时才是正多边形(正方形)，所以菱形不一定是正多边形 ；D说法不正确. 答案：D
∴正六边形的中心角为60°，边长为4,边心距为
2 3.
第七页，共二十三页。
新课讲解
典例分析
例 如图所示，三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心， OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线分别交⊙ O 于点D，E，求证：六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
分析：紧扣正多边形的定义，结合同圆中弧、圆心角的 关系证明.
的半径R.所 以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦， 就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形.
第十三页，共二十三页。
新课讲解
典例分析
例 作一个正三角形，使其半径为0.9 cm. 分析：用量角器画，先求出其中心角；用尺规画，则先考
虑等分圆周.
第十四页，共二十三页。
新课讲解
解：作法一： (1)作半径为0.9 cm的⊙O； (2)用量角器画∠AOB ＝∠BOC ＝120°； (3)连接 AB，BC，CA.则△ABC为所求作的正三角
对于甲、乙两人的作法，可判断( )
C
A．甲对，乙不对
B．甲不对，乙对
C．两人都对
D．两人都不对
第十九页，共二十三页。
课堂小结
1. 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做 正多边形.
2. 把一个圆n(n≥3)等分，顺次连接各等分点，就得 到一个正n边形. 我们把这个正n边形叫做圆的内 接正n边形.
例 用尺规作圆的内接正方形.
已知：如图，⊙O. 求作：正方形ABCD内接于⊙O.
第十七页，共二十三页。
新课讲解
作法：
(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.
(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA. 由作图过程可知，四个中心角都是90°， 所以AB=BC= CD=DA. 因为AC，BD都是直径， 所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°. 即四边形ABCD为⊙O的内接正方形.
第二十页，共二十三页。
当堂小练
1.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的 边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是(
)
A
A．R2－r2＝a2
B．a＝2Rsin 36°
C．a＝2rtan 36°
D．r＝Rcos 36°
第二十一页，共二十三页。
当堂小练
2.在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多 边形(画图工具不限，但要保留画图痕迹)．
解：如图所示． (答案不唯一)
第二十二页，共二十三页。
拓展与延伸
一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个
正多边形的半径是(
A．2
B. 3
)A
C．1
D. 1
2
第二十三页，共二十三页。
知识点1 圆内接正多边形
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
这个圆叫做该正多边形的外接圆.
第四页，共二十三页。
新课讲解
正n边形的各角相等，且每个内角为：
每个外角为： 360 . n
(n 2) 180 ； n
第五页，共二十三页。
新课讲解
典例分析
例 如图,在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC = 4, OG丄BC，垂足为G，求这个正六边形的中 心角、
第十一页，共二十三页。
新课讲解
2.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，
则∠PAB等于( )
A
A．30°
B．45°
C．150°
D．30°或150°
第十二页，共二十三页。
新课讲解
知识点2 正多边形的作图
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形. 由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆
第十页，共二十三页。
新课讲解
练一练
1.分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距.
解：设正六边形DFHKGE的中心为O，连接OH，OK，则
△OHK为等边三角形．
由题意可得OH＝HK＝ BC1＝2，∠OHK＝60°，
∴S△OHK＝
1HK·OHsin
3
60°
2
＝ ×2×2×
＝3 2
.3
又∵S正六边形＝6S△OHK，∴S正六边形＝6× ＝6 3 . 3
新课讲解
解： ∵三角形AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°，OB=OA. ∴点B 在⊙ O 上. ∵ FC ∥ AB，∴∠ FOA= ∠ OAB=60°，∠ COB= ∠ OBA=60°. ∴∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD= ∠ DOE= ∠ EOF= ∠ FOA=60° . ∴六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
边长和边心距.
第六页，共二十三页。
新课讲解
解： 连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴ ∠ COD = 360= 60° 6
∴ △COD为等边三角形.
∴ CD = OC = 4.
在 Rt △ COG中，OC = 4，CG= BC1= ×41=2,
∴ OG =
2
2
OC2 CG2 42 22 2 3.
第三章 圆
8 圆内接正多边形
第一页，共二十三页。
学习目标
1.圆内接正多边形 2.圆内接正多边形的有关概念 3.正多边形的作图（重点、难点）
第二页，共二十三页。
新课导入
1.观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形.
2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体?
第三页，共二十三页。
新课讲解
形，如图所示．
第十五页，共二十三页。
新课讲解
作法二：
(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)作⊙O的任一直径AB； (3)分别以A，B为圆心，以0.9 cm为半径作弧，交
⊙O于点C，F和D，E；(4)连接AD，DE，EA. 则△ADE为所求作的正三角形，如图所示．
第十六页，共二十三页。
新课讲解
典例分析
第十八页，共二十三页。
新课讲解
练一练
如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分
别如下：
甲：(1)以D为圆心，OD长为半径画圆弧，交⊙O于B，C两点；
(2)连接AB，BC，AC.△ABC即为所求作的三角形．
乙：(1)作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；
(2)连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．
第九页，共二十三页。
新课讲解
典例分析
例 下列说法不正确的是( )D
A．等边三角形是正多边形
B．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形
C．菱形不一定是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形
分析：等边三角形是正三角形；各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；当
菱形的四个角相等时才是正多边形(正方形)，所以菱形不一定是正多边形 ；D说法不正确. 答案：D
∴正六边形的中心角为60°，边长为4,边心距为
2 3.
第七页，共二十三页。
新课讲解
典例分析
例 如图所示，三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心， OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线分别交⊙ O 于点D，E，求证：六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
分析：紧扣正多边形的定义，结合同圆中弧、圆心角的 关系证明.
的半径R.所 以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦， 就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形.
第十三页，共二十三页。
新课讲解
典例分析
例 作一个正三角形，使其半径为0.9 cm. 分析：用量角器画，先求出其中心角；用尺规画，则先考
虑等分圆周.
第十四页，共二十三页。
新课讲解
解：作法一： (1)作半径为0.9 cm的⊙O； (2)用量角器画∠AOB ＝∠BOC ＝120°； (3)连接 AB，BC，CA.则△ABC为所求作的正三角
对于甲、乙两人的作法，可判断( )
C
A．甲对，乙不对
B．甲不对，乙对
C．两人都对
D．两人都不对
第十九页，共二十三页。
课堂小结
1. 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做 正多边形.
2. 把一个圆n(n≥3)等分，顺次连接各等分点，就得 到一个正n边形. 我们把这个正n边形叫做圆的内 接正n边形.
例 用尺规作圆的内接正方形.
已知：如图，⊙O. 求作：正方形ABCD内接于⊙O.
第十七页，共二十三页。
新课讲解
作法：
(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.
(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA. 由作图过程可知，四个中心角都是90°， 所以AB=BC= CD=DA. 因为AC，BD都是直径， 所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°. 即四边形ABCD为⊙O的内接正方形.
第二十页，共二十三页。
当堂小练
1.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的 边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是(
)
A
A．R2－r2＝a2
B．a＝2Rsin 36°
C．a＝2rtan 36°
D．r＝Rcos 36°
第二十一页，共二十三页。
当堂小练
2.在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多 边形(画图工具不限，但要保留画图痕迹)．
解：如图所示． (答案不唯一)
第二十二页，共二十三页。
拓展与延伸
一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个
正多边形的半径是(
A．2
B. 3
)A
C．1
D. 1
2
第二十三页，共二十三页。
知识点1 圆内接正多边形
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
这个圆叫做该正多边形的外接圆.
第四页，共二十三页。
新课讲解
正n边形的各角相等，且每个内角为：
每个外角为： 360 . n
(n 2) 180 ； n
第五页，共二十三页。
新课讲解
典例分析
例 如图,在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC = 4, OG丄BC，垂足为G，求这个正六边形的中 心角、
第十一页，共二十三页。
新课讲解
2.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，
则∠PAB等于( )
A
A．30°
B．45°
C．150°
D．30°或150°
第十二页，共二十三页。
新课讲解
知识点2 正多边形的作图
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形. 由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆
第十页，共二十三页。
新课讲解
练一练
1.分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距.
解：设正六边形DFHKGE的中心为O，连接OH，OK，则
△OHK为等边三角形．
由题意可得OH＝HK＝ BC1＝2，∠OHK＝60°，
∴S△OHK＝
1HK·OHsin
3
60°
2
＝ ×2×2×
＝3 2
.3
又∵S正六边形＝6S△OHK，∴S正六边形＝6× ＝6 3 . 3