[理学]第13章 偏导数与全微分

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第十三章 偏导数与全微分
引言：从本章开始引入多元函数的微分理论。

即将一元函数 的导数和微分的概念推广到多元函数，形成多元函数的偏导数和微分，并进一步研究多元函数的微分性质及其在几何上的应用。

§1 偏导数和全微分的基本概念
1、 偏导数
一元函数导数引入背景和意义：切线、速度――－函数的变 化率。

以二元函数为例引入多元函数的相关概念。

在区域D 上给定 二元函数f(x,y)，任取点p(x,y),考察在此点自变量的改变所引起的函数的变化。

先考虑一种最简单的情形：单个变量的变化所引起的函数的改变。

不妨仅考虑只在x 方向上发生改变，设改变量为x ∆，即变量由点p(x,y)变到点q(,x x y +∆),，则引起的函数的改变量为),(),(y x f y x x f u x -∆+=∆，由于这一改变量是仅由一个变量x 而不是所有变量的变化所引起的，因而称为偏增量或关于x 的偏增量。

类似，可以定义关于y 的偏增量
),(),(y x f y y x f u y -∆+=∆。

现在，考虑这些偏增量关于相应变量的变化率，类似一元函数的导数的概念，给出如下定义。

定义1.1 若 x u x x ∆∆→∆0lim ＝0(,)(,)lim x u x x y u x y x
∆→+∆-∆存在，称此极限为),(y x f 在点p(x,y)关于x 的偏导数， 记为
x u ∂∂|p 或 x f ∂∂|p。

454
注： 由定义可知，注意到极限的唯一性，),(y x f 在点p(x,y)关于x 的偏导数是点p(x,y)的函数，因此，也记为 x u (p)=(,)x u x y 或x f (p)=(,)x f x y .简写为x u 、x f 。

类似可以定义关于y 的偏导数
y u ，y f 。

注：偏导数的含义：仅考虑一个变量的改变对函数增量的变化率。

如对三元函数u=f(x,y,z),可以定义三个偏导数，即
0(,,)(,,)(,,)lim x x u x x y z u x y z u x y z x
∆→+∆-=∆ 0(,,)(,,)(,,)lim
y x u x y y z u x y z u x y z y ∆→+∆-=∆ 0(,,)(,,)(,,)lim z x u x y z z u x y z u x y z z
∆→+∆-=∆ 类似，可以推广至任意n 元函数。

偏导数的计算：关于偏导数的计算，通常有两种处理方式，
(1)、对由一个初等函数给出的表达式，用一元函数的求导法；如计算关于x 的偏导数时，由于在其余方向上变量没有发生变化，相对于x 可以视为常量，因此，只需对x 求导即可。

(2)、即特殊点处的定义方法，如对分段函数，在分段点处用定义计算。

例1：32y x xy u ++=，求x u ， y u ，及)1,0(x u ，)2,0(y u 解：将y 视为常量，关于变量x 求导，即得u 关于x 的偏导数，即
(,)2x u x y y x =+，
因而，(0,1)1x u =。

类似，2(,)3y u x y x y =+，因而(0,2)12y u =。

455
例2：)ln(32z y x u ++=，求x u ， y u ，z u 。

解、计算可得
231
(,,)x u x y z x y z =++，
232(,,)y y
u x y z x y z =++
2
233(,,)z z u x y z x y z =++.
例3：y x u =，求x u ， y u 。

解、计算得 1
(,)y x u x y yx -=， (,)l n y y u x y x x =。

注、上述的计算在相应的定义域内都成立。

例4：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+=0),(2
2y x xy
y x f ,, 0022
22=+≠+y x y x 求x f
，
y f 解、对点p(x,y): 220x y +≠，计算得
22222()(,)()x y y x f x y x y -=+，22222()
(,)()y x x y f x y x y -=+
在点（0，0），用定义计算为
0x 0(0,0)(0,0)00(0,0)l i m =l i m 0
x x f x f
f x x ∆→∆→+∆--
==∆∆， 00(0,0)(0,0)
00(0,0)lim =lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→+∆--==∆∆，
故，
456
22222()()(,)0x y y x x y f x y ⎧-⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩
,, 002222=+≠+y x y x ， 22222()()(,)0y x x y x y f x y ⎧-⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩
,, 002222=+≠+y x y x 。

偏导与连续：
我们知道，对一元函数，可导必连续。

但，对多元函数，这个结论不再成立。

以二元函数为例，设u=f(x,y)关于x 的偏导数存在，由定义，是指将y 视为常量时关于x 可导，因而能保证关于x 连续，同样，若f 关于y 的偏导数存在，能保证关于y 的连续性，我们还知道，关于两个变量分别连续的函数并不一定是二元连续函数，即偏导数存在，甚至两个偏导的同时存在性，不能保证二元函数的连续性。

如上例4： 0)0,0()0,0(==y x f f ，但),(y x f 在)0,0(点不连续。

偏导数的几何意义：一元函数的导数的几何意义为函数曲线的切线斜率。

同样，对二元函数，由于在几何上，),(y x f u =表示空间曲面∑，设()0000,,u y x M ∑∈，()000,y x f u =，考察
()00,y x u x ，()00,y x u y ，由定义()00,y x u x ＝()⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,y x f d d x 0
x x =，若记一元函数()()0,y x f x g =，几何意义为曲面∑与平面0y y =的
457
交线，则由于()00,y x u x ＝()⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g d d x 0
x ＝()0'x g ， 因而，()00,y x u x 表示曲线()x g z =在0x 的斜率，注意到曲线
()x g z = 为交线C ：()⎩
⎨⎧==0,y y y x f u 故，偏导数()00,y x u x 的几何意义为曲线C 在点()000,,u y x 处对x 轴的切线斜率；
()00,y x u y 的几何意义类似。

2、 全微分
和导数不同，一元函数的全微分考察的是函数增量和自变量 增量之间的绝对关系，即二者之间是否存在主要的线性关系，也即，()x f y =在x 点可微， ，微分是指存在实数A ，使得()x o x A y ∆+∆=∆ ，此时()x f A '=或()'dy f x dx = 。

现在，将上述微分定义推广至多元函数，仍以二元函数为例。

给定二元函数),(y x f u =，考虑x 、y 同时变化对u ∆的影响。

设在点p ()y x ,处，两个自变量的改变量为x ∆、y ∆，即变量由点p(x,y)变化至点q(,x x y y +∆+∆),则函数的增量为
()y y x x f u ∆+∆+=∆,－()y x f ,，
由于这个增量是由全部的两个变量同时改变所引起的，因而，也称此增量为函数u 的全增量。

类似一元函数可微的定义，考虑全增量和两个自变量之间是否存在主线性关系，引入二元函数可微的定义。

458
定义1.2 若存在A 、B (仅与()y x ,有关) 使
()
22y x o y B x A u ∆+∆+∆+∆=∆，称),(y x f u =在点()y x ,可微，称y B x A ∆+∆为),(y x f 在()y x ,的全微分记为du 或
df ，因而=≡f u d d y B x A ∆+∆。

由定义可知，多元函数的可微和一元函数的可微，其实质都是考察函数增量和自变量是否存在主线性关系。

但要注意由一元函数的可微定义推广到二元函数的可微定义时，其形式的变化和
区别，特别是无穷小量的形式，若记ρ=ρ是刻划自变量的改变量大小的绝对量，因此，这个无穷小量是全部变量改变量大小的无穷小量。

由此，可微的定义可以推广到任意的n 元函数。

如u=f(x,y,z)可微是指存在A 、B 、C ，使得
(,,)(,,)u f x x y y z z f x y z ∆=+∆+∆+∆-
()A x B y z o ρ=∆+∆+∆+
其中ρ=。

下面，将一元函数可微与连续性的关系及可微的必要条件进行推广。

定理1.1（可微的必要条件）设函数u=f(x,y)在点p(00,x y )可微，则函数u 在点p 关于x 、y 的偏导数都存在，且
0000(,),(,)x y f x y A f x y B ==。

（A 、B 见定义） 证明、由于f 在p(00,x y )可微，由定义，存在A 、B ，使得 0000(,)(,)()u f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+
459
因而，在可微定义中取0=∆y ，则
()()()000000lim
,,,0x f x x y f x y f x y x x +∆-=∆→∆ 0()lim x A x o x A x
∆→∆+∆==∆ 类似可得00(,)y f x y B =。

定理1.2（可微必连续）设函数u=f(x,y)在点p(00,x y )可微， 则必在此点连续。

证明、由于函数u 在p 点可微，则存在实数A 、B ，使得
()
22y x o y B x A u ∆+∆+∆+∆=∆， 因而，
0000(,)(0,0)(,)(0,0)lim ((,)(,))lim 0x y x y f x x y y f x y u ∆∆→∆∆→+∆+∆-=∆=，
即
0000(,)(0,0)lim (,)(,).x y f x x y y f x y ∆∆→+∆+∆=，
故函数在点p 连续。

注、 从上述两个定理可知，可微的要求高于偏导数，因此，偏导数存在不一定保证连续性，但可微可以保证连续性。

注、定理1的逆不成立，即偏导数存在不一定保证函数的可微。

如：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=0),(22y x xy y x f 002222=+≠+y x y x 在（0，0）点偏导数存在且
直接计算得
460
0)0,0()0,0(==y x f f ，但22y
x y x du u ∆+∆∆∆=
-∆不存在极限，因而，不可微。

类似一元函数，仍以dx 、dy 表示自变量x 、y 的微分，则dx ＝x ∆、dy y =∆， (事实上对函数x u =则其微分
x y u x u d y x u ∆=∆+∆=即x d x ∆=)，由定理1，则函数的全微分可以写为()(),,x y du f x y dx f x y dy =+。

注：类似一元函数，dx 、dy 是两个独立的变量，与y x ,无关，故：~u d x d 、y d 、x 、y 。

注：推广至n 元函数，其全微分为11n x x n du u dx u dx =++。

注：函数的可微和连续一样是局部性的概念。

注：可微与偏导：偏导存在不保证可微。

可微性的判断：
1、用定义判断),(y x f 在00(,)x y 点是否可微，其方法和步骤为：先判断偏导数的存在性，若在此点偏导数不存在，则必不可微，在偏导数存在的条件下计算此点的偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y ，然后考察极限
0,lim x y ∆→∆→
0,[(,)(,)](,)(,)lim x y f x x y y f x y f x y x f x y y ∆→∆→+∆+∆--∆-∆=
461
若此极限存在且为0，则可微，否则，不可微。

2、用可微的必要条件来判断不可微性，如，若在此点不连续或偏导数不存在，则必不可微。

下面通过例子说明可微性的判断方法，进一步说明：偏导与可微的不等价性。

例1：考察 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=0),(22y x xy y x f 002222=+≠+y x y x 在)0,0(点的
可微性。

解：已证：0)0,0()0,0(==y x f f ，但在)0,0(点不连续，因而不可微。

法二：计算
(,)[(0,0)(0,0)]
lim x y u f x f y ∆∆→∆-∆+∆ =(,)(0,0)lim x y ∆∆→2
/322)(y x y x ∆+∆∆∆ =0,0lim →∆→∆y x 0
223/2223/2lim ()()x y kx xy xy x y x y ®==++ 3/2223/2201lim ()x kx x k x k
®==+ 故极限不存在，因而不可微。

注：此例说明：偏导存在并不一定保证可微。

由此可看出偏导与可微的不一致性。

但从另一角度看，偏导与全微分都是考虑函数的增量问题，那么，在偏导存在的条件下增加什么条件才能
462 保证可微性呢？
定理1.3设),(y x f x ，),(y x f y 在点0p ),(00y x 及其邻域内存在且连续，则),(y x f u =在),(00y x 点可微。

分析：全增量⇒可微性；偏增量⇒偏导存在性，故本定理的实质是由偏导存在性（已知偏增量）导出可微性（全增量），即：建立偏增量与全增量之关系，更准确地说，以偏增量表示全增量，并进一步与偏导数联系起来。

证明：考虑全增量u ∆：
u ∆=),(),(0000y x f y y x x f -∆+∆+
=0000(,)(,)f x x y y f x y y +D +D -+D
＋),(),(0000y x f y y x f -∆+
（用偏增量表示全增量）
=y y y x f x y y x x f y x ∆∆++∆∆+∆+),(),(200010θθ
（建立了与偏导数的关系，使得能充分利用偏导数连续的条件） 由于),(y x f x ，),(y x f y 在),(000y x p 点连续，故
),(010y y x x f x ∆+∆+θ=α+)(0p f x ；
),(200y y x f y ∆+θ=β+)(0p f y
其中0,0lim
→∆→∆y x 0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛βα，故，u ∆=+∆x p f x )(0y x y p f y ∆+∆+∆βα)(0，
463
由于 022→≤∆+∆∆ααy x x ，022→≤∆+∆∆ββy x y ， 故)(22y x o y x ∆+∆=∆+∆βα，故),(y x f 在),(000y x p 可微。

例2：求xy e u =在)1,0(0p 处的全微分。

解：计算：xy x ye u =，xy y xe u =在0p 点存在且连续，故 dx dy p u dx p u du y x p =+=)()(|000。

例3：计算)ln(cos z x y x u ++-=的全微分。

解：dz u dy u dx u du z y x ++=，其中：z
x u x ++
=11，z x u y u z y +==1,sin 。

例4：判断⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(2222423
y x y x y x xy y x f 在)0,0(点的可微性。

解：由于0)0,0()0,(lim 0=∆-∆=→∆x
f x f f x x ，0)0,0(=y f 故423
2])0,0()0,0([y
x y x f y f x f f y x ∆+∆∆∆=∆=∆+∆-∆， 由于224230,0220,0)(2lim ][lim y x y x y x y x y f x f f y x y x y x ∆+∆∆+∆∆∆=∆+∆∆+∆-∆→∆→∆→∆→∆
1][lim 22,02=∆+∆∆+∆-∆=∆=∆→∆y x y f x f f y x y x y ，故不可微。

464
§2 高阶偏导数与高阶全微分
给定函数),(y x f u =，设y x u u ,都存在，则仍是二元函数，故
y x u u ,仍可继续求偏导。

如),(y x u x ，若),(y x u x 关于x 的偏导存在，称其为u 对x 的二阶偏导数，记为：2,,22x xx u u x
u ∂∂，因而x x xx u u )(=，或x u x
u x ∂∂=∂∂)(22，若),(y x u x 关于y 的偏导存在，称其为u 先对x ，再对y 的二阶混合偏导数，记为：xy u x
y u ,2∂∂∂，因而：y x u y
u u u x y x xy ∂∂∂∂=∂∂==)()()(，类似可定义：yy yx u u ,。

上述几个导函数，都称为u 的二阶导函数，且xy yx u u ,为二阶混合偏导数。

类似可定义三阶导函数：yxy xyx y x y xy yx y x xxx u u u u u u u u ,,,,,,32222。

类似还可定义n 元函数的高阶导数，如：),,(z y x f u =，其二 阶导数有如下9种形式zy zx z yz yx y xz xy x u u u u u u u u u ,,,,,,,,222。

注：对高阶混合偏导数，与求偏导的顺序有关。

如：xy yx u u ,是两个不同的函数，不一定有相等关系。

例1：计算2
22(,)sin x u x y x x y e y =++的二阶偏导数。

例2：设⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=0),(222
2y x y x xy y x f 002222=+≠+y x y x ，计算
465 )0,0(),0,0(yx xy f f 。

解：易计算4224
2224 , (,)(0,0)()(,) 0 , (,)(0,0)x x x y y y x y x y f x y x y ⎧+-≠⎪+⎪=⎨⎪=⎪⎩
，
4224
2224 , (,)(0,0)()(,) 0 , (,)(0,0)y x x y y x x y x y f x y x y ⎧--≠⎪+⎪=⎨⎪=⎪⎩
， 故1)0,0(),0(lim )0,0(0-=-=→y
f y f f x x y xy ，1)0,0()0,(lim )0,0(0=-=→x
f x f f y y x yx 。

注意二者并不相等。

对同样变量不同顺序的混合二阶偏导数，如果二者相等，可以为高阶偏导数的计算带来方便，那么，什么条件下二者相等，这实际是求偏导数的换序问题。

定理1：设yx xy f f ,在),(000y x p 连续，则),(),(0000y x f y x f yx xy =。

分析：由定义：
y
y x f y y x f y x f x x y xy ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 000000(,)(,)1lim [lim[x y x f x x y y f x y y y x
D 瓺?+D +D -+D =D D 0000(,)(,)]]x f x x y f x y x +D --
D W y
x x y ⋅∆∆=→∆→∆1lim lim 00
466
其中：
0000(,)(,)W f x x y y f x y y =+D +D -+D
0000(,)(,)f x x y f x y -+D +
而),(00y x f xy W y
x y x ⋅∆∆=→∆→∆1lim lim 00，故问题的实质是累次极限可换 序，将W 视为y x ∆∆,的二元函数W ),(y x ∆∆，什么条件可保证累 次极限可换序？因二重极限与两个累次极限都存在时则必相等， 因而问题转化为二重极限的存在性。

关键的问题：如何将W 转化为二阶混合偏导数，并利用偏导数连续性得到y
x ∆∆1W 的二重极限的存在性。

最常用的方法以是利用一元函数的中值定理，即
0000(,)(,)W f x x y y f x y y =+D +D -+D
0000(,)(,)f x x
y f x y -+D + x y x x f x y y x x f x x ∆∆+-∆∆+∆+=),(),(020010θθ
010010[(,)(,)]x x f x x y y f x x y x q q =+D +D -+D D
010020[(,)(,)]x x f x x y f x x y x
q q ++D -+D D 0103(,)xy f x x y y x y q q =+D +D D D
010020[(,)(,)]x x f x x y f x x y x
q q ++D -+D D 由于21θθ≠，第二项不易处理。

仔细观察W 的结构，具有对称性，为了统一上述过程中的21,θθ，采用技巧：统一使用中值定理。

证明：记
467
),(),(),(),(00000000y x f y x x f y y x f y y x x f W +∆+-∆+-∆+∆+= ，)(y φ00(,)(,)f x x y f x y =+∆-，则
W =-∆+)(0y y φ)(0y φ=y y y ∆∆+)(10/θφ
y
y y x f y y x x f y y ∆∆+-∆+∆+=)],(),([100100θθy x y y x x f yx ∆∆∆+∆+=),(1020θθ 故：=⋅∆∆→∆→∆W y x y x 1lim
0,0),(00y x f yx 。

利用对称性或)(y φ),(),(00y x f y y x f -∆+=，则类似可得
W =0201(,)xy f x x y y x y θθ=+∆+∆∆∆，因而
=⋅∆∆→∆→∆W y x y x 1lim
0,0),(00y x f yx 故，),(),(0000y x f y x f yx xy =。

推论1：若),(y x f 有直到n 阶的连续偏导数，则
k x y f y x f k
k k k k k ,,1,0, =∂∂∂=∂∂∂--λλλ。

即混合偏导数与求导顺序无关。

高阶微分：
给定),(y x f u =，则dy f dx f du y x +=，若du 视为x,y 的函数还是可微的，则可继续关于x 、y 求微分，称为函数u 关于x 、y 的二阶微分，即
][)(2dy f dx f d du d u d y x +==
468
dy dy f dx f dx dy f dx f y y x x y x ][][+++=
22222dy f dxdy f dx f dy f dxdy f dydx f dx f yy xy xx yy xy yx xx ++=+++= （假设yx xy f f =）
注：)(2du d u d =，将du 视为y x ,的二元函数，继续关于y x ,求微分，而此时dy dx ,是与y x ,无关的量，在此可视为常量（参量）。

在高阶微分存在的情况下，可归纳证明：
k k n n k k k n n n n
n n dy dx y x f C u d d u d -=--∑∂∂∂==01)(
469
§3 复合函数的求导法则
仍以二元函数为例讨论多元复合函数的偏导计算，由于多元复合函数的多样性，我们以一种最基本的情形为例，导出最基本的求导法则，然后推广至其它情形。

一、常规复合函数的偏导计算
给定二元函数),(y x f u =，中间变量y x ,且),(),,(t s y t s x ψϕ==，则复合为：
)),(),,((t s t s f u ψϕ=，x 、y 称为中间自变量，s 、t 称为（最终）自变量，函数u 通过中间自变量复合为最终自变量s 、t 的函数，复合函数的偏导数和微分的计算，就是计算函数关于最终自变量的偏导数和微分。

和一元函数类似，计算的基本法则为链式法则。

定理1：设t
y s y t x s x ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,在),(00t s 点存在，而),(y x f u =在),(00y x 点可微，其中),(),,(000000t s y t s x ψϕ==，则)),(),,((t s t s f u ψϕ=在),(00t s 的偏导数存在，且
0000000000(,)(,)(,)(,)(,)||||x y s t x y s t u u x u y s t s x s y s
∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂， 0000000000(,)(,)(,)(,)(,)||||x y s t x y s t u u x u y s t t x t y t
∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 这就是复合函数偏导数计算的链式法则。

分析：要证明偏导数的关系，须研究变量的改变量和函数的偏增量之关系，分析清楚最终自变量的改变如何通过改变中间变
量，最终影响函数的偏增量。

如要计算s
u ∂∂，是将u 视为),(t s 的复合函数u =u ),(t s ，考察u 关于s 的偏增量s u ∆对自变量s 的增量s ∆的变化率的极限0
lim s ∆→s u s ∆∆。

进一步分析：s 方向上改变s ∆如何产
470 生s u ∆，下述的变化链反映了它们之间的关系：
s ∆u u y
x y x s s s ,∆=∆→⎩⎨⎧∆∆→，因而s u ∆相对于作为),(t s 的函数u ),(t s 为偏增量，但同时，作为y x ,的函数又是全增量，由此，建立相互间的关系。

证明：只证明第一式： 设u =u ),(t s 在),(00t s 点附近，只在s 方向上发生改变量s ∆，由于),(),,(t s y t x x ψϕ==，因而在点),(00y x ，y x ,方向都发生改变：
x ∆＝0000000(,)(,)(,)s x s s t s t s s t x ϕϕϕ∆=+∆-=+∆-
y ∆=0000000(,)(,)(,)s y s s t s t s s t y ψψψ∆=+∆-=+∆-
进而影响到函数),(y x u ，使其发生改变（在),(00y x 点）u u y x s ,∆=∆，利用),(y x f u =在),(00y x 点可微，故
)(22,y x o y y
u x x u u y x ∆+∆+∆∂∂+∆∂∂=∆， 故，
),(00|t s s
u ∂∂(,)(,)0000,00lim |lim |x y x y x y s s s u u s s ∆→∆→∆∆==∆∆
s
y x o s y y u s x x u t s s y x t s s y x s ∆∆+∆+∆∆⋅∂∂+∆∆⋅∂∂=→∆)(||||[lim 22),(),(),(),(000000000] 又，0)(l i
)(l i 2222220220=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⋅∆+∆∆+∆=∆∆+∆→∆→∆s y s x y
x y x o s y x o s s ，
471
则
),(00|t s s u ∂∂),(),(),(),(00000000||||t s y x t s y x s
y y u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂= 类似可证明另一式。

注：定理1中的链式法则一般可以写为
s
y y u s x x u s u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂， t
y y u t x x u t u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂。

分析公式两端各项含义此链式法则可以表述为
=∙∑所有中间变量复合函数对最终函数对中间此中间变量自变量的偏导数变量的偏导数对此自变量的偏导数 掌握了上述公式的含义，不管复合函数形式和结构如何变化，复合函数的偏导计算变得非常简单，只须准确确定函数，中间变量，自变量。

方法：自变量：复合函数表达式中的变量；中间变量： 自变量之外的变量，连结自变量与函数。

例1：计算由),(y x f u =与)(),(t y t x ψϕ==的复合函数))(),((t t f u ψϕ=的导函数。

分析：自变量t ，中间变量y x , 解：由链式法则：)()(//t u t u dt
dy y u dt dx x u ds du y x ψϕ+=⋅∂∂+⋅∂∂= 例2：计算),,(z y x f u =与(,),(),()x s t y s z w t ϕψ===的复合函数的偏导数。

分析：自变量t s ,，中间变量z y x ,,
解：由链式法则：
472 )(/s y
u s x u s z z u s y y u s x x u s u ψϕ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂， )(/t w z
u t x u t z z u t y y u t x x u t u ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ϕ 注：例1与例2是典型的常规型复合函数，其特点是在函数与自变量的函数关系式中不含自变量，或中间变量与自变量不同时作为变量出现在一个函数关系中。

而事实上经常会出现这种情况。

二：其它类型复合函数偏导的计算。

基本方法：通过引入新的中间变量转化为基本型。

例4：计算由),,(t y x f u =与(,),(,)x s t y s t ϕψ==的复合函数)),,(),,((t t s t s f u ψϕ=的偏导数。

分析：自变量为t s ,，中间变量为y x ,。

特点：中间变量y x ,与自变量t 一同出现在函数关系),,(t y x f u =中；处理方法：引入新的中间变量，化为基本型。

解：引入函数t z =，则复合函数)),,(),,((t t s t s f u ψϕ=也可视为),,(z y x f u =与),(),,(t s y t x x ψϕ==，t z =复合而成，由链式法则及()1z z t t
∂'==∂， s
y u s x u s z z u s y y u s x x u s u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ψϕ； .u u u u t x t y t z
ϕψ∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+∂∂∂∂∂∂ 例5：计算由),(y x f w =与)(x y ϕ=的复合函数))(,(x x f w ϕ=关于x 的一阶和二阶导函数。

分析：复合函数为x 的一元函数，可以计算其一阶和二阶导数。

473
解：由链式法则：（记x u =，则),(y u f w =） /
()dw w u w y w w x dx u s y x u y
ϕ∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂
2////2
()(())()()()()d w d w
d w
d w
d w w
x x x d x d x u
d x y d x u d x y y
ϕϕϕ∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂ 而 )()(/
222222x u y w u
w x y u y w x u u w u w dx d ϕ⋅∂∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂
)()(/
2
22x y w y u w y w dx d ϕ⋅∂∂+∂∂∂=∂∂
故)()()(2//2/22/22222x y w
x y
w x u y w u w dx u d ϕϕϕ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=
注：上述计算过程假设了出现的各阶导数都存在且混合偏导数
可以换序。

例5：设),(2
x y y x f u =，求22,x
u
x u ∂∂∂∂
解：引入中间变量x y y x =
=ηξ,2，则),(2x
y
y x f u =可视为),(ηξf u =与x
y
y x =
=ηξ,2复合而成，故：
η
ξηηξξ∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂u x y u xy x u x u x u 22 ]2[22
2ηξ∂∂-∂∂∂∂=∂∂u x y u xy x x u )()()()2()2(22η
ηξξ∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂=u x x y u x y x u x xy u xy x
474
]2[2]2[222
222232222ηξηηξηξξ∂∂-∂∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂=u x y u xy x y u x y u x y u xy xy u y 2
3
224222222
2
2244ηξηηξξ
∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=u x y u y u x y u x y u y x 例6：设),(y x u u =，证明在极坐标变换⎩
⎨⎧==θθ
sin cos r y r x 下成立：
22222)()()(1)(
y u
x u u r r u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂θ
分析：通过要证明的结论可知，结论的右边表明，函数u 为变
量x 、y 的函数，
左边函数u 为变量r 、θ的函数，由所给的变量关系式知，函数u 应视为通过中间变量x 、y 复合为r 、θ的复合函数，因此只需计算复合函数的偏导数代入验证即可，由复合函数偏导的计算公式，计算右边比较简单。

证明：由于
r y y u r x x u r u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂＝cos sin u u x y θθ∂∂⋅+⋅∂∂； θθθ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂y y u x x u u ＝(sin )cos u u r r x y
θθ∂∂⋅-+⋅∂∂ 代入即可。

三：复合函数的全微分――一阶微分形式的不变性
设),(y x f u =与),(),,(t s y t x x ψϕ==复合成)),(),,((t s t s f u ψϕ=，
考察将u 视为x 、y 函数和视为s 、t 的复合函数的全微分形式。

),(y x f u =作为y x ,的函数，则dy f dx f du y x +=。

)),(),,((t s t s f u ψϕ=作为t s ,的函数，则dt t
u ds s u du ∂∂+∂∂=。

考察二者关系：由于
475
s y y u s x x u s u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，t
y y u t x x u t u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂， 且dt t ds s dx ∂∂+∂∂=
ϕϕ；dt t
ds s dy ∂∂+∂∂=ψψ，代入可得 dt t u
ds s u du ∂∂+∂∂=
ds s y y u s x x u )(∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=+dt t y y u t x x u )(∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂ dy y
u dx x u ∂∂+∂∂=
由此可知，不论将函数u 视为x 、y 函数还是视为s 、t 的复合函
数，函数的一阶全微分形式一样，称为一阶微分形式的不变性。

类似一元函数，复合函数的高阶微分不再具有不变性。

476
§4 隐函数的求导法
虽然目前我们所遇到的函数都是显函数，即已知用自变量表示的函数表达式，其一般形式为),(y x f z =或更一般的n 元显函数
),,(1n x x f z =，但在工程技术领域，我们经常遇到的是隐函数：即一组变量所满足的方程或方程组，进一步由方程（组）确定的某些函数关系。

这些函数关系有时能通过求解方程（组）而得到，有些不能求出其解。

如：球面满足的方程：1222=++z y x ，由此可得上半球面221y x z --=，下半球面221y x z ---=，而行星运动的Kepler 方程：0sin =--y t y ε，t 为时间，y 是行星与太阳的连线扫过的扇形弧度，ε为离心率。

从天体力学的角度讲，y 应是t 的函数，但我们不能由此方程给出y 的显示表达式，像这样的例子，自然界还有很多。

然而，在了解或研究这些实际问题时，通常需要我们去了解这些函数更多的分析性质，如连续性、可微性等。

如何解决这些问题，这正是本节的任务。

本节，我们只介绍隐函数的求导方法，其理论基础放在第十六章。

一、单个方程所确定的隐函数的求导
设给定1+n 元单个方程：0),,,(1=n x x z F ，在某些条件下，可设想：这1+n 个变元只有n 个独立，即从中可以解出一个量比如z 可以用剩下的n 个独立的变量n x x ,,1 表示，因此，变量z 完全由这n 个独立的变量所确定。

由此就确定了一个函数关系),,(1n x x z z =，我们的目的是在不能解出函数关系的情况下，计算函数的偏导数
i x z ，n i ,,1 =。

总结这类问题为：
设由方程0),,,(1=n x x z F 确定了隐函数),,(1n x x z z =，试计
477
算i x z ，n i ,,1 =及高阶偏导。

分析条件：已知方程：0),,,(1=n x x z F 和确定的隐函数),,(1n x x z z =，因此，方程0),,,(1=n x x z F 中，将z 视为函数),,(1n x x z ，因此，函数1(,,
,)n F z x x 实际是复合函数
),,),,,((11n n x x x x z F ，于是可根据此复合函数所满足的方程0),,),,,((11=n n x x x x z F 计算i x z ，过程如下：
由题意，方程可视为如下复合形式的方程：
0),,),,,((11=n n x x x x z F
自变量为n x x ,1，中间变量为z 。

由复合函数的偏导计算，对方程两端关于变量i x 求导，则：
0=+∂∂⋅
i x i
Z F x z
F ， 故
z
x i F F x z
i -=∂∂。

从公式可知，若表达式1(,,,)n F z x x 是已知的，就可以计算隐
函数),,(1n x x z z =的偏导数。

当然，必须满足条件0≠Z F ，事实上，这个条件正是由方程0),,,(1=n x x z F 确定隐函数),,(1n x x z z =的条件。

注：上述过程是典型的隐函数的求导过程，由此过程可看出，先确定隐函数，
再求导。

这种求导的思想应该熟练掌握，不必记住公式。

例1：求由方程12
22=++c
z b y a x 所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数。

478
解：将z 视为函数形式),(y x z z =，而方程的右端是复合函数形
式，由此，两端关于x 求导， 02222=+x z c z a x 则z a x
c z x 22-=，类
似z
b y
c z y 22-=。

例2：设0),,(=+xz z y xy F ，求2,z z
x x y
∂∂∂∂∂。

解：由题意：确定隐函数),(y x z z =，用i F '表示函数F 关于第i 个变量的偏导数，即若123(,,),,,u v w F F u v w F F F F F F '''====则，两端关于x 求导：
//12(,,)(,,)F xy y z xz y
F xy y z xz +?+
/3(,,)()0F xy y z xz x
zx ++?= （*）
解之得//
13//232x yF F z F xF +=-+，类似，/
3/2/
2/
1xF F F xF z y ++-=。

关于（*）式两端对y 求偏导：
]()
]()1([])1([][2/3
/
33/32/31/
23/22/21/
13/12/11/1=∂∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+++∂∂+∂∂+++∂∂+++y
x z x y z F xz z y
z x F y z F x F y z x F y z F x F y z x
F F x F y F x 从上述方程中可以计算出2z
x y
∂∂∂。

注：上述例子表明，隐函数求导的实质是：将方程视为复合函 数方程，然后对方程求导即可。

479
二：由方程组所确定的隐函数的导数
由线性代数的方程组理论可知：一般由m 个方程可确定出m 个
未知量，因此，假设由m 个方程：⎪⎩⎪
⎨⎧==0
),,,(0),,,(11
111n m m n m x x u u F x x u u F ，则任
给一组数n x x ,,1 ，上述方程组是以m u u ,,1 为未知量的方程组，设其有唯一解m u u ,,1 ，于是，对任意的),,(1n x x ，存在唯一一组数
m u u ,,1 与之对应，由此，确定一组隐函数：
⎪⎩⎪
⎨
⎧====0
),(0
),(1111n m m
n x x u u x x u u 现计算
j
i
x u ∂∂，方法同上。

将每个方程都视为复合函数，则关于1x 求偏导：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂⋅
∂∂++∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂⋅∂∂++∂∂⋅
∂∂001
1111
11
111111x F x u u F x u
u F x F x u u F
x u u F m
m m m m m m
由此可得关于
1
1
1
,,
m
u u x x ∂∂∂∂的线性方程组，求解，则：
480
11
1211
1
11111
1(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,,)
(,,)(,,)m m m m m m n m m m D F F u D x u u D F F x D u u D F F u D u u x D F F x D u u -⎧
⎪∂=-⎪∂⎪⎪
⎪
⎨⎪⎪
∂⎪=-⎪∂⎪⎩
类似可以计算其它的偏导数。

例3：计算由0),,(,0),,(==z y x G z y x F 所确定的隐函数
)(),(x z z x y y ==的偏导数
x
y
x z ∂∂∂∂,。

解：对x 求导，则
///123//
/12300y
z F F F x x
y z G G G x
x
∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨
∂∂⎪++=⎪∂∂⎩
解之得//(,)
(,)
(,)
(,)
() , ()(,)(,)(,)(,)
D F G D F G D x z D y z y x z x D F G D F G D y z D y z =-=-。

从上述两种情形看，隐函数的求导相当简单，但要注意掌握方法实质，注意从题目中分析清楚确定的隐函数。

也注意不必记公式，要做到灵活运用。

例4：设θθsin ,cos r y r x ==，求
y
y r x x r ∂∂∂∂∂∂∂∂θθ,,, 分析：从题型可知，确定两个隐函数),(),,(y x y x r r θθ== 解：对两式关于x 求导，则：
481
1cos sin 0sin cos r r x x
r r x x θθθθθθ∂∂⎧
=⋅-⋅⎪⎪∂∂⎨
∂∂⎪=⋅-⋅⎪∂∂⎩
， 解之得cos sin r
x x r θθθ∂⎧=⎪⎪∂⎨∂⎪=-
⎪∂⎩。

类似可得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂r y y
r θθθcos sin 。

注：还可用微分法：利用复合函数一阶微分的不变性。

法二：两端微分：
cos sin sin cos dx dr r d dy dr r d θθθ
θθθ=⋅-⋅⎧⎨
=⋅-⋅⎩
解得cos sin sin cos dr dx dy
d dx dy r r
θθθθ
θ=⋅+⋅⎧⎪⎨=-⋅+⋅⎪⎩，由微分定义得 cos ,sin r r x y θθ∂∂==∂∂ ，sin cos ,x r y r
θθθθ∂∂=-=∂∂。

例5：从方程组⎩⎨⎧=++++=++++212
2222v u z y x v u z y x 中求出xx xx x x v u v u ,,, 分析：这是5个变元，两个方程的方程组，由方程组理论，两个方程的方程组至多可以确定两个变量，因此，上述5个变量，至少有3个是独立的，而从题目中可分析出：变元z y x ,,独立，确定两个隐函数),,(),,,(z y x v v z y x u u ==
解：由题意，方程组可以确定隐函数),,(),,,(z y x v v z y x u u ==，因此，利用复合函数求导法则，对方程组的方程两端关于x 求偏导，则
482
⎩⎨
⎧=++=++0
2220
1x x x x vv uu x v u （*） 解之得 x x v u v u -=
-，x u x
v v u
-=-。

再对（*）两端关于x 求偏导：
22
010xx xx x xx x xx u v u uu v vv +=⎧
⎨++++=⎩ 求解得 22
1(
)()xx xx x v u x v u v u u v v u
--++--=-=-。

483
§5隐函数求导应用――方程的变换
从上节例子可知,隐函数的求导并不困难,但是作为其应用——偏微分方程的变换却是很困难的。

所谓偏微分方程的变换，是指通过给定的一组变量关系，将一个已知的偏微分方程转换为另一种形式。

常见的有两种方程变换，其一为部分变换，即将一个函数的已知的关于某组变量的偏微分方程，通过给定的一组变量关系，转化为此函数关于另一组变量的偏微分方程；在这个过程中，函数不变，只是自变量发生改变。

其二称为完全变换，即将一个函数的已知的关于某组变量的偏微分方程，通过一组变量关系和一个函数关系，转换为另一个函数关于另一组变量的偏微分方程，在这个过程中，变量和函数都发生改变。

方程变换的难点在于：转换过程中，必须准确把握问题的 含义，准确确定函数、变量、中间变量等各种量之间的关系。

下面通过例子说明相应的方法和技巧。

1、部分变换：
例1 设xy v y x u 2,2
2=-=，变换方程：02222=∂∂+∂∂y w x w （1） 分析：由给定的方程（1）可知，方程（1）是函数),(y x w w =关于变量x 、y 所满足的PDE 。

给定的一组变量关系为xy v y x u 2,22=-=。

在变量关系式中，只涉及到函数w 的自变量x 、y 和两个新的变量u 、v,利用这组关系式可以实现变量x 、y 和u 、v 之间的转换，即把自变量由x 、y 转换为u 、v,，这个转换过程是通过利用隐函数理论，由方
程组⎩⎨⎧=-=+-0
2022xy v y x u 确定隐函数),(),,(v u y y v u x x ==来实现的。

因此，函数w=w(x,y)通过变量关系),(),,(v u y y v u x x ==，转换为w 关于u 、v 的函数w=w(u,v)。

故，函数w 没变，自变量由y x ,变成了v u ,，而y x ,成了中间变量，因此，本题要求：将w 关于y x ,的PDE 转化为w 关于v u ,的偏微分方程——部分变换。

484
通过上述分析，明确了题目的目的和要求，即变换上述方程，实际上是将w 关于x 、y 的偏微分方程转换为w 关于变量uv 的偏微分方程，相当于用w 关于u 、v 的偏导数表示w 关于x 、y 的偏导数，然后代入原偏微分方程即可，因此，其实质是隐函数和复合函数的求导计算。

注意到复合函数的求导法则，在用w 关于u 、v 的偏导数表示w 关于x 、y 的偏导数时，把变量关系式中的函数u 、v 视为中间变量更方便，因此，复合过程视为),()
,(222y x w v u w w y x u xy v -====，这是这类问题处
理时的技巧。

解：将函数),(y x w w =视为函数),(v u w w =与变量xy v y x u 2,22=-=的复合。

则由链式法则：
v
w x u w y y v v w y u u w y w v w y u w x x v v w x u u w x w ∂∂+∂∂-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2222 进而：][2][2222222222x v v w x u u v u y x
v v u w x u u w x u w x w ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ 2
22222222244442v w y v x u xy v u w xy u w x u w x w ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ ][2][2222222222y v v w y u u v u x y v v u w y u u w y u w y w ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂-∂∂-=∂∂
2
222222244442v w x u v u xy v u w xy u w y u w ∂∂+∂∂∂-∂∂∂-∂∂+∂∂-=。

故：])[(42222222222v
w u w y x y w x w ∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂，因而，方程（1）变为02
222=∂∂+∂∂v w u w
485
注：变换方程的实质是计算原方程的偏导数，因而，需要将新引入的变量作为中间变量，以便利用复合函数的求导公式计算导数关系。

例7 设(,),cos ,sin u u x y x r y r θθ===，证明：
22222222211θ
∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u r r u r r u y w x w 分析：题目相当于将等式左边的偏微分表达式转换为右端的偏微分表达式，由所给关系式，视y x ,为中间变量，便于计算偏导数。

证明：),(θr u 可视为),(y x u u =与θθsin ,cos r y r r ==复合而成，由链式法则：
y
u r x u r u y u x u r u ∂∂+∂∂-=∂∂∂∂+∂∂=∂∂θθθθθc o s s i n ,s i n c o s 222222222222222222222c o s c o s s i n 2s i n s i n c o s s i n 2c o s y u r y x u r x u r r u r u y
u y x u x u r u ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂θθθθθθθθθ 代入即可。

注：从上述两个例子可知，在涉及到这类偏微分方程的转换时，选取合适的中间变量是十分关键的，这可以减少计算量，根据所给的变量关系式确定中间变量是常用的技巧。

2、完全变换
例3 设uw u z uv u y u x +=+=
=1,1,，变换方程：222z y z y x z x =∂∂+∂∂ （*）
分析：由方程形式知：方程（*）是函数),(y x z z =所满足的PDE ，这个方程中涉及函数z ，自变量y x ,。

再分析变量关系式：前两个涉及自变量关系：),(),(v u y x ↔，故函数),(y x z z ==),(v u z 。

最后一个式中，
486
除涉及新自量u ，还有一个变量w ，此w 正是由z 、u 确定的新函数),(),(v u w u z w w ==。

因而，各种变量关系为：
原函数（因变量）：z 原自变量：y x ,；
新函数（因变量）：w 新自变量：v u ,。

故问题为：将),(y x z z =满足的PDE （*）式，通过变量关系式，转化为),(v u w w =所满足的偏微分方程。

关键：寻求y z x z ∂∂∂∂,与v w u w ∂∂∂∂,之关系。

希望用v w u w ∂∂∂∂,表示y z x z ∂∂∂∂,，代入（*）即可。

如何实现这一目标？通过函数关系式的求导来实现。

解：由函数关系式得：u uw z =+)1( （除法的导数转化为乘法的导数）
由娈量关系：u 可视为y x ,的函数。

新函数),(v u w w =也可通过与),(),,(y x v y x u 的复合视为y x ,的函数。

故上式两端可视为y x ,的函数，关于y x ,求偏导，分别对y x ,求偏导，则：
)]([)1()]([)1(y
v v w y u u w u w y u z y z uw y u x v v w x u u w u w x u z x z uw x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂ 上述两式中，还涉及到
y u x u ∂∂∂∂,y
v x v ∂∂∂∂,，通过变量关系式uv u y u x +==1,将其求出：
487
关于x 求导：⎪⎩
⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=211)(1u v u u x u v x v u y u x x x x 关于y 求导：⎪⎩
⎪⎨⎧+-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂++=22)1(0)()1(0u uv v u u y u v y v u y uv u y y y x 代入，可计算：
v w uw uv y z uw v w u w u x z ∂∂⋅++=∂∂+∂∂-∂∂-=∂∂2222)1()1(,)1(1，代入方程（*）中可得： 0=∂∂u
w 。

总结上述变换过程，主要步骤为，先通过给定的两个函数关系式求导，寻求二者的偏导数关系；其次，通过给定的变量关系寻求变量之间的偏导数关系；最后代入即可。

主要的技巧，尽可能各种量的除法关系转变为乘法关系，以方便求导。

注：用到几个关系式：
11)1()1)(1(=-+=-=⋅-=+-uw uw uw z
u z u zw uw zw 2222)1(x u uw z ==+
注：上述处理过程表明，不须具体求出变换的逆变换式。

例4设z xy w y x v y x u -=-=+=,,，变换方程：
022222
2=∂∂+∂∂∂+∂∂y z y x z x z 分析：与例3同。

解：原函数),(y x z z =，新函数),(v u w w =与变量关系
y x v y x u -=+=,复合后也可视为y x ,的函数。

故函数关系式z xy w -=的两端都可视为y x ,的函数，两端关于y x ,求偏导：
488
v
w u w x y z v w u w y x v v w x u u w y x w y x z ∂∂+∂∂-=∂∂∂∂-∂∂-=∂∂∂∂-∂∂∂∂-=∂∂-=∂∂ 再求导： 2222222222222222222212v w v u w u
w y z v
w u w y x z v w v u w u
w x z ∂∂-∂∂∂+∂∂-=∂∂∂∂+∂∂-=∂∂∂∂∂-∂∂∂-∂∂-=∂∂ 故：2222222422u
w y z y x z x z ∂∂-=∂∂+∂∂∂+∂∂，故原方程变为：2122=∂∂u w 例5 设cos ,sin x r y r θθ==，变换方程：⎪⎩⎪⎨⎧++-=++=)()(2222y x kx x dt
dy y x kx y dt dx 为极坐标方程。

分析：方程表明存在函数关系：)(),(t y y t x x ==
由变量关系：(,),(,)r r x y x y θθ==，
确定新的函数关系(),()r r t t θθ==
目的：计算
dt
d dt dr θ, 方法：由于没有具体的方程，通过变量的具体关系来计算。

解：对关系⎩⎨⎧==θθsin cos r y r 式对t 求导：⎪⎩⎪⎨⎧+=-=dt d r dt
dr dt dy dt d r dt dr dt dx θθθθθθcos sin sin cos ，由此算出dt
d dt dr θ,。