建始县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

建始县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（）
A．B．C．D．
2．设M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（）
A．B．
C．D．
3．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f（x）对应的解析式为（）
A．B． C．D．
4．函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（）
A．0＜a≤B．0≤a≤C．0＜a＜D．a＞
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6． 已知M N 、为抛物线2
4y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，
||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）
A ．240x y +-=
B ．240x y --=
C ．20x y +-=
D ．20x y --=
7． 在等差数列{a n }中，3（a 3+a 5）+2（a 7+a 10+a 13）=24，则此数列前13项的和是（ ）
A ．13
B ．26
C ．52
D ．56
8． 在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）
A ．
B ． C. D ．
2
9． 由直线
与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）
A B1
C D
10．函数f （x ）=e ln|x|+的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线C 上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．2
12．将函数f （x ）=3sin （2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）
的图象，若f （x ），g （x ）的图象都经过点P （0，），则φ的值不可能是（ ）
A ．
B ．π
C ．
D ．
二、填空题
13．已知双曲线x 2﹣y 2=1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|+|PF 2|的值为 ．
14．已知圆O ：x 2+y 2=1和双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）．若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O
外），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，则
﹣
= ．
15．已知()2
12811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________. 16．已知含有三个实数的集合既可表示成}1,,
{a
b
a ，又可表示成}0,,{2
b a a +，则 =+20042003b a .
17．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC
与平面ABC 所成角的正弦值为______________.
【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．
18．设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，=S n．则数列{a n}的通项公式a n=．
三、解答题
19．设M是焦距为2的椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线
MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）上点N（x0，y0）处切线方程为+=1，若P
是直线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．
20．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若，求实数k的值；
（Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．
21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1，
（1）求证：直线BC1∥平面D1AC；
（2）求直线BC1到平面D1AC的距离．
22．已知，其中e是自然常数，a∈R （Ⅰ）讨论a=1时，函数f（x）的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+．
23．已知矩阵A＝，向量＝.求向量，使得A2＝.
24．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O 为AC中点．
（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．
建始县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，
所以共有4×6=24个，
而在8个点中选3个点的有C83=56，
所以所求概率为=
故选：C
【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．
2．【答案】B
【解析】解：A项定义域为[﹣2，0]，D项值域不是[0，2]，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符．
故选B．
【点评】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．
3．【答案】A
【解析】解：由函数的图象可得A=1，=•=﹣，
解得ω=2，
再把点（，1）代入函数的解析式可得sin（2×+φ）=1，
结合，可得φ=，
故有，
故选：A．
4．【答案】B
【解析】解：当a=0时，f（x）=﹣2x+2，符合题意
当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数
∴⇒0＜a ≤
综上所述0≤a ≤ 故选B
【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a 的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．
5． 【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得 s=0，n=0
满足条件n ＜i ，s=2，n=1 满足条件n ＜i ，s=5，n=2 满足条件n ＜i ，s=10，n=3 满足条件n ＜i ，s=19，n=4 满足条件n ＜i ，s=36，n=5
所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为4， 有n=4时，不满足条件n ＜i ，退出循环，输出s 的值为19． 故选：B ．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
6． 【答案】D
【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．
设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的中点坐标为(4,2).
由2114y x =，2224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，
而1222y y +=，∴12
12
1y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=，选D ．
7． 【答案】B
【解析】解：由等差数列的性质可得：a 3+a 5=2a 4，a 7+a 13=2a 10，
代入已知可得3×2a 4+2×3a 10=24，即a 4+a 10=4，
故数列的前13项之和S 13=
=
=
=26
故选B
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体代入的思想，属中档题．
8．【答案】B
【解析】
考点：正弦定理的应用.
9．【答案】D
【解析】由定积分知识可得，故选D。

10．【答案】C
【解析】解：∵f（x）=e ln|x|+
∴f（﹣x）=e ln|x|﹣
f（﹣x）与f（x）即不恒等，也不恒反，
故函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，
可排除A，D，
当x→0+时，y→+∞，故排除B
故选：C．
11．【答案】C
【解析】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F（0，1），
又P为C上一点，|PF|=4，
可得y P=3，
代入抛物线方程得：|x
|=2，
P
∴S△POF=|0F|•|x P|=．
故选：C．
12．【答案】C
【解析】函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）向右平移φ个单位，得到g（x）=sin（2x+θ﹣2φ），
因为两个函数都经过P（0，），
所以sinθ=，
又因为﹣＜θ＜，
所以θ=，
所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），
sin（﹣2φ）=，
所以﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，
或﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ﹣，k∈Z，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，难度中档
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．
∵双曲线方程为x2﹣y2=1，
∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8
又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，
∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4
因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12
∴|PF1|+|PF2|的值为
故答案为：
【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．
14．【答案】1．
【解析】解：若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O 外）， 均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ， 可通过特殊点，取A （﹣1，t ），
则B （﹣1，﹣t ），C （1，﹣t ），D （1，t ）， 由直线和圆相切的条件可得，t=1．
将A （﹣1，1）代入双曲线方程，可得﹣=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．
15．【答案】()2
245f x x x =-+ 【解析】
试题分析：由题意得，令1t x =-，则1x t =+，则()22
2(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+，所以函数()
f x 的解析式为()2245f x x x =-+. 考点：函数的解析式. 16．【答案】-1 【解析】
试题分析：由于{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫
=+⎨⎬⎩⎭
，所以只能0b =，1a =-，所以()20032003200411a b +=-=-。

考点：集合相等。

17．【答案】7
【
解
析
】
18．【答案】．
【解析】解：S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，=S n，∴S n+1﹣S n=S n+1S n，
∴=﹣1，=﹣1，
∴{}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列，
∴=﹣1+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n．
∴S n=﹣，
n=1时，a1=S1=﹣1，
n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣+=．
∴a n=．
故答案为：．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）解：设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则+=1，
即n2=b2•，
由k1k2=﹣，即•=﹣，
即有=﹣，
即为a2=2b2，又c2=a2﹣b2=1，
解得a2=2，b2=1．
即有椭圆E的方程为+y2=1；
（2）证明：设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），
则两切线方程PC，PD分别为：+y1y=1，+y2y=1，
由于P点在切线PC，PD上，故P（2，t）满足+y1y=1，+y2y=1，
得：x1+y1t=1，x2+y2t=1，
故C（x1，y1），D（x2，y2）均满足方程x+ty=1，
即x+ty=1为CD的直线方程．
令y=0，则x=1，
故CD过定点（1，0）．
【点评】本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．
20．【答案】
【解析】
【分析】（I）设圆心C（a，a），半径为r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，从而可求圆C的方程；
（II）方法一：利用向量的数量积公式，求得∠POQ=120°，计算圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离，即可求得实数k的值；
方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及=x1•x2+y1•y2=，即可求得k的值；
（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，求得，根据垂径定理和勾股定理得到，
，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值；
方法二：当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，可求面积S；当直线l的斜率k≠0时，设，
则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，求得|PQ|，|MN|，再利用基本不等式，可求四边形PMQN
面积的最大值．
【解答】解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．
因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，
所以
解得a=0，r=2，…（2分）
所以圆C的方程是x2+y2=4．…（4分）
（II）方法一：因为，…（6分）
所以，∠POQ=120°，…（7分）
所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，…（8分）
又，所以k=0．…（9分）
方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
因为，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0．…（6分）
由题意得：…（7分）
因为=x1•x2+y1•y2=﹣2，
又，
所以x1•x2+y1•y2=，…（8分）
化简得：﹣5k2﹣3+3（k2+1）=0，
所以k2=0，即k=0．…（9分）
（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．
因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有，…（10分）
又根据垂径定理和勾股定理得到，，…（11分）而，即
…（13分）
当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）
方法二：设四边形PMQN的面积为S．
当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时．…（10分）
当直线l的斜率k≠0时，设
则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0
所以
同理得到．…（11分）
=…（12分）
因为，
所以，…（13分）
当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）
21．【答案】
【解析】解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，故AB∥C1D1，AB=C1D1，
故ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上，
故直线BC1平行于平面DA1C；
（2）直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离（设为h）
以△ABC为底面的三棱锥D1﹣ABC的体积V，可得
而△AD1C中，，故
所以以△AD1C为底面的三棱锥B﹣﹣AD1C的体积，
即直线BC1到平面D1AC的距离为．
【点评】本题考查了线面平行的判定定理，考查线面的距离以及数形结合思想，是一道中档题．22．【答案】
【解析】解：（1）a=1时，因为f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
当1＜x≤e时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．
（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．
又g′（x）=，所以当0＜x＜e时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增．
所以g（x）的最大值为g（e）=，
所以f（x）min﹣g（x）max＞，
所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．
【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，考查函数的极值问题，本题属于中档题．．
23．【答案】＝
【解析】A2＝.
设＝.由A2＝，得，从而
解得x＝-1，y＝2，所以＝
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，
所以A1O⊥AC．
又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，
交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC．
（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴，
所以得：
则有：．
设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有，
令y=1，得所以．
．
因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与所成锐角互余，所以．
（Ⅲ）设，
即，得
所以，得，
令OE∥平面A1AB，得，
即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得，
即存在这样的点E，E为BC1的中点．
【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。