山东省日照市2021届高三第二学期5月校际联合考试数学试题【含答案】

山东省日照市2021届高三第二学期5月校际联合考试数学试题
2021．5
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合()(){}
140A x x x =+-<，{}
09B x x =<<，则A B ⋂=（ ） A ．()0,4
B ．()4,9
C ．()1,4-
D ．()1,9-
2．若复数z 满足i 23i z =+，则z 的实部与虚部之和为（ ） A ．1- B ．1
C ．2-
D ．3
3．若α为第二象限角，则（ ） A ．sin cos 0αα-< B ．tan 0α< C ．sin 202πα⎛⎫
+>
⎪⎝⎭
D ．()cos 20πα->
4．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里震级M 之的关系lg 4.8 1.5E M =+．据此推断2008年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是2020年9月30日台湾省宜兰县海域发生里氏5.0级地震所释放的能量的（ ）倍． A ．lg 4.5
B ．4.5
C ．450
D ． 4.5
10
5．()()6
12x x --展开式中3
x 的系数为（ ）
A ．80
B ．80-
C ．400
D ．400-
6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()ln f x x x +．则322a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，
()
2log 9b f =，c f
=的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b c a >>
D ．b a c >>
7．已知F 是抛物线C ：22y px =的焦点，2x =-是抛物线C 的准线，点()0,N t （0t ≠）连接FN 交抛物线C 于M 点，0MN MF +=，则OFN △的面积为（ ）
A ．6
B ．3
C ．
D ．
81的正方体1111ABCD A BC D -中，球1O 同时与以
B 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1D 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E ，若球1O ，2O 的半径分别为1r ，2r ，则（ ）
A ．1O
B = B ．126r r +=
C D ．这两个球的表面积之和的最小值是4π
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则（ ） A ．若m α⊥，n α⊥，则//m n B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若//m α，m β⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，//m α，n
β，则m n ⊥
10．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（ ）
A ．小寒比大寒的晷长长一尺
B ．春分和秋分两个节气的晷长相同
C ．小雪的晷长为一丈五寸
D ．立春的晷长比立秋的晷长长
11．若函数()()sin 2A f x x φ=+（0A >，02
π
φ<<）的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A ．,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是函数()f x 图像的一个对称中心 B ．两数()f x 的图像关于直线3
π
x =对称 C ．函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增 D ．函数()f x 的图像可由sin 2y A x =的图像向左平移
12
π
个单位得到 12．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >），1A ，2A 是其左、右顶点，1F ，2F 是其
左、右焦点，P 是双曲线上异于1A ，2A 的任意一点，下列结论正确的是（ ） A ．212PF PF a -=
B ．直线1PA ，2PA 的斜率之积等于定值2
2b a
C ．使得12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有8个
D ．12PF F △的面积为2
12tan
2
b A PA ∠
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数()3sin ,0
6
log ,0
πx
x x x f x ≤>⎧⎪=⎨⎪⎩，则13f f ⎛
⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
______． 14．已知点(),a b 在直线44x y +=上，当0a >，0b >时，
49
a b
+的最小值为______． 15．已知定义在R 上函数()()sin A f x ωx φ=+（0ω>）振幅为2，满足212x x -=，且
()(
)21f x f x ==()0,102上()f x 零点个数最少为______．
16．牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设r 是函数()y f x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，过点()()
00,x f x 作曲线()y f x =的切线1l ，设1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，并称
1x 为r 的1次近似值；过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线2l ，设2l 与x 轴交点的横坐标
为2x ，称2x 为r 的2次近似值，过点()()
,n n x f x （n *
∈N ）作曲线()y f x =的切线1n l +，
记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值，设()322
x x x f =+-（0x ≥）的零点为r ，取00x =，则r 的2次近似值为______：设33
3222
n n n n x x a x +=+（n *
∈N ），数列{}n a 的前n 项积为n T ，．若任意（n *
∈N ），n T λ<恒成立，则整数λ的最小值为______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）
向量(2sin m x =，()cos ,cos2x x n =，已知函数()f x m n =⋅， （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；
（2）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满足
326A πf ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，且133sin sin B C +=，求b c +的值． 18．（12分）
青少年身体健康事关国家民族的未来，某校为了增强学生体质，在课后延时服务中增设800米跑活动，据统计，该校800米跑优秀率为3%．为试验某种训练方式，校方决定，从800米跑未达优秀的学生中选取10人进行训练，试验方案为：若这10人中至少有2人达到优秀，则认为该训练方式有效；否则，则认为该训练方式无效．
（1）如果训练结束后有5人800米跑达到优秀，校方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解训练的情况，记抽到800米跑达到优秀的人数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）如果该训练方式将该校800米跑优秀率提高到了50%，求通过试验该训练方式被认定无效的概率p ，并根据p 的值解释该试验方案的合理性．
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件） 19．（12分）
已知数列{}n a 中，19a =-，且
12
n a +是2与n a （n *
∈N ）的等差中项． （1）求数列{}
n a 的前n 项和n G ；
（2）设123n n T a a a a =⋅⋅⋅，判断数列{}n T 是否存在最大项和最小项？若存在求出，不存在说明理由． 20．（12分）
如图，在多面体ABCDE 中，四边形BCDE 是矩形，ADE △为等腰直角三角形，且
90ADE ∠=°，
1
22
AB AD ==，2BE =．
（1）求证：平面ADE ⊥平面ABE ；
（2）线段CD 上存在点P ，使得二面角P AE D --的大小为4
π
，试确定点P 的位置并证明． 21．（12分）
已知椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）经过点)
P
，且离心率为
2
．O ：222x y r +=的任意一切线l 与椭圆交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在O ，使得0OA OB ⋅=，若存在，求AOB △的面积S 的范围；不存在，请说明理由． 22．（12分） 已知函数()311ln 62x ax x f x a x ⎛
⎫=
+-+ ⎪⎝
⎭． （1）若0a ≥讨论()f x 的单调性；
（2）当1a ≥-时，讨论函数()f x 的极值点个数．
答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1-4ABBD
5-8CDDC
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．AC 10．ABD
11．AD 12．ABC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．12-
14．16 15．16 16．4
5
；2 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（1）()2sin cos 2sin 222sin 23πx x x x x x f x ⎛
⎫===+ ⎪⎝
⎭
所以()f x 的最小正周期为π，由3222232
πππk πx k π+
≤+≤+，k ∈Z 得
71212
ππk πx k π+
≤≤+，k ∈Z 得()f x 的单调递减区间是7,1212ππk πk π⎡
⎤
+
+⎢⎥⎣
⎦
（k ∈Z ）
； （2
）由2sin 22sin 26263A πA ππf A ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=-+==
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
又A 为锐角，所以3
π
A =
，
由正弦定理可得2sin a R A =
==
，sin sin 214b c B C R ++==，
则13b c +=
=． 18．（12分）
解：（1）X 的所有可能取值为0，1，2
()25210209C P X C ===，()1155210519C C P X C ===，()252102
29
C P X C ===
∴X 的分布列如下：
()0121999
E X =⨯+⨯+⨯=．
（2）该训练方式无效的情况有：10中1人800米跑达到优秀、10中0人800米跑达到优秀，
所以0
109
0110
101111110.015%22221024p C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=≈< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． 故可认为该训练方式无效事件是小概率事件，从而认为该训练方式有效，故该试验方案合理． 19．解析：（1）19a =-，由已知得12n n a a +=+，即12n n a a +-=， 故{}n a 是以9-为首项，公差为2的等差数列． 所以211n a n =-．
数列{}
n a 为9,7,5,3,1,1,3,5,,211n ⋅⋅⋅-，
5n ≤，()21
92
11102n G n n n n =
-+=-+， 5n >，()()()11
9151211522
n G n n =+⨯++--
2251025n n =+-+ 21050n n =-+
所以2210,5
1050,5
n n n n G n n n -+≤-+>⎧⎪=⎨⎪⎩．
（2）数列{}n a 为9,7,5,3,1,1,3,5,,211,n -----⋅⋅⋅-⋅⋅⋅． 所以数列{}n a 为递增数列，前5项为负数，第6项开始为正数，
又12n n T a a a =⋅⋅⋅，所以当5n ≥时，0n T <且数列{}n T 递减，故数列{}n T 不存在最小项． 又数列{}n T 中只有有限项正项，所以数列{}n T 中存在最大项，
()()()()49753945T =-⨯-⨯-⨯-=．
20．（1）证明：由已知，等腰直角三角形ADE △中2AD =，得2AE =， 又222BE AB ==，所以AE BE ⊥， 又DE BE ⊥，AE DE E ⋂=，
可得BE ⊥平面ADE ，又BE ⊂平面ABE ， 所以平面ADE ⊥平面ABE ．
（2）点P 为线段DC 的中点，使得二面角P AE D --为大小为
4
π
， 以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，过E 作平面ABE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，
则()0,0,0E ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，易得()1,0,1D ，
设(),,P x y z ，由DP λDC λEB ==，()0,1λ∈ 即()()1,,10,2,0x y z λ--=，得()1,2,1P λ． 设平面AEP 的一个法向量为()1111,,n x y z =，
则1100
EA n EP n ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=，即11112020x x λy z =++=⎧⎨⎩，
不妨设11y =，取()10,1,2n λ=-．平面ADE 的一个法向量为()20,1,0n = 因为二面角P AE D --的大小为
4
π
于是12cos cos ,4211πn n ===
⨯． 解得12λ=
或1
2
λ=-（舍去）． 所以当点P 为线段CD 的中点时，二面角P AE D --的大小为
4
π
． 21．解：（1）因为椭圆22
22:1x y C a b +=
（0a b >>）的离心率
2
e =，且过点)
P
．
所以22
2211
c a a b ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩解得2242a b ==⎧⎪⎨⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22
142
x y +=． （2）假设存在O ：222
x y r +=满足题意，
①切线方程l 的斜率存在时，设切线方程l ：y kx m =+与椭圆方程联立，
22
142
y kx m x y ⎧=++
=⎪⎨⎪⎩消去y 得，()222
214240k x kmx m +++-=（*） 设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意知，（*）有两解
所以()(
)(
)
2
2
2
Δ4421240km k m =-+->，即22
420k m -+>
对（*）应用根与系数的关系可得
122421km
x x k -+=+，21222421m x x k -=+
所以()()22
12122421
m k y y kx m kx m k -=++=+
因为0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=，即222
121222
24402121
m m k x x y y k k --+=+=++ 化简得223440m k --=，且2
43
m ≥
， O 到直线l
的距离d r ==
所以()2
22
243
1m r k ===+，又22r m ≤满足题意 所以存在圆的方程为O ：22
43
x y +=
． AOB △的面积1
2
s AB r =
，
又因为12AB x =-== （Ⅰ）0k ≠时
AB =≤当且仅当2
214k k =
即k =时取等号． 又因为2
0k >
，所以3AB >
，所以3
AB <≤ （Ⅱ）0k =
时，AB =
②斜率不存在时，直线与椭圆交于33⎛± ⎝⎭
两点或,33⎛-± ⎝⎭
两点．
易知在圆的方程为O ：2243x y +=且3
AB =．
AB ≤≤43s ⎡∈⎢⎣． 22．（1）解：定义域为()0,+∞，()211ln 22x a x f x =
+-' 令()()g x f x '=，()2a x a x x g x x
+'+== 因为0a ≥所以()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上为增函数，又因为()10f '=所以()0,1x ∈，()0f x '<，()1,x ∈+∞，()0f x '>，
所以()f x 的增区间为()1,+∞，()f x 的减区间为()0,1．
（2）①当0a ≥时，由（1）可知()f x 在()0,+∞上有唯一极小值()1f ，
所以极值点个数为1个．
②当10a -≤<时，则()20a x x x
g +'==，得x =
当(x ∈时，()0g x '<，)x ∈+∞时，()0g x '>，
所以()min 1ln 22
a g g x a ==-+-，
令()1ln 22a a h a =-+-，()()1ln 2h a a ='-． 因为10a -≤<，所以()0h a '<，即()h a 在()1,0a ∈-上单调递减，所以()()max 10h a h =-=
所以（ⅰ）当1a =-时，()()min 10g x h =-=，在()0,+∞上()0g x ≥恒成立，即()0f x '≥
在()0,+∞上恒成立，所以()f x 无极值点．
（ⅱ）当10a -<<时，01a <-<，()0h a <，即()min 0g x <
易知20a
e <<24241113ln 02222a a a a g e e a e e ⎛⎫=+-=+> ⎪⎝⎭
所以存在唯一20a x e ⎛∈ ⎝使得()00g x =，且当00x x <<时，()0g x >，当
0x x <<()0g x <，则()f x 在0x x =处取得极大值；
又()10g =，1x ≤<时，()0g x <，当1x >时，()0g x >，即()f x 在1x =处取得极小值；故此时极值点个数为2，
综上所述，
当1a =-时，()f x 的极值点个数为0；
当10a -<<时，()f x 的极值点个数为2；
当0a ≥时，()f x 的极值点个数为1．。