宁夏石嘴山市2018届高三数学上学期期中试题理

宁夏石嘴山市2018届高三数学上学期期中试题 理
第I 卷（选择题）
一、选择题
1．设{
}{}
2
|0,|2M x x x N x x =-<=<则( ). A 、M N =∅ B 、M N M = C 、M N M = D 、M N R =
2．复数
i i
++121（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．23 B ．3 C ． 2
1
D ．1
3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面（ ） A ．各三角形内一点 B ．各正三角形的中心 C ．各正三角形的某高线上的点 D ．各正三角形外的某点 4．把函数sin y x =的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图像向左平移
4
π个单位，这时对应于这个图像的解析式是 （ ）
A 、
cos 2y x = B 、sin 2y x =- C 、sin(2)4
y x π=- D 、sin(2)4
y x π=+
5．设n S 为等比数列{n a }的前n 项和，8052=+a a ,则
2
5
S S =( ) A.11 B .5 C. -8 D. -11
6．已知直线a ，b ，平面α，β，且a α⊥，b β⊂，则“a b ⊥”是“//αβ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．用数学归纳法证明“”时,由
的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为（ ）
A. B. C.
D.
8．一个体积为38的正三棱柱的三视图如图所示, 则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）
A. 34
B.4
C. 36
D. 6
9．函数[]ππ,,sin -∈=x e y x 的大致图象为（ ）
10．若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域，当a 从1-连续变化到1时，动直线
x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为（ ）
A.
32 B.74 C.7
2
D.2 11．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，则直线PB 与直线AC 所成角的大小为（ ） A ．
6π B ．4π C ．3π D ．2
π
12．函数()()
()32
23100ax
x x x f x e x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩
在[﹣2，3]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是（ ）
C. (],0-∞
第II 卷（非选择题）
二、填空题
13．已知 12,e e 是夹角为 60的两个单位向量，若向量 1232a e e =+，则a =________． 14．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2ax+a ≤0．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ．
15．已知正实数,x y 满足1xy =，则x y y x y x
⎛⎫⎛⎫
++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为 ________．
16．在区间［0，1］上给定曲线
，如图所示，若使图中的阴影部分的面积
与
之
和最小，则此区间内的t= 。

三、解答题
17．（本题满分12分）已知函数()0,03sin )(>>⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=ωπωA x A x f 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛23,3
π （1）求函数()x f 的解析式； （2）若角α满足()()παπαα,0,123∈=⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
+f f ，求角α的值． 18．（本题满分12分）已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边． （1）若△ABC
c ＝2，A ＝60º，求a ，b 的值； （2）若acosA ＝bcosB ，试判断△ABC 的形状，证明你的结论．
19．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n n nb S =，其中{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若)
32(1
+=
n n n b a c ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
20．（本题满分12分）如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥
（Ⅰ）证明：平面1
ABC ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11AC 上的点，且1//A B 平面1B CD ，求11:A D DC 的值. 21．（本题满分12分）已知函数()()ln f x x ax a R =-∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）记函数()f x 的两个零点分别为12,x x ，且12x x <.已知0λ>，若不等式
121ln ln x x λλ+<+恒成立，求λ的取值范围.
22．（本题满分10分）已知直线的参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 22122
(t 为参数)，以坐标原点为
极点，
轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C
的极坐标方程为
（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程； （2）设圆C 与直线 交于A 、B 两点，若点P 的直角坐标为，求
的值．
参考答案
1．B 2．C 3．B 4．A 5．D 6．B 7．D 8．A 9．A 10．A 11．C 12．D
13． 14．（0，1） 15．4 16．
17．（本题满分12分）
18．（本题满分12分）
解：（1）由已知得＝bcsinA＝bsin60º，∴b＝1．
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，∴a＝． (6)
（2）由正弦定理得2RsinA＝a，2RsinB＝b，
∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB，即sin2A＝sin2B，由已知A、B为三角形内角，
∴A＋B＝90º或A＝B．∴△ABC为直角三角形或等腰三角形． (12)
19（本题满分12分）
(6)
（II）由（Ⅰ）得
∴
(12)
20．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）因为侧面是菱形，所以
又已知
所又平面，又平面，
所以平面平面 (6)
（Ⅱ）设交于点，连结，
则是平面与平面的交线，
因为平面，所以.
又是的中点，所以为的中点. 即 (12)
21．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意，函数的定义域为，
，
当时，恒成立，故函数在上单调递增；
当时，令，得；令，得；
故函数在上单调递增；在上单调递减， (4)
（Ⅱ）由（I）可知分别为方程的两个根，即，，所以原式等价于.
因为，，所以原式等价于，
又由，作差得，，即.
所以原式等价于.
因为，原式恒成立，即恒成立.
令，则不等式在上恒成立.
令，则，
当时，可见时，，所以在上单调递增，又
在恒成立，符合题意；
当时，可见当时，；当时，，
所以在时单调递增，在时单调递减.
又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去.
综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以. 22．（本题满分10分）
解：（1）∵直线l的参数方程是（是参数），∴．
即直线的普通方程为．。