高考数学压轴专题《等差数列》难题汇编doc

一、等差数列选择题
1．在数列{}n a 中，129a =-，()
*
13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a ++
+=（ ）
A ．10
B ．145
C ．300
D ．320
2．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21
2
，则该数列的项数是（ ） A ．8
B ．4
C ．12
D ．16
3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7
B ．12
C ．14
D ．21
4．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72
B ．90
C ．36
D ．45
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足
122527
n n
a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）
A ．6-
B ．2-
C ．1-
D ．0
6．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4
D ．-4
7．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n -
B ．
3
22
n - C ．
3122
n - D ．
31
22
n + 8．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7
B ．10
C ．13
D ．169．题目文件
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10．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸
D ．二丈二尺五寸
11．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ∀∈都有333
122n n n a a a ++=+，则10a 等于
（ ）
A ．10 B
C ．64
D ．4
12．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,
n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则
n a =（ ）
A ．21n -
B ．43n -
C ．54n -
D ．n
13．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列
{}n a ，已知11a =，2
2a
=，且满足()211+-=+-n
n n a a （n *∈N ），则该医院30天入
院治疗流感的共有（ ）人
A ．225
B ．255
C ．365
D ．465
14．已知数列{}n a 满足25111,,25
a a a ==且
*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
15．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）
A ．7
B ．9
C ．21
D ．42
16．在数列{}n a 中，11a =，且11n
n n
a a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．
21
1n n -+
B ．2
1
2
n n -+
C ．2
2
1
n n -+
D ．2
2
2
n n -+
17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（ ） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S >
D ．70S <，且80S <
18．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
19．已知数列{}n a 的前n 项和()2
*
n S n n N =∈，则{}n
a 的通项公式为（ ）
A ．2n a n =
B ．21n a n =-
C ．32n a n =-
D ．1,1
2,2n n a n n =⎧=⎨
≥⎩
20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60
B ．120
C ．160
D ．240
二、多选题
21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小
B ．130S =
C ．49S S =
D ．70a =22．题目
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23．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =
C ．135********a a a a a +++
+=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a +++= 24．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，66771
1,
01
a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<
B ．681a a >
C ．n S 的最大值为7S
D ．n T 的最大值为6T
25．已知数列{}2n
n
a n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6
D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列
26．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减
D ．数列{}n S 有最大值
27．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-
B ．310n
a n
C ．2
28n S n n =- D ．2
4n S n n =-
28．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310
S S =
D ．当8n ≥时，0n a <
29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）
A ．2
n S n =
B ．2
23n S n n =-
C ．21n a n =-
D ．35n a n =-
30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =
D ．15S 是最大值
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一、等差数列选择题 1．C 【分析】
由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。

【详解】
因为129a =-，()
*
13n n a a n N +=+∈，
所以数列{}n a 是以29-为首项，公差为3的等差数列， 所以()11332n a a n d n =+-=-，
所以当10n ≤时，0n a <；当11n ≥时，0n a >； 所以()()12201210111220a a a a a a a a a ++
+=-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
1101120292128
101010103002222a a a a ++--+=-
⨯+⨯=-⨯+⨯=. 故选：C. 2．A 【分析】 设项数为2n ，由题意可得()21
212
n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】
设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大
212
， ()212121;2
n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，
30246S S nd ∴-=-==奇偶②．
由①②，可得3
2
d =，4n =， 即项数是8， 故选：A. 3．C 【分析】
判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S .
【详解】
∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()
1422
a a a a S ++===. 故选：C 4．B 【分析】
由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2
444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】
由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，
∴2
444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，
∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，
∴99(229)
902
S ⨯+⨯=
=，
故选：B 【点睛】
思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2
k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()
2
n n n a a S +=的应用. 5．A 【分析】 转化条件为
122527
n n a a
n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.
【详解】 因为122527
n n a a n n +-=--，所以122527n n
a a n n +-
=--， 又
1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以
()1212327
n
a n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得
3722
n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0，
所以()
()()3123min
13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.
故选：A. 【点睛】
解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 6．A 【详解】 由()()184588848162
2
2
a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.
7．C 【分析】
根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】
因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为313
22
a a d -=
=， 因此通项公式为()331
11222
n a n n =+-=-. 故选：C. 8．C 【分析】
由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
141,16a S ==，
41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.
故选：C
9．无
10．D 【分析】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为
985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差
数列性质求得后5项和．
【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()
19959985.52
a a S a +=
==（尺），所以59.5a =（尺），由题知
1474331.5a a a a ++==（尺），
所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 11．D 【分析】
利用等差中项法可知，数列{}
3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}
3
n a 的公
差，可求得3
10a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】
对*n N ∀∈都有3
3
3
122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}
3
n a 为等差数列，
由于11a =，22a =，则数列{}
3n a 的公差为33
217d a a =-=，
所以，33
101919764a a d =+=+⨯=，因此，104a .
故选：D. 12．A 【分析】
由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案． 【详解】
11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,
令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-
令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2
311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，
与已知矛盾，故解得31a t =+
{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =
则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 13．B 【分析】
直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和 【详解】
解：当n 为奇数时，2n n a a +=， 当n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，
2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以30132924301514
()()1515222552
S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=， 故选：B 14．B 【分析】
由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1n n a ，进
而可得1
n a n
=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】
因为*
121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12
211n n n a a a ++=+， 所以数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列，设其公差为d ， 由25111,25
a a a ==可得
25112,115a a a ==⋅， 所以11
11
2
1145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111
a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以
()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n
=，
所以不等式100n n a a +≥即100
n a n
+≥对任意的*n N ∈恒成立，
又10020n n +
≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 15．C 【分析】
利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即
可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则()
1212121632
a a S +=
=， 所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =， 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a +++
+=++++++
111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，
故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，
()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a +++
+=++++++=即可求解.
16．D 【分析】
先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出212
2
n n n a -+=，进而求出n a .
【详解】 解：11n
n n
a a na +=
+， ()11n n n a na a ++=∴，
化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：
111
n n
n a a +-=， 即21
11
1a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：
213243111111+a a a a a a --+-+ (111)
123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)
2
n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222
n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又
1
1
1a =也满足上式，
212()2
n n n n z a -+∴=∈， 22
()2
n a n z n n ∴=
∈-+.
故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 17．A 【分析】
根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】
依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=
>
()()1881884
02
a a S a a +⋅=
=+<
故选：A . 18．B 【分析】
由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得
10a .
【详解】
()122n n a a n --=≥，且11a =，
∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
通项公式为()12121n a n n =+-=-，
10210119a ∴=⨯-=，
故选：B. 19．B 【分析】
利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】
2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，
当1n =时，111a S ==，上式也成立，
()
*21n a n n N ∴=-∈，
故选：B. 【点睛】
易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即
11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结
果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 20．B 【分析】
根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()
11515815152
a a S a +==，从而可得出结果.
【详解】
解：由题可知，2938a a a +=+，
由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，
故()1158
158151521515812022
a a a S a +⨯=
===⨯=. 故选：B.
二、多选题
21．BCD 【分析】
由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】
设等差数列数列{}n a 的公差为d .
由13522,a a S +=有()111254
2252
a a a d d ⨯+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确.
选项A. ()71176
773212S a d a d d ⨯=+
=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 1
13
137131302
a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件
13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,
22．无
23．ABD 【分析】
根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，
342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正
确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2
33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，
，2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，
累加可知D 正确. 【详解】
依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，
312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以
712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；
由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，
可得
13572019a a a a a ++++
+=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，
故C 不正确；
2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2
33423423()a a a a a a a a =-=-，
244534534()a a a a a a a a =-=-，，2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，
所以
2222
2
12342019
a a a a a ++++
+122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，
所以
222
122019
20202019
a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题. 24．AD 【分析】
分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项.
①671,1a a >>, 与题设
671
01
a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设
671
01
a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.
得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .
∴B ，C ，错误.
故选：AD. 【点睛】
考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1
*
1n n a a q n N -=∈.
25．ACD 【分析】
利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为
1
112a =+，1(1)2
n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得1
5
d =-. 故选ACD 26．ABD 【分析】
由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】
根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；
由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD. 27．AD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得11
45
460a d a d +=⎧⎨
+=⎩，进而得13,2a d =-=，故
25n a n =-，24n S n n =-.
【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==
所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：11
45
460a d a d +=⎧⎨+=⎩，
解方程组得：13,2a d =-=，
所以()31225n a n n =-+-⨯=-，2
4n S n n =-.
故选：AD. 28．AD 【分析】
由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】
由已知得：780,0a a ><,
结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，
310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,
这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系. 29．AC 【分析】
利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ． 【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，
∴31413239237
S a d a a d ⨯⎧
=+
=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，
1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．
()21212
n n n S n +-=
=
故选：AC ．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 30．CD 【分析】
根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案； 【详解】
1118S S =，∴0d <，
设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2
y Ax Bx =+上，
抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，
∴1514S S =且为n S 的最大值，
1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，
∴129291529()
2902
a a S a +=
==， 故选：CD. 【点睛】
本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。