高中数学人教A版选修2-1第一学期高二数学期终答案.docx

第一学期高二数学期终答案
（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）
一、填空题：本大题共12题，满分36分。

请在横线上方填写最终的、最准确的、最完整的结果。

每题填
写正确得3分，否则一律得0分。

1、 过点(23)A ，，且垂直于OA 的直线方程为_______________。

解：一个法向量(23)n =r
，，所以方程为2(2)3(3)0x y -+-=，即23130x y +-=。

▋
2、 直线l 的一个法向量(cos 1)n θ=r
，（θ∈R ），则直线l 倾角α的取值范围是_______。

解：tan cos [11]αθ=∈-，，所以倾角α的取值范围是3[0][)44
ππ
πU ，，。

▋
3、 已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是
____________。

解：
342(3)(5)02(3)2
k k
k k k --=--=--，所以3k =或5k =。

当3k =时，二直线分别为1l ：10y +=，2l ：230y -=，平行；
当5k =时，二直线分别为1l ：210x y -+=，2l ：4230x y -+=，平行。

▋
4、 直线l 的一个方向向量(12)d =u r
，，则l 与0x y -=的夹角大小为__________。

（用反三角
函数表示）
解：1(11)d =u u r ，，所以夹角θ满足12310cos 1052
θ+==⋅，所以夹角为310
arccos 10。

▋
5、 已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程
为________________________。

解：22(1)(1)2x y -++=。

▋
6、 等轴双曲线C 与椭圆22
1106
x y +=有公共的焦点，则双曲线C 的方程为____________。

解：椭圆的焦点坐标为1(20)F -，，2(20)F ，。

由2
2
2
24a a +==，所以2
2a =。

所以，双曲线C 的方程为22
122
x y -=。

▋
7、 有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2
点，水位下降了1米，桥下的水面宽_________米。

解：设抛物线方程为22x py =-，其过点(22)-，，
所以1p =，22x y =-，当3y =-时，6x =±，所以桥下的水面宽26米。

▋
8、 直线1l ：31y x =-绕原点逆时针旋转90o 的直线2l ，则1l 与2l 的交点坐标为_______。

解：2l ：1(1)3y x =--，与31y x =-联立，解得交点为21
()55，。

▋
9、 已知方程2222(2)(2)(22)340ax a y a x a y a +-+++-++=表示圆，则a =___________。

解：令22a a =-，解得1a =-或2a =。

（1）当1a =-时，方程化为2210x y x +--=，方程表示圆；
（2）当2a =时，方程化为222350x y x y ++++=，判别式2223450+-⋅<，方程不表示圆。

所以1a =-。

▋
10、 已知过抛物线C ：22y px =（0p >）焦点F 的直线l 和y 轴正半轴交于点A ，并且l 与C
在第一象限内的交点M 恰好为A 、F 的中点，则直线的斜率k =_____________。

解：22y px =的焦点为(0)2p F ，，设(0)A a ，（0a >），所以()42p a
M ，，
将()42p a
M ，代入22y px =，得2a p =，
所以直线的斜率022202
a a
k p p -=
=-=--。

▋
11、 （2009上海市秋季高考文科第12题）
已知1F 、2F 是椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且
120PF PF ⋅=u u u r u u u u r。

若12PF F ∆的面积为9，则b =_________。

解：有121222212||||2||||18||||4PF PF a PF PF PF PF c
⎧+=⎪
⋅=⎨⎪+=⎩，可得224364c a +=，即229a c -=，故有3b =。

▋
12、 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为切点，那么PA PB ⋅u u u r u u u r
的最小值
为_____________。

解：设PA PB x ==（0x >），APO α∠=，则2APB α∠=， 所以21PO x =+，2
1sin 1x
α=
+，
||||cos 2PA PB PA PB α⋅=⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2222
2(1)(12sin )1
x x x x α-=⋅-=+
令21x t +=，所以1t ≥，所以(1)(2)2
3322t t PA PB t t t
--⋅==+--+u u u r u u u r ≥，
当且仅当2
t t
=
，即2t =，即21x =±-时等号成立。

所以PA PB ⋅u u u r u u u r
的最小值为322-+。

▋
二、选择题：本大题共4题，满分16分。

请选择你认为最正确的答案（每小题有且只有一个）写在括号内。

每题填写正确得4分，否则得0分。

13、 （2009海南宁夏秋季高考文科第5题）
已知圆1C ：22(1)(1)1x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为
(
)
(A) 22(2)(2)1x y ++-= (B) 22(2)(2)1x y -++= (C) 22(2)(2)1x y +++=
(D) 22(2)(2)1x y -+-=
解：设圆2C 的圆心为()a b ，，则依题意，有11
1022
111a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩
，解得：22a b =⎧⎨=-⎩，
对称圆的半径不变，为1，故选(B)。

▋
14、 （2010湖北省秋季高考理科第9题、文科第9题）
若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是 ( )
(A) [1
122]-+， (B) [122122]-+，
(C) [1223]-，
(D) [123]-，
解：曲线方程可化简为22(2)(3)4x y -+-=（13y ≤≤），即表示圆心为(23)，，半径为2的半圆。

依据数形结合，直线y x b =+与此半圆相切，即圆心(23)，到直线y x b =+距离等于2，解得122b =+（舍）或122b =-。

当直线过(03)，时，解得3b =，故1223b -≤≤，所以选(C)。

▋
15、 给出下列3个命题：①在平面内，若动点M 到1(1
0)F -，、2(10)F ，两点的距离之和等于2，则动点M 的轨迹是椭圆；②在平面内，给出点1(50)F -，、2(50)F ，，若动点P 满足12||||8PF PF -=，则动点P 的轨迹是双曲线；③在平面内，若动点Q 到点(10)A ，和到
直线220x y --=的距离相等，则动点Q 的轨迹是抛物线。

其中正确的命题有( )
(A) 0个
(B) 1个
(C) 2个
(D) 3个
解：选(A)。

▋
16、 已知直线l ：y =k (x +2)（k >0）与抛物线C ：28y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若
||2||FA FB =，则k =
( )
(A)
13
(B)
23
(C)
23
(D)
22
3
解：设抛物线C ：28y x =的准线为2x =-，直线y =k (x +2)（k >0）恒过定点(20)P -，。

如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，
由|FA |=2|FB |，则|AM |=2|BN |，点B 为AP 的中点。

连结OB ，则1
||||2
OB AF =
，
∴|OB |=|BF |， 点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为(1，22)，∴22022
1(2)3
k -==--，∴选(D)。

▋
三、解答题：本大题共5题，满分48分。

请在题后空处写出必要的推理计算过程。

17、 （本题满分8分）
已知直线l ：320x y +-=与x 轴交于点A ；以O 为圆心，过A 的圆记为圆O 。

求圆O 截l 所得弦AB 的长。

解：在320x y +-=中，令0y =，得(20)A ，，所以圆C 的半径2r =， ……2分 圆心O 到直线l 的距离|002|113
d +-=
=+。

……3分 所以弦长22||22123AB =-=。

▋
……3分
18、 （本题满分8分）
已知双曲线C 关于两条坐标轴都对称，且过点(21)P ，，直线1PA 与2PA （1A ，2A 为双曲线C 的两个顶点）的斜率之积121PA PA k k ⋅=，求双曲线C 的标准方程。

解：（1）当双曲线的焦点位于x 轴上时，设C ：22
221x y a b
-=，
所以1(0)A a -，，2(0)A a ，，122111
1224PA PA k k a a a ⋅=⋅==+--，
解得23a =。

……2分 将23a =，(21)P ，代入双曲线方程，得
241
13b
-=，解得23b =。

……2分
所以双曲线C 的标准方程为22
133
x y -=。

……2分
（2）当双曲线的焦点位于y 轴上时，设C ：22
221y x a b -=，
所以1(0)A a -，，2(0)A a ，，122224
1111PA PA k k a a a ⋅=⋅==+--，
解得23a =-（舍去）。

……2分
综上，所求双曲线C 的标准方程为22133x y -=。

▋
19、 （本题满分10分）
过点(42)P ，作直线l 交x 轴于A 点、交y 轴于B 点，且P 位于AB 两点之间。

（Ⅰ）3AP PB =u u u r u u u r
，求直线l 的方程；
（Ⅱ）求当AP PB ⋅u u u r u u u r
取得最小值时直线l 的方程。

解：显然直线l 的斜率k 存在且0k ≠，
设l ：(4)2y k x =-+，得2
(40)A k -，，(024)B k -，。

……2分
因为P 位于AB 两点之间，所以2
44k
-
>且242k ->，所以0k <。

2
(2)AP k =u u u r ，，(44)PB k =--u u u r ，。

……2分
（Ⅰ）3AP PB =u u u r u u u r ，所以23(4)k =⋅-，所以1
6
k =-。

直线l 的方程为6160x y +-=。

……3分
（Ⅱ）18(()())16AP PB k k ⋅=-+-u u u r u u u r ≥，当1
k k
-=-即1k =-时，等号成立。

所以当AP PB ⋅u u u r u u u r
取得最小值时直线l 的方程为60x y +-=。

▋ ……3分 20、 （本题满分10分）
已知曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1，0)的距离减去它到y 轴距离的差是1。

（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点K (-1，0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D 。

证明：点F 在直线BD 上；
解：（Ⅰ）根据题意知，C 上每一点到点F (1，0)的距离等于它到直线1x =-的距离。

所以，曲线C 上每一点在开口向右的抛物线上，
……2分
其中2p =，所以抛物线方程为24y x =。

又因为曲线C 在y 轴的右边，所以，曲线C 的方程为24y x =（0x >）。

……2分 （Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴D (x 1，-y 1)，l 的方程为1x my =-（m ≠0）。

将1x my =-代人24y x =，整理得2440y my -+=， ∴从而124y y m +=，124y y =。

……2分
直线BD 的方程为212221
()
()y y y y x x x x ---=
⋅--，
即222214
()4
y y y x y y -=
⋅--， ……2分
令y =0，得12
14
y y x ==，所以点F (1，0)在直线BD 上。

▋ ……2分
21、 （本题满分12分）
已知1m >，直线l ：202m x my --=，椭圆C ：2
221x y m +=，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、
右焦点。

（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点。

（ⅰ）求线段AB 长度的最大值；
（ⅱ）12AF F V ，12BF F V 的重心分别为G ，H 。

若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围。

解：（Ⅰ）因为直线l ：2
02m x my --=经过22(10)F m -，，
所以2
2
12
m m -=，得22m =，
又因为1m >，所以2m =，故直线l 的方程为210x y --=。

……4分
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。

由222221m x my x y m
⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得22
2104m y my ++-=，
则由2
2
28(1)804
m m m ∆=--=-+>，知28m <，
且有122
m
y y +=-，212182m y y ⋅=-。

……2分
（ⅰ）222212121212||()()(1)(()4)AB x x y y m y y y y =-+-=++-
22
22222111817
(1)(()4())(1)(8)()2822242
m m m m m m =+--⋅-=+-=-- ……2分
所以，当272m =
时，max 9
||4
AB =。

……1分
（ⅱ）由于1(0)F c -，，2(0)F c ，，可知11()33x y G ，，22()33
x y
H ，，
因为原点O 在以线段GH 为直径的圆内，所以0OH OG ⋅<u u u u r u u u r
，即12120x x y y +<， 所以2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++22
1(1()082
m m =+-<），
……2分
解得24m <（符合28m <）又因为1m >，所以m 的取值范围是(12)，。

▋……1分。