(福建专用)2013年高考数学总复习 (教材回扣夯实双基 考点突破 瞭望高考)第五章第5课时 数列的

(2)因为bn＝an＋(－1)nln an ＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3] ＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－ 1)nnln 3，8分
所以 Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－ 1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3 ＋…＋(－1)nn]ln 3. 所以当 n 为偶数时,Sn＝2×11－－33n＋n2ln 3
∴aan－n 1＝a2 为常数， ∴{an}成等比数列．
(2)bn＝a2n＋2(2n＋2)， 当 a＝ 2时， bn＝2n＋1(2n＋2)＝2n(4n＋4)， 利用错位相减法可求 Sn＝n·2n＋3.
【名师点评】 数列与函数的综合问 题主要有以下两类：(1)已知函数，解 决数列问题，此类问题一般利用函数 的性质，图象研究数列问题；(2)已知 数列条件，解决函数问题．解决此类 问题一般要充分利用数列的范围、公 式、求和方法、对式子化简变形．
∴Sn＝12[(4n＋3)·3n＋1－9]．
【名师点评】 {an·bn}(一个是等比数 列，一个是等差数列)求和是典型的错 位相减法求和，解题时注意应用，同 时注意公比q的情况．
数列的实际应用问题
解数列应用题，要充分运用观察、归 纳、猜想等手段，建立等差数列、等 比数列、递推数列等模型．(比较典型 的问题是存款的利息计算问题，通常 的储蓄问题与等差数列有关，而复利 计算则与等比数列有关．)
5.(2012·厦门质检)若f(n)为n2＋1(n∈N*) 的各位数字之和, 如:62＋1＝37,f(6)＝3＋7＝10. f1(n)＝f(n),f2(n)＝f(f1(n)),… fk＋1(n)＝f(fk(n)),k∈N*, 则f2015(4)＝________. 答案：8
考点探究讲练互动
考点突破 等差、等比数列的 综合问题
预测2013年福建高考，等差数列与等 比数列的交汇、数列与解析几何、不 等式的交汇仍将是高考的主要考点， 重点考查运算能力和逻辑推理能力．
规范解答
例 (本题满分12分)(2011·高考山东 卷)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是 下表第一、二、三行中的某一个数， 且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表 的同一列.
方法感悟
方法技巧 1.深刻理解等差(比)数列的性质,熟悉 它们的推导过程是解题的关键.两类数 列性质既有相似之处,又有区别,要在应 用中加强记忆.同时,用好性质也会降低 解题的运算量,从而减少差错.
2．在等差数列与等比数列中，经常要 根据条件列方程(组)求解，在解方程 组时，仔细体会两种情形中解方程组 的方法的不同之处．
第 1 年旅游业收入为 400 万元，第 2 年 旅游业收入为 400×(1＋14)万元，…，第 n 年旅游业收入为 400×(1＋14)n－1 万元， 所以，n 年内的旅游业总收入为 bn＝400＋400×(1＋14)＋…＋400×(1＋ 14)n－1＝1600×[(54)n－1]．
(2)设至少经过 n 年，旅游业的总收入才 能超过总投入，由此 bn－an>0，即 1600×[(54)n－1]－4000×[1－(45)n]>0， 令 x＝(45)n，代入上式得 5x2－7x＋2>0， 解此不等式，得 x<25，或 x>1(舍去)，
∴bn＝3×3n－1＝3n(n∈N*)．
(2)由cn＝an·bn＝(4n＋5)·3n， ∴Sn＝9·3＋13·32＋17·33＋…＋(4n＋ 5)·3n.① 两边同乘以3得： 3Sn＝9·32＋13·33＋17·34＋…＋(4n＋ 1)·3n＋(4n＋5)·3n＋1.②
①－②得： －2Sn＝9·3＋4·32＋4·33＋…＋4·3n－(4n ＋5)·3n＋1 ＝27＋4·3211－－33n－1－(4n＋5)·3n＋1 ＝27＋2·3n＋1－18－(4n＋5)·3n＋1，
【思路分析】 写出各年度的 求和得 解不等式 投入与收入 → an和bn → bn>an
【解】 (1)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1－15)万元,…,第 n 年投 入为 800×(1－15)n－1 万元,所以,n 年内的 总投入为
an＝800＋800×(1－15)＋…＋800×(1－ 15)n－1＝4000×[1－(45)n]．
公式cn＝( )
A．3n＋4
B．6n＋2
C．6n＋4
D．2n＋2
答案：C
2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌
在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时
将自身分裂为2个，现在有一个这样的
细菌和100个这样的病毒，问细菌将病
毒全部杀死至少需要( )
A．6秒钟
B．7秒钟
C．8秒钟
D．9秒钟
答案：B
3．已知函数 f(x)＝2x－3 11，其对称中心
【思路分析】 (1)以函数知识为背景， 先求f(an)＝logaan，再由等差数列的通 项公式得logaan＝4＋(n－1)×2＝2n＋ 2，解得an＝a2n＋2，最后用等比数列的 定义证明．
(2)用错位相减法求和．
【解】 (1)证明：由题意 f(an)＝4＋(n －1)·2＝2n＋2， ∴logaan＝2n＋2， ∴an＝a2n＋2.
是(121，0)，若 an＝2n－3 11(n∈N*)，记数
列{an}的前 n 项和为 Sn，则使 Sn>0 的 n 的最小值为( )
A．10
B．11
C．12
D．13
答案：B
4．某种产品三次调价，单价由原来的 每克512元降到216元，则这种产品平 均每次降价的百分率为________． 题及以函数为背景的数列的 综合问题体现了在知识交汇点上命题的 特点，该类综合题的知识综合性强，能 很好地考查逻辑推理能力和运算求解能 力，因而一直为高考命题者的首选．
例3 (2012·华南师大附中月考)已知 f(x) ＝logax(a＞0 且 a≠1)，设 f(a1)，f(a2)，…， f(an)(n∈N*)是首项为 4，公差为 2 的等 差数列． (1)设 a 为常数，求证：{an}成等比数列； (2)若 bn＝anf(an)，{bn}的前 n 项和是 Sn， 当 a＝ 2时，求 Sn.
第5课时 数列的综合应用
教材回扣夯实双基
基础梳理 1．解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解 题意．
(2)__建__模____——将已知条件翻译成数 学(数列)语言,将实际问题转化成数学 问题,弄清该数列的特征、要求是什么. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)__还__原____——将所求结果还原到原 实际问题中.
2．数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是 一个固定量时，该模型是等差模型， 增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个 量的比是一个固定的数时，该模型是 等比模型，这个固定的数就是公比．
思考探究 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模 型？ 提示:单利公式——设本金为a元,每期利 率为r,存期为n,则本利和an＝a(1＋rn), 属于等差模型.复利公式——设本金为a 元,每期利率为r,存期为n,则本利和an＝ a(1＋r)n,属于等比模型.
失误防范 1.数列的应用还包括实际问题,要学会 建模,对应哪一类数列,进而求解． 2.在有些情况下,证明数列的不等式要 用到放缩法.
考向瞭望把脉高考
命题预测 从近几年的高考试题来看，等差数列 与等比数列交汇、数列与解析几何、 不等式交汇是考查的热点，题型以解 答题为主，难度偏高，主要考查学生 分析问题和解决问题的能力．
【解】 (1)由题意知：对数列{an}，
aA24＋＝a640＝34 ⇒aa21＋ ＋aa43＝ ＝3246
① ②，
∴①－②可得：2d＝8，
∴d＝4，a1＝9，
∴an＝4n＋5(n∈N*)．
由题意知：对数列{bn}，Bb24＋＝b142＝0 90 ，
∴bb12＋ ＋bb34＝ ＝3900
③ ④，
④÷③可得：q＝3，则 b1＝3，
(1)等差数列与等比数列相结合的综合 问题是高考考查的重点,特别是等差、 等比数列的通项公式，前n项和公式以 及等差中项、等比中项问题是历年命 题的热点．
(2)利用等比数列前n项和公式时注意 公比q的取值.同时对两种数列的性质, 要熟悉它们的推导过程，利用好性质, 可降低题目的难度，解题时有时还需 利用条件联立方程求解．
(3)递推数列模型：如果题目中给出的 前后两项之间的关系不固定，随项的 变化而变化时，应考虑是an与an＋1之 间的递推关系，还是前n项和Sn与前n ＋1项和Sn＋1之间的递推关系．
课前热身
1．已知{an}，{bn}均为等差数列，且a2
＝8，a6＝16，b2＝4，b6＝a6, 则由{an}，
{bn}的公共项组成的新数列{cn}的通项
即(45)n<25，由此得 n≥5. ∴至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超 过总投入．
【误区警示】 (1)容易把这里的an与 bn看作数列的通项处理；
(2)解不等式 2×(54)n＋5×(45)n－7>0 时， 不会换元转化；
(3)求出(45)n<25后，不会用估算法求出 n 的最小值．
数列与函数、解析几何、 不等式的综合应用
第一列 第二列 第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
第三行
9
4
14
8
18
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解】 (1)当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时， 符合题意；
当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2,a2＝6,a3＝18.所以公比q＝3. 故an＝2·3n－1.4分
＝3n＋n2ln 3－1；
当 n 为奇数时，Sn＝2×11－－33n－(ln 2－ln 3)＋n－2 1－nln 3＝3n－n－2 1ln 3－ln 2 －1.10 分
综上所述，Sn＝
3n＋n2ln 3－1，
n为偶数，
3n－n－2 1ln 3－ln 2－1， n为奇数.
12 分
【名师点评】 本题设计新颖,考查数 列的本质,研究数的变化规律,第一问 考生要有分析解决问题能力,分类讨论 思想,第二问要熟悉求和方法.
例1 已知等差数列{an}的前四项的和 A4＝60,第二项与第四项的和为34,等比 数列{bn}的前四项的和B4＝120,第二项 与第四项的和为90.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式； (2)设cn＝an·bn,且{cn}的前n项和为Sn, 求Sn.
【思路分析】 (1)由已知设出公差 与公比联立方程求解． (2)利用错位相减法求解．
3.数列的渗透力很强，它和函数、方 程、三角形、不等式等知识相互联系, 优化组合,无形中加大了综合的力度.
解决此类题目，必须对蕴藏在数列概 念和方法中的数学思想有所了解，深 刻领悟它在解题中的重大作用,常用的 数学思想方法有：“函数与方程”、 “数形结合”、“分类讨论”、“等 价转换”等．
4．在现实生活中，人口的增长、产量 的增加、成本的降低、存贷款利息的 计算、分期付款等问题，都可以利用 数列来解决，因此要会在实际问题中 抽象出数学模型，并用它解决实际问 题．
例2 从社会效益和经济效益出发，某地 投入资金进行生态环境建设，并以此发展 旅游产业，根据规划，本年度投入 800 万 元，以后每年投入将比上年减少15，本年 度当地旅游业收入估计为 400 万元，由于 该项建设对旅游业的促进作用，预计今后 的旅游业收入每年会比上年增加14.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为 an万元，旅游业总收入为bn万元，写 出an，bn的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才 能超过总投入？