甘肃省兰州市第一中学2020届高三9月月考数学(理)试题 Word版含解析(1)

兰州一中2019-2020-1学期高三9月月考试题
数 学（理）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．
.） 1.已知集合A ＝{x|y ＝lg(x －2x )}，B ＝{x|2x －cx<0，c>0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A. (0,1] B. [1，＋∞) C. (01) D. (1，＋∞)
【答案】B 【解析】 【分析】
A 集合用对数的真数的定义即可求出范围，
B 集合化简后含有参数，所以，画出数轴，用数轴表示A ⊆B ，即可求出c 的取值范围.
【详解】解法1：A ＝{x|y ＝lg(x －2x )}＝{x|x －2x >0}＝{x|0<x<1}，B ＝{x|2x －cx<0，c>0}＝{x|0<x<c}，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c≥1.
解法2：因为A ＝{x|y ＝lg(x －2x )}＝{x|x －2x >0}＝{x|0<x<1}，取c ＝1，则B ＝{x|0<x<1}，所以A ⊆B 成立，故可排除C ，D ；取c ＝2，则B ＝{x|0<x<2} ，所以A ⊆B 成立，故可排除A ，故选B.
【点睛】本题考查集合关系求参数范围的题目，这类题目采用数形结合的方法，通过数轴来表示集合间的关系来求解，属于中等题.
2.若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为（ ） A. 4
5
i - B. 45
-
C.
45
D.
45
i 【答案】C 【解析】
分析:由复数的模长公式计算出等式右边，再把复数变形，利用复数代数形式的乘除运算计算出z ，进而得到虚部。

详解：由题意得，()()()534534z 34343455
i i i i i +=
==+--+ 所以z 的虚部为45
. 故本题答案为
45
点睛：本题主要考查复数的概念，复数的模长公式以及复数代数形式的四则运算，属于基础题。

3.已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点
(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）
A. 2
B. 42
C. 6
D. 210
【答案】C 【解析】
试题分析：直线
l
过圆心
，所以1a =-，所以切线长
2(4)14(4)216AB =-+-⨯-++=，选C.
考点：切线长
【此处有视频，请去附件查看】
4.如图所示，在斜三棱柱111ABC A B C -的底面ABC ∆中，90A ∠=o ，且1BC AC ⊥，过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在（ ）
A. 直线AB 上
B. 直线AC 上
C. 直线BC 上
D. ABC ∆内部
【答案】A 【解析】 【分析】
由题设条件可得出AC ⊥平面1ABC ，由此可得出平面1ABC ⊥平面ABC ，由平面与平面垂直的性质定理可知，要作1C H ⊥底面ABC ，只需1C H AB ⊥即可，由此可知点H 的位置.
【详解】由题意可知，AC AB ⊥，且1AC BC ⊥，1AB BC B =Q I ，AB 、1BC ⊂平面
1AB C ，
AC ∴⊥平面1ABC ，AC ⊂Q 平面ABC ，∴平面1ABC ⊥平面ABC .
由于平面1ABC I 平面ABC AB =，由平面与平面垂直的性质定理可知，要作1C H ⊥底面
ABC ，只需1C H AB ⊥即可，因此，点H 在直线AB 上，故选：A.
【点睛】本题考查线面垂足点的位置，解题的关键就是证明出面面垂直，并借助面面垂直的性质定理进行转化，考查推理能力，属于中等题.
5.已知三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，则实数
m 的取值集合为（ ）
A. 42,33⎧⎫
-
⎨⎬⎩
⎭ B. 4
2,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
C. 424,,333⎧⎫
-
⎨⎬⎩
⎭ D.
422,,333⎧⎫
--⎨⎬⎩⎭
【答案】D 【解析】
因为三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，所以直线10mx y --=与2310x y -+=，4350x y ++=平行，或者直线10mx y --=过
2310x y -+=与4350x y ++=的交点，直线10mx y --=与2310x y -+=，
4350x y ++=分别平行时，23
m =
，或4
3- ，直线10mx y --=过2310x y -+=与
4350x y ++=的交点时，23m =- ，所以实数m 的取值集合为422,,333⎧⎫
--⎨⎬⎩⎭
，故选D.
6.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为
1,2,3,...,960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，
编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]
451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为 A. 7 B. 9
C. 10
D. 15
【答案】C 【解析】
从960人中用系统抽样方法抽取32人，则抽样距为k ＝，
因为第一组号码为9，则第二组号码为9＋1×30＝39，…， 第n 组号码为9＋(n －1)×30＝30n －21，由451≤30n －21≤750， 得
，所以n ＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．
考点：系统抽样.
【此处有视频，请去附件查看】
7.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为,x y ，则2log 1x y =的概率为 ( ) A.
1
6
B.
536
C.
112
D.
12
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意知、应满足，所以满足题意的有三种，所以概率为
31
3612
=．
考点：1．古典概型；
8.实数,x y满足条件
40
220
x y
x y
x
y
+-≤
⎧
⎪-+≥
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩
，则
1
()
2
x y
-的最大值为（）
A.
1
16
B.
1
2
C. 1
D. 2
【答案】D
【解析】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数z x y
=-的最值，
由几何意义可知，目标函数在点()
0,1处取得最小值
min
011
z=-=-，
此时
1
2
x y
-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
取得最大值：
1
1
2
2
-
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
.
本题选择D选项.
9.从装有颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()D X =（ ）
A.
85
B.
65
C.
45
D.
25
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意知，X ～B （5，33m +），由EX ＝533m ⨯=+3，知X ～B （5，3
5
），由此能求出D （X ）．
【详解】解：由题意知，X ～B （5，3
3
m +），
∴EX ＝53
3m ⨯
=+3，解得m ＝2， ∴X ～B （5，3
5），
∴D （X ）＝535⨯⨯（135-）6
5
=．
故选：B ．
【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
10.已知等比数列{}n a 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为n T ，且243a a a ⋅=，则使得1n T >的n 的最小值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C 【解析】 【分析】
由243a a a ⋅=，结合等比性质求得31a =，题中5T 可转化为()53a ，()3
6341T a a =>，可解得答案
【详解】n a Q 是等比数列，∴()2
243a a a ⋅=，又由题可得243a a a ⋅=，∴()2
33a a =， 解得31a =，30a =舍去，∴()5
51234531T a a a a a a =⋅⋅⋅⋅==，()3
6341T a a =>，
所以n 的最小值为6，选C
【点睛】本题考察了等比中项的性质及下标的代换关系，应熟练掌握公式m n p q a a a a ⋅=⋅的应用
11.函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ） A. ()1,1-
B. ()1,-+∞
C. (),1-∞-
D.
(),-∞+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
构造函数()()24g x f x x =--，利用导数判断出函数()y g x =在R 上的单调性，将不等式()24f x x >+转化为()()1g x g >-，利用函数()y g x =的单调性即可求解. 【详解】依题意可设()()24g x f x x =--，所以()()20g x f x ''=->. 所以函数()y g x =在R 上单调递增，又因为()()11240g f -=-+-=.
所以要使()()240g x f x x =-->，即()()1g x g >-，只需要1x >-，故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12.已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22
2222222
:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同
的焦点12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )
A. 13⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
，
B. 1
3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
C. 12⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
， D.
1
2
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
，
【答案】D
【解析】
【分析】
设椭圆与双曲线的半焦距为
12
2
F F c
=,
1
PF t=,由题意可得
12
a a c
-=，用
2
e表示出
1
e，结合二次函数的性质即可求出范围.
【详解】如图所示：
设椭圆与双曲线的焦距为
12
2
F F c
=,
1
PF t=,由题意可得
12
2,2
t c a t c a
+=-=
Q
12
2,2
t a c t a c
∴=-=+，
12
22
a c a c
∴-=+，即
12
a a c
-=
12
11
1
e e
∴-=，即2
1
2
1
e
e
e
=
+
2
22
2122
22
22
1
1111
e e
e e e
e e
e e
∴-=-==
++⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，
由21
e>可知
2
1
01
e
<<，令
2
1
(0,1)
x
e
=∈，2(0,2)
y x x
∴=+∈，
所以
21
1
2
e e
->，故选D.
【点睛】本题主要考查了双曲线和椭圆的性质以及离心率的问题，考查了转化思想，属于中档题.
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分）
13.()
1
2
21
x x dx
+-=
⎰________
【答案】1
4
π
+
【解析】
因
111
22
000
(21)(2)1
x x dx x dx x dx
+-=+-
⎰⎰⎰，而122
(2)101
x dx=-=
⎰，
122
222
000
111
1)cos(1cos2)sin2|
22224
x dx tdt t dt t
ππ
π
ππ
-==+=⨯+=
⎰⎰⎰，应填答案14
π
+。

14.已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点
A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.
【答案】
65
1
-
【解析】
【分析】
先作出图形，根据题意可知抛物线上的动点到准线的距离等于该点到y轴的距离加1，由此可表示出|AH|+|AN|=m+n+1；根据抛物线的性质可得|AF|+|AH|=m+n+1，结合所有连线中直线最短的原理，可知当A，F，H三点共线时，m+n最短即可求出其最小值
【详解】如图所示：
如图，过点A作AH⊥l于H，AN垂直于抛物线的准线于N，则|AH|+|AN|=m+n+1，
连接AF，则|AF|+|AH|=m+n+1，
由平面几何知识，得当A，F，H三点共线时，|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值，根据点到直线距离公式，求得
65
5
5
=
即m+n的最小值为
5
1
5
-
【点睛】抛物线中涉及焦半径问题，需要结合抛物线性质：到焦点距离等于到准线距离进行转化，再结合几何关系进行求解
15.若将函数()5
f x x
=表示为()()()()
25
0125
111
f x a a x a x a x
=+++++++
L其中0a，1
a，
2
a，…，
5
a为实数，则
3
a＝______________．
【答案】10
【解析】
法一：由等式两边对应项系数相等．
即：
5
4
5543
31
55443
1
{010
a
C a a a
C a C a a
=
+=⇒=
++=
．
法二：对等式：()()()()
25
5
0125
111
f x x a a x a x a x
==+++++++
L两边连续对x求导
三次得：22
345
60624(1)60(1)
x a a x a x
=++++，再运用赋值法，令1
x=-得：3
606a
=，即310
a=
16.已知实数()()
,0
{
lg,0
x
e x
f x
x x
≥
=
-<
，若关于x的方程()()
20
f x f x t
++=有三个不同的实根，则t的取值范围为____________．
【答案】(]
,2
-∞-
【解析】
试题分析：原问题等价于()()
2
f x f x t
+=-有三个不同的实根，即y t
=-与
()()2y f x f x =+有三个不同的交点，当0x ≥时，()()22x x
y f x f x e e =+=+为增函数，
在0x =处取得最小值为2，与y t =-只有一个交点.当0x <时，
()()22lg ()lg()y f x f x x x =+=-+-，根据复合函数的单调性，其在(),0-?上先减后增.
所以，要有三个不同交点，则需2t -≥，解得2t ≤-. 考点：函数与方程零点
【思路点晴】本题主要考查复合函数零点与单调性的问题.函数()f x 是一个分段函数，先对含有t 的方程进行分离常数()()2
f
x f x t +=-，变为探究两个函数图像3个交点的问题
来研究.分离常数后，由于()f x 是一个分段函数，故分成两个部分来研究，当0x ≥时，函数()()2
2x x y f
x f x e e =+=+为增函数，在0x =时有最小值为2，由此在y 轴右边仅有
一个交点.利用复合函数单调性可知函数在y 轴左边先减后增，故要使两个函数有3个交点，则需2t -≥，解得2t ≤-.
三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)
17.已知向量()()
2cos ,1,cos 32,a x b x x =r r =函数().f x a b =⋅r r
(1)求函数()f x 的单调增区间; (2)当0,6x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,求函数()f x 值域.
【答案】(1)(),3
6k k k Z π
πππ⎡⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
；（2）[]2,3
【解析】 【分析】
（1）先将()f x a b =⋅r r
表示出来，再结合二倍角公式进行转化，32cos 21x x ++，
进一步结合辅助角公式化简，可得()2sin 216f x x π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，结合sin x 增区间的通式可求得
（2）当0,6x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，分析()f x 在对应区间的增减性，再求出值域
【详解】
(1)()2
2cos 3sin 2f x a b x x =⋅=+r r 32cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝
⎭
由
()222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈,
得(),.3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈故单增区间
是(),36k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦ (2)由（1）知()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,∴当6x π
=时, ()max 3f x =；
当0x =时, ()min 2f x =，值域[]2,3
【点睛】解答三角函数综合题时，需先将三角函数化到最简，将所求函数括号中的整体结合基础函数图像性质进行代换求解。

要快速求解此类题型，需要对于三类三角函数的基础图像有较为扎实的掌握，包括增减区间、对称轴、对称中心等
18.在锐角ABC ∆中， a ， b ， c 为内角A ，B ，C 的对边，且满足
()2cos 0c a cosB b A --=．
（1）求角B 的大小．
（2）已知2c =，边AC 边上的高321
BD =
ABC ∆的面积S 的值． 【答案】（1）3π；（2）33
2
【解析】
试题分析：（1）由(2)cos cos 0c a B b A --=，利用正弦定理和三角函数的恒等变换， 可得1
cos 2
B =
，即可得到角B 的值； （2）由三角形的面积公式，代入c ，解得,sin BD B 的值，及b 的值，再根据余弦定理，求得,a b 的值，由三角形的面积公式，即可求解三角形的面积. 试题解析：
（1）∵()2cos 0c a cosB b A --=，
由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0C A B B A --=， ∴()2sin sin sin cos C A cosB B A -=，
()2sin cos sin 0C B A B -+=，
∵πA B C +=-且sin 0C ≠，∴1cos 2
B =， ∵()0,πB ∈，π3
B =． （2）∵11
sin 22
S ac B BD b =
=⋅， 代入c ，321
7
BD =
，3sin B =7b =，
由余弦定理得：22222cos 42b a c ac B a a =+-=+-， 代入7
b =
，得29180a a -+=， 解得37a b =⎧⎪⎨=⎪⎩6
7
a b =⎧⎪⎨
=⎪⎩， 又∵锐角三角形， ∴222a c b <+，∴3a =， ∴11333
sin 2322ABC S ac B V ==⨯⨯=
19.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x 2t
(t y 23t
=--⎧⎪⎨
=⎪⎩为参数)，直线l 与曲线C ：2
2
(y 2)x 1--=交于A ，B 两点
()1求AB 的长；
()2在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为3π2
2,
4⎛⎫
⎪⎝
⎭
，求点P 到线段AB 中点M 的距离．
【答案】（1）214；（2）.
【解析】
试题分析：（1）把直线的参数方程代入曲线C 的方程，得12124,10t t t t +=-=-，即可求解；（2）根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为12
22
t t +=-，由t 的几何意义，可运算结果.
试题解析：（1）直线的参数方程化为标准型
（t 为参数）
代入曲线C 方程得
设对应的参数分别为，则，
，
所以
（2）由极坐标与直角坐标互化公式得直角坐标，
所以点
在直线，中点M 对应参数
，
由参数t 几何意义，所以点
到线段AB 中点M 的距离
考点：直线的参数方程；极坐标方程的应用.
20.已知()()20?f x ax ax a a =-+->. （1）当1a =时,求()f x x ≥的解集;
（2）若不存在实数x ,使()3f x <成立,求a 的取值范围. 【答案】(1){|1x x ≤或3}x ≥.(2)5a ≥ 【解析】 【分析】
(1)当1a =时,不等式即21x x x -+-≥,零点分段可得不等式的解集为{|1x x ≤或3}x ≥.
(2)依题意，结合绝对值三角不等式的性质可得()23f x a ≥-≥,据此求解绝对值不等式可得5a ≥.
【详解】(1)当1a =时, ()21f x x x =-+-,则()f x x ≥即21x x x -+-≥, 当2x ≥时,原不等式可化为21x x x -+-≥,解得3x ≥;
当12x <<时,原不等式可化为21a x x -+-≥,解得1x ≤,原不等式无解; 当1x ≤时,原不等式可化为21x x x -+-≥,解得1x ≤. 综上可得,原不等式的解集为{|1x x ≤或3}x ≥. (2)依题意得,对x R ∀∈,都有()3f x ≥,
则()()()22f x ax ax a ax ax a =-+-≥--- 23a =-≥, 所以23a -≥或23a -≤-,所以5a ≥或1a ≤- (舍去),所以5a ≥. 【点睛】绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
21.设f(x)=xln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R. （Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞，当0a >时，函数()g x 单
调递增区间为
10,2a （），单调递减区间为1,2a +∞（）； （Ⅱ）1
2
a > 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求出()g x '，然后讨论当0a ≤时，当0a >时的两种情况即得. （Ⅱ）分以下情况讨论：①当0a ≤时，②当102a <<时，③当12a =时，④当1
2
a >时，综合即得.
试题解析：（Ⅰ）由()ln 22,f x x ax a =-+' 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞，
则()1122ax g x a x x
='-=
-， 当0a ≤时，
()0,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；
当0a >时，
10,
2x a ∈（）时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 1,2x a
∈+∞（）时，()0g x '<，函数()g x 单调递减.
所以当0a ≤时，()g x 单调递增区间为()0,+∞；
当0a >时，函数()g x 单调递增区间为
10,2a （），单调递减区间为1
,2a
+∞（）. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()10f '=.
①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意.
②当102a <<
时，112a >，由(Ⅰ)知()f x '在1
0,2a
（）内单调递增，
可得当当()0,1x ∈时，()0f x '<，11,2x a ∈（）时，()0f x '>，
所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a
（）内单调递增，
所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意. ③当1
2a =
时，即
112a
=时，()f x '在(0,1)内单调递增，在()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >
时，即1012a <<，当1
,12x a
∈（）时，()0f x '>，()f x 单调递增,
当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为1
2
a >
.
【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等. 【此处有视频，请去附件查看】
22.已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈
（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()0f x ≥在[
)0,(0)f 上恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和2
31n S n n =+-，4
n n
b a =
，求证：数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++.
【答案】(Ⅰ)0x y -=；(Ⅱ)(,2]-∞；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】
试题分析：()1将1a =，求出切线方程()2求导后讨论当2a ≤时和2a >时
的
单调性证明，
求出实数a 的取值范围()3先求出n a 、n b 的通项公式，利用当0x >时，
()()2ln 12x x x ++>得()2ln 12
x
x x +>
+，下面证明：()()ln 12n T n n <++ 解析：（Ⅰ）因为1a =，所以()()()2ln 1f x x x x =++-，()()002ln100f =+⨯-=，切点为()0,0. 由()()2ln 111x f x x x +=++
-+'，所以()()02
0ln 011101
f '+=++-=+，所以曲线()y f x =在()0,0处的切线方程为()010y x -=-，即0x y -=
（Ⅱ）由()()2
ln 11
x f x x a x +=++
-+'，令()()[)()0,g x f x x ∈'=+∞，
则()()()22
110111x g x x x x =-=≥+++'（当且仅当0x =取等号）.故()f x '在[)0,+∞上为增函数.
①当2a ≤时，()()00f x f ''≥≥,故()f x 在[
)0,+∞上为增函数， 所以()()00f x f ≥=恒成立，故2a ≤符合题意；
②当2a >时，由于()020f a ='-<，()
1
110a
a f e e
-=+
>'，根据零点存在定理， 必存在()
0,1a
t e ∈-，使得()0f t '=，由于()f x '在[
)0,+∞上为增函数，
故当()0,x t ∈时，()0f t '<,故()f x 在()0,x t ∈上为减函数，
所以当()0,x t ∈时，()()00f x f <=,故()0f x ≥在[
)0,+∞上不恒成立，所以2a >不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(]
,2-∞
（III ）证明：由2
4
,13,1331,.22,22,2
1n n n n n S n n a b n n n n ⎧=⎪=⎧⎪=+-⇒=⇒=⎨
⎨+≥⎩⎪≥⎪+⎩
由（Ⅱ）知当0x >时，()()2ln 12x x x ++>，故当0x >时，()2ln 12
x
x x +>
+， 故2
222ln 1212n n n n
⋅
⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，故1122ln 11n
n k k k k ==⎛⎫+> ⎪+⎝⎭∑∑.下面证明：
()()ln 12n T n n <++ 因为
1
222222ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1ln 11231n
k k n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=++++++⋅⋅⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑
()()()()12456
12ln 3ln
ln 12ln223412n n n n n n n n ++++⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯==++- ⎪-⎝⎭
而，4222321311
n T n =
+++⋅⋅⋅++++ 1222222224111111213122131233n
n n k T T k
n n ==+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+-=-++++++++∑
所以，()()1
ln 12ln23n n n T ++->-，即：()()1
ln 12ln23
n n n n T T ++>-
+>
点睛：本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立，借助第二问的证明过程，利用导数的单调性证明数列的不等式，在求解的过程中还要求出数列的和，计算较为复杂，本题属于难题。