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几道遗留问题的解答
【1】.（2003•黄石）随着我市教育改革的不断深入，素质教育的全面推进，我市中学生利用假期参加社会实践活动调查的越来越多，张同学在我市J牌公司实习调查时，计划发展部给了他一份实习作业：在下述条件下，规划一个月的产量：假如公司生产部有工人200名，每个工人的月劳动时间不超过192小时，生产一件J牌产品需要一个工人劳动2小时；本月将剩余原料60吨，下个月准备购进出300吨，每件J牌产品需原料20公斤；经市场调查，预计下月市场对J牌产品需求量为16000件，公司准备充分保证市场需求．请你和张同学一起规划下个月的产量范围（设下个月的产量为x件）．考点：一元一次不等式组的应用．分析：解：下个月的产量为x件，根据“劳动时间”和“预计下月市场对J牌产品需求量为16000件”可列不等式组求解．解答：解：下个月的产量为x件，
根据题意得2x≤192×200 ，20x≤(60+300)×1000 ，x≥16000 ，
解得，16000≤x≤18000
答：下个月的产量不少于16000件，不多于18000件．点评：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解【2.】（2007•湖州）自选题：
如图，正方形ABCD的周长为40米，甲、乙两人分别从A、B同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55米，乙按顺时针方向每分钟行30米．
（1）出发后几分钟时，甲乙两人第一次在正方形的顶点处相遇；
（2）如果用记号（a，b）表示两人行了a分钟，并相遇过b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是＿＿＿＿¸﹏
解：（1）设x分钟后第一次相遇于顶点，且甲乙共走过y[圈]，
则55x+3x=40y+10
解不定方程的最小的x=2（分钟），
故填2．［方法二］两个人的速度之和是85米每分钟，30/85分钟后两人第一次相遇。

如果要两人在顶点相遇，则：
每个人所走的路程均为10的整数倍，且两个人所走路程之和为10+40n。

S=10+40n n为0、1、2、3......n （1）
S甲=55*t可以被10整除t为2、4、6 (2)
S乙=30*t也可以被10整除t为甲方取值即可
S=S甲+S乙
整理得：
55t+30t=10+40n
85t=10+40n
n=（85t-10）/40 （3）
由（1）（2）（3）有：当t=2时，两人第一次在顶点相遇。

此时甲走了110米，
乙走了60米。

相遇在D点
（2）同上理，方程为85x=40y+10+20
解得最小x=6，即a=6，
85x=510米，
第一次相遇双方共走了10米，此后每40米相遇一次，
所以b=[480÷40]+1=13，
故填（6，13）．
【3】．“SARS”过后，人们更加关注自身的健康．每天清晨，甲、乙二人都结伴到人民广场上锻炼身体．一天，甲、乙两人在广场上绕水池边散步．如图，已知该正方形水池的周长为400米，他们在相邻的两个角上同时沿池边逆时针行走，乙在甲后，甲每分钟走50米，乙每分钟走44米，那么甲乙二人自出发后到初次在同一边上行走所需要的时间是（）A．14分钟B．32分钟C．34分钟D．28分钟
考点：应用类问题．
分析：由于甲的速度大于乙的速度，且乙在甲后，则甲与乙的路程差不小于200且不大于300时，甲与乙在同一边上，据此列出不等式组，求解即可．解答：有解：设x分钟后，甲乙在同一条边上，由题意，有
200≤50x-44x≤300，or 0《=300+44x-50x<=100
解得：33 1/ 3 ≤x≤50
【4】. 甲、乙两人在200米的环形跑道上练习径走，当他们从某处同时出发背向行走时，每30秒相遇一次；同向行走时，每隔4分钟相遇一次，求两人的速度。

设甲、乙的速度分别为每分钟x米，每分钟y米，则可列方程组30/60 (x+y)=200 ,4(x-y)=200 考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．
分析：设甲、乙的速度分别为每分钟x米，每分钟y米，根据甲、乙两人在200米的环形跑道上练习径走，当他们从某处同时出发背向行走时，每30秒相遇一次；同向行走时，每隔4分钟相遇一次，可列出方程组．
解答：解：设甲、乙的速度分别为每分钟x米，每分钟y米，则
30/ 60 (x+y)=200 ,4(x-y)=200 ．
【5】. 在环行自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度是：甲每分钟2/3 圈，乙每分钟3/ 4 圈，丙每分钟1 /2 圈，他们同时出发，起点如图所示（甲从A点出发，沿圆周逆时针运动；乙从B点出发，沿圆周逆时针运动；丙从C点出发，沿圆周顺时针运动），则出发后几分三人第一次相遇．
考点：一元一次方程的应用．专题：应用题．
分析：设出发后x分钟后三人第一次相遇，根据图中所示的甲乙丙的位置及所行驶的方向，然后列方程即可解出答案．
解答：解：设出发后x分钟后三人第一次相遇，
由甲和乙相遇得：2/ 3 x+1/ 4 +1/ 6 =3/ 4 x，
解得：x=5，
此时，甲逆时针行驶了2/ 3 ×5=10 /3 圈，
当出发5分钟后，丙顺时针行驶了1 /2 ×5=5/ 2 圈，
此时，甲乙丙第一次相遇．
故答案为：5．
【6】. 将一块a×b×c的长方体铁块（如图1所示，其中a＜b＜c，单位：cm）放入一长方体（如图2所示）水槽中，并以速度v（单位：cm3/s）匀速向水槽注水，直至注满为止．已知b为8cm，水槽的底面积为180cm2．若将铁块b×c面放至水槽的底面，则注水全过程中水槽的水深y（cm）与注水时间t（s）的函数图象如图3所示（水槽各面的厚度忽略不计）．
（1）水槽的深度为﹎﹎cm，a=﹎﹎cm；
（2）注水速度v及c的值；
（3）将铁块的a×b面、a×c面放至水槽的底面，试分别求注水全过程中水槽的水深y（cm）与注水时间t（s）的函数关系及t的取值范围，并画出图象．．
解：（1）根据图3可知，分段函数的连接出坐标是（21，5），即21s时，水面高度是5cm，即a=5；函数图象的末尾是（66，10），即66s时，水注满水槽，故水槽深度是10cm．
故填空依次为：10，5（2分）
（2）由题意180×5=5×8×c+21v ，180×10=5×8×c+66v （3分）
解得v=20，c=12
即注水速度为20cm3/s，c=12cm．（4分）
（3）①以a×b面为底面时，
∵c=12＞10，即此时铁块高度大于水槽高度
设注满水的时间为t1s
∴180×10=5×8×10+20t1解得t1=70s（5分）
∵（180-5×8）y=20t
∴y=1 7 t（0≤t≤70）（6分）
（画出图象）（7分）
②以a×c面为底面时
∵b=8＜10，即此时铁块高度小于水槽高度
∴注满水时所用时间为66s（8分）
设水刚至铁块顶部的时间为t2s
∴180×8=5×8×12+20t
解得t2=48（9分）
当0≤t≤48时，（180-5×12）y=20t，即y=1 6 t（10分）
当48＜t≤66时，180（y-8）=20（t-48），即y=1 9 t+8 3即y= 1 6 t，(0≤t≤48) 1 9 t+8 3 ．(48＜t≤66) ．（11分）
【7】. 甲乙两人进行三局二胜制的乒乓球比赛，甲已经胜了一局，若每局甲乙胜的可能性相同，那么甲赢得比赛的概率是（）
A．3/4 B．1/ 2 C．1/ 4 D．2/ 3
考点：列表法与树状图法．
分析：列举出所有情况，让甲赢得比赛的情况数除为所求的概率
第一局甲胜
．解答：
共有4种情况，甲获胜的情况数有3种，所以甲获胜的概率为3/ 4 ．
故选A．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A P（甲胜）=m/n
【8.】用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为a+2b的正方形，需要B 类卡片几张． b
█a ▋a■b
A卡B卡C卡
考点：完全平方公式的几何背景．
分析：利用完全平方公式求出拼成后的正方形的面积，然后即可得出所需各类卡片的数量．解答：解：∵（a+2b）^2=a^2+4ab+4b^2，
∴拼成一个边长为a+2b的正方形需要A类卡片1张，B类卡片4张，C类卡片4张．
故答案为：4．
【9】. 用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为a+b的正方形，需要B 类卡片2张．
考点：完全平方公式的几何背景．
分析：要拼成边长为a+b的正方形，可先求出其面积，再分别计算每一类图形的面积，进而求出各种类型所需要的张数．
解答：解：要拼成的边长为（a+b）的正方形的面积是：（a+b）^2=a^2+b^2+2ab；
图中所示A类的面积为：a×a=a^2；
C类的面积为：b×b=b^2；
B类的面积为：a×b=ab；
由上述分析可得出，拼成边长为（a+b）的正方形需要B卡片2张，A类1张，C类1张．故答案为2．
【10】. 有若干张如图所示的正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片，如果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片7张．
考点：多项式乘多项式．分析：计算出长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．解答：解：长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形的面积为：（3a+b）（a+2b）=3a^2+2b^2+7ab；
A卡片的面积为：a×a=a^2；
B卡片的面积为：b×b=b^2；
C卡片的面积为：a×b=ab；
因此可知，拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形，
需要3块A卡片，2块B卡片和7块C卡片．
故答案为：7．
【11.】有A、B、C三种不同型号的卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为b、宽为a的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．
（1）请你选取相应型号和数量的卡片，拼成一个正方形；（要求：3种型号都用上）
（2）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片10张，从这17张卡片中取16张，能拼成一个长方形有哪些情况？请运用乘法公式或因式分解说明理由；
（3）就所给的卡片，请你自编一道与上（1）、（2）不同类型的问题，并作出解答．
考点：因式分解的应用．专题：计算题；应用题．
分析：（1）由于A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为b，宽为a的长方形，C 型卡片是边长为b的正方形，若用A、B、C三种卡片拼出一个正方形，可以让正方形的边长为a+b，由此即可确定方法；
（2）中可根据所拿出卡片的不同，分三种情况讨论分析．
（3）问题：现有A型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片5张，从这10张卡片中取9张，分别拼成一个长方形和一个正方形．
（4）若三种卡片都不多于20张，则最多能拼出多少个正方形？
解答：（1）如图：
∵在A、B、C三种卡片中选择相应型号和数量的卡片，并且拼出一个正方形，
∴边长相同，
∴根据完全平方公式可以确定最简单的正方形边长为a+b；
（2）从三种卡片中分别拿掉一个卡片，会出现三种情况：
①6ab+10b²．
由①得6ab+10b²=2b（3a+5b）知用6个B型卡片，10个C型卡片，可拼成长为
3a+5b，宽为2b或长为2（3a+5b），宽为b的矩形．（6分）
②a²+6ab+9b²．
由②得a²+6ab+9b²=（a+3b）²知用1个A型卡片，6个B型卡片，9个C型卡片，可拼成边长为a+3b的正方形．（8分）
③a²+5ab+10b²．
由③得a²+5ab+10b²在实数范围内不能分解因式知用1个A型卡片，5个B型卡片，10个C型卡片不能拼成符合要求的图形；
（3）问题：现有A型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片5张，从这10张卡片中取9张，分别拼成一个长方形和一个正方形，
解答：如图所示：
∵A型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片4张，从这10张卡片中取9张，
∴和九宫格相同，
接着根据完全平方公式和整式的乘法公式即可确定正方形和长方形的边长．
正方形：
长方形：
（4）.边长为a+b，a+2b,a+3b,a+4b, 2a+b,2a+2b,2a+3b,2a+4b ,3a+b,3a+2b,3a+3b, 4a+b,4a+2b共13种。

【12】. （2006•烟台）如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a、b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为▁▁。

考点：完全平方公式的几何背景．专题：计算题．
分析：1张边长为a的正方形卡片的面积为a²，6张边长分别为a、b的矩形卡片的面积为6ab，9张边长为b的正方形卡片面积为9b²，∴16张卡片拼成一个正方形的总面积=a²+6ab+9b²=（a+3b）²，∴大正方形的边长为：a+3b．
解答：解：由题可知，16张卡片总面积为a²+6ab+9b²，
∵a²+6ab+9b²=（a+3b）²，
∴新正方形边长为a+3b
【13】．要用20张白卡纸作包装盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个。

如果一个盒身和2个底盖可以做成一个包装盒，（1）那么能否把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盖身和盒底盖正好配套？（2）如果一张白卡纸可以适当的裁出一个盒身和一个盒底盖，那么怎样分这些白卡纸，才能使做出的盒身和盒底盖配套，又能充分地利用白卡纸？
满意回答
用8.5张白卡纸出盒身，可以出17套，用剩下的11张出盒底可以出16.5个，还有半张白卡纸，出一个盒底，正好也是17套，总共20张白卡纸可以出17套盒子.
（1）
设做盒身的白卡纸X张,做盒底盖白卡纸Y张:
X+Y=20
2X:3Y=1:2
X+Y=20
X=3Y/4
3Y/4+Y=20
Y=80/7,Y不是整数,所以不能把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盖身和盒底盖正好配套.
（2）
设可以适当的裁出一个盒身和一个盒底盖的白卡纸X张,做盒底盖白卡纸Y张:
X+Y=20
X:(X+3Y)=1:2
X+Y=20
X+3Y=2X
X+Y=20
X=3Y
3Y+Y=20,Y=5(张);
X=20-Y=20-5=15(张);
裁出一个盒身和一个盒底盖的白卡纸共15张,做盒底盖白卡纸5张,能充分地利用白卡
【答案二】设x张白卡纸做盒身，则（20-x）张白卡纸做盒盖，本题的等量关系是：盒盖的数量=盒身数量的2倍．据此可列方程组求解．解答：解：设x张白卡纸做盒身，则（20-x）张白卡纸做盒盖．根据题意得
2×2x=3（20-x），
解得x=84 7 ．
20-x=20-84 7 =113 7 ．
∵x为整数，
∴8张制盒身，11张制盒盖，能做16个包装盒．
答：8张制盒身，11张制盒盖，能做16个包装盒．
【13.】
甲乙丙丁四个人同时参加一次数学竞赛，赛后，他们四个人预测名次的谈话如下：
甲说：丙第一名，我第三名；
乙说：我第一名，丁第四名；
丙说：丁第二名，我第三名；
丁没有说话．
最后公布结果时，发现他们的预测都只对了一半，那么四个人这次竞赛的名次为乙第一名，丁第二名，甲第三名，丙第四名
乙第一名，丁第二名，甲第三名，丙第四名
．考点：推理与论证．专题：应用题．分析：本题假设丙是第一，看有没有矛盾，若有矛盾再假设甲是第三的推测是正确的，从而排出名次．解答：解：把题目所述列成下表：
若丙第一（对应①），则乙不能在对应①，从而丁对应④，那么丙的预测就没有猜中，矛盾；于是乙对应①，丙不能对应①，知甲对应③，丁对应②，从而丙只能是第四．
所以四个学生的名次依次为乙第一名，丁第二名，甲第三名，丙第四名．
故答案为：乙第一名，丁第二名，甲第三名，丙第四名．
甲乙丙丁
甲说③①
乙说①④
丙说③②。