高中数学 抛物线的简单几何性质1课件 苏教版选修2-1
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You made my day!
我们，还在路上……
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线 的轴.
(3)顶点 抛物线和它的轴的交点.
抛物线上的点与焦点的
y
(4)离心率 距离和它到准线的距离
P
的比，叫做抛物线的离
心率，用e表示，由抛物
线的定义可知，e=1
OF
x
(5)焦半径 |PF|=x0+p/2
通过焦点且垂直对称轴的直线，与
(6)通径
抛物线相交于两点，连接这两点的 线段叫做抛物线的通径。
比较简捷．
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l
引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜ y
＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜C
B
所以EH是以AB为 直径的圆E的半径， 且EH⊥l，因而圆E 和准线l相切．
H
E
OF
2、方法小结：利用类比的方法 学习了抛物线的几何性质；注意数 形结合的应用。
课后思考 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,
通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
y
A
F
O
x
D
B
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
抛物线的几何性质(1)
一、复习回顾：
1、抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距 离相等的点的轨迹叫做抛物线。
y
定点F叫做抛物线的焦点。 l 定直线l 叫做抛物线的准线。
d
.M
K.
OF
x
y2 2 px p0是焦准距
－－抛物线标准方程
2、抛物线的标准方程：
标准方程 y22p(xp0) y22p(x p0) x22p(yp0) x22p(y p0)
PF QF
O •F
x
Q
B
PFQF0 即 (p , y 1 )(p , y 2 ) 0
p2y1y20
即 y1y2p2
易得： x1x2
p2 4
小结
1、知识小结：抛物线的性质和 椭圆与双曲线比较起来，差别较大: 它的离心率等于1；它只有一个焦 点、一个顶点、一条对称轴、一条 准线；没有对称中心；没有渐近线。
通径的长度：2P
抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X
基本量：P（决定 抛物线开口大小）
方程 图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
x
DA
例 4 、 过 抛 物 线 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 y 2 2 p x (p 0 )于
A ， B 两 点 ， 设 A (x 1 ,y 1 ),B (x 2 ,y 2 ),求 证 :y 1 y 2 p 2 .
解：A过 ，B点作准线的垂线为， P,Q垂足 P y A
p
p
p
P (2,y1)Q ,(2,y2)F ,(2,0)
例2、过抛物线 y 2 8 x 的焦点,作倾斜角
为45 0 的直线,则被抛物线截得的弦长AB
为
.
y
A
F
x B
例3、过抛物线y2=2px的焦点F任作一
条直线m，交这抛物线于A,B两点，求
证：以AB为直径的圆和这抛物线的准
线C相切y． B
分析：运用
抛物线的定 H
E
义和平面几
OF
x
何知识来证 D A
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F ( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
yFBiblioteka x oF (0, p ) 2
y p 2
y
o
x
F
F (0, p) 2
y p 2
二、讲授新课： 类比探索
y
F
.
o
x
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形, 探索其的几何性质:
(1)范围 x≥0,y∈R
点，并且经过点 M2,22 ，求它的标准方程，并用描
点法画出图形．
解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p>0） 则将M点代入得：(2 2)2 = 2p×2 解得：p=2
因此所求方程为：y2=4x 列表：
x 0 0.25 1 2.25 4 6.25 …
y 01 2 3 4 5 …
o
描点及连线：
（1）抛物线只位于 半个坐标平面内，它可以无限
延伸，但没有渐近线；
（2）抛物线只有 1 条对称轴， 无 对称中心； （3）抛物线只有 1 个顶点、 1 个焦点、 1 条准线； （4）抛物线的离心率是确定的，其值为 1 ．
（5）一次项系数的绝对值越大，开口越大
三、例题选讲：
例1 已知抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
（0,0）
p 2
x0
px1 x2
（0,0）
p 2
x0
p(x1 x2)
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p(y1 y2)
填空练习：与椭圆、双曲线的几何性质比 较，抛物线的几何性质有什么特点？
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(2)对称性 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线 的轴.
(3)顶点 抛物线和它的轴的交点.
抛物线上的点与焦点的
y
(4)离心率 距离和它到准线的距离
P
的比，叫做抛物线的离
心率，用e表示，由抛物
线的定义可知，e=1
OF
x
(5)焦半径 |PF|=x0+p/2
通过焦点且垂直对称轴的直线，与
(6)通径
抛物线相交于两点，连接这两点的 线段叫做抛物线的通径。
比较简捷．
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l
引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜ y
＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜C
B
所以EH是以AB为 直径的圆E的半径， 且EH⊥l，因而圆E 和准线l相切．
H
E
OF
2、方法小结：利用类比的方法 学习了抛物线的几何性质；注意数 形结合的应用。
课后思考 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,
通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
y
A
F
O
x
D
B
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
抛物线的几何性质(1)
一、复习回顾：
1、抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距 离相等的点的轨迹叫做抛物线。
y
定点F叫做抛物线的焦点。 l 定直线l 叫做抛物线的准线。
d
.M
K.
OF
x
y2 2 px p0是焦准距
－－抛物线标准方程
2、抛物线的标准方程：
标准方程 y22p(xp0) y22p(x p0) x22p(yp0) x22p(y p0)
PF QF
O •F
x
Q
B
PFQF0 即 (p , y 1 )(p , y 2 ) 0
p2y1y20
即 y1y2p2
易得： x1x2
p2 4
小结
1、知识小结：抛物线的性质和 椭圆与双曲线比较起来，差别较大: 它的离心率等于1；它只有一个焦 点、一个顶点、一条对称轴、一条 准线；没有对称中心；没有渐近线。
通径的长度：2P
抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X
基本量：P（决定 抛物线开口大小）
方程 图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
x
DA
例 4 、 过 抛 物 线 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 y 2 2 p x (p 0 )于
A ， B 两 点 ， 设 A (x 1 ,y 1 ),B (x 2 ,y 2 ),求 证 :y 1 y 2 p 2 .
解：A过 ，B点作准线的垂线为， P,Q垂足 P y A
p
p
p
P (2,y1)Q ,(2,y2)F ,(2,0)
例2、过抛物线 y 2 8 x 的焦点,作倾斜角
为45 0 的直线,则被抛物线截得的弦长AB
为
.
y
A
F
x B
例3、过抛物线y2=2px的焦点F任作一
条直线m，交这抛物线于A,B两点，求
证：以AB为直径的圆和这抛物线的准
线C相切y． B
分析：运用
抛物线的定 H
E
义和平面几
OF
x
何知识来证 D A
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F ( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
yFBiblioteka x oF (0, p ) 2
y p 2
y
o
x
F
F (0, p) 2
y p 2
二、讲授新课： 类比探索
y
F
.
o
x
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形, 探索其的几何性质:
(1)范围 x≥0,y∈R
点，并且经过点 M2,22 ，求它的标准方程，并用描
点法画出图形．
解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p>0） 则将M点代入得：(2 2)2 = 2p×2 解得：p=2
因此所求方程为：y2=4x 列表：
x 0 0.25 1 2.25 4 6.25 …
y 01 2 3 4 5 …
o
描点及连线：
（1）抛物线只位于 半个坐标平面内，它可以无限
延伸，但没有渐近线；
（2）抛物线只有 1 条对称轴， 无 对称中心； （3）抛物线只有 1 个顶点、 1 个焦点、 1 条准线； （4）抛物线的离心率是确定的，其值为 1 ．
（5）一次项系数的绝对值越大，开口越大
三、例题选讲：
例1 已知抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
（0,0）
p 2
x0
px1 x2
（0,0）
p 2
x0
p(x1 x2)
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p(y1 y2)
填空练习：与椭圆、双曲线的几何性质比 较，抛物线的几何性质有什么特点？