2021-2022学年辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学九年级第一学期期中数学试卷及答案

2021-2022学年辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学九年级（上）期中数学试卷一、选择（每题2分，共20分）
1．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，sin A＝，则BC的长为（）
A．B．C．60 D．80
2．（2分）如图，图形甲与图形乙是位似图形，点O是位似中心，AB＝4.5，则A′B′的长为（）
A．8 B．9 C．10 D．15
3．（2分）已知＝＝，则＝（）
A．B．C．D．
4．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）
A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．长方体
5．（2分）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC 为15m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）
A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m
6．（2分）如图，AB，BC，DE是四根长度为5cm的火柴棒，点A，C，CD⊥BC，若AC＝6cm（）
A．6cm B．8cm C．6cm D．8cm
7．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为（）
A．S△ABC＞S△ABD B．S△ABC＝S△ABD
C．S△ABC＜S△ABD D．无法确定
8．（2分）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝（）
A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米
9．（2分）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人（）
A．1+x+x（1+x）＝144 B．x（1+x）＝144
C．1+x+x＝144 D．x+x（1+x）＝144
10．（2分）已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
二、填空（每题3分，共18分）
11．（3分）已知y＝﹣x2+4x，则x＝时，y有最值，为．
12．（3分）小华和小丽每人在纸上随机地写上一个不大于5的正整数，两人所写的正整数恰好相同的概率是．
13．（3分）点（m+3，2）和点（3，）是同一个反比例函数图象上的点．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＞AC，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作条．
15．（3分）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（∠O），点A，B，C都在格点上．
16．（3分）如图，等腰直角△AEF的斜边EF经过正方形ABCD的顶点B，交边CD于点N，若DM＝3，MN＝．
三、解答题（第17题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：sin230°+tan60°•tan30°﹣cos245°．
18．（8分）解方程：4x2+1＝4x．
19．（8分）如图，点B在线段MN上，过AB的中点O作MN的平行线，并证明你的结论．
四、（每题8分，共16分）
20．（8分）小明、小颖和小凡都想周末看电影，但只有一张电影票．三人通过做游戏确定，谁获胜谁去．游
戏规则如下：连续抛掷两枚质地均匀的硬币，则小明获胜：若两枚都是反面朝上，则小颖获胜：若一枚正面朝上，则小凡获胜．你认为这个游戏公平吗？请说明你的理由．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．
22．（10分）如图，点P（14，1），点A（0，a）（a，0）分别是y轴和x轴上的动点（a＞0），若由点P，A，求a的值．
六、（本题10分）
23．（10分）一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是怎样的呢？我们可以用描点法画出，并通过图象对反比例函数的性质进行研究．以反比例函数y＝，如下图，第一步：列表；第三步：连线．x…﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 6 …
y＝…﹣1 ﹣1.2 ﹣1.5 ﹣2 ﹣3 ﹣6 6 3 2 1.5 1.2 1 …
（1）上面反比例函数图象的名称为．
（2）若上面表格中还有这样的数据．
m m1m2m3
n n1n2n3
①直接写出mn的值．
②直接写出表格中的m不可能是哪个数字？．
③若有m1＜m2＜0＜m3直接写出n1，n2，n3的大小关系（用“＜”号连接）．
④若m与m3互为相反数，直接写出n与n3的关系．
⑤若m＜0，直接写出当x＞m时，y的取值范围为．
（3）探究
①若反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+8有一个交点为点A，作AB⊥x轴于点B，仅根据观察两个函
数的图象，直接写出矩形OBAC的面积和周长．
②是否存在一个矩形，它的周长和面积都是①中矩形OBAC周长和面积的一半？
参考①中的方法，仅用函数图象加以说明（列表步骤可以省略），画出一种方案即可．
七、（本题12分）
24．（12分）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，CG．
（1）直接写出AF和CG的数量关系，位置关系．
（2）求证：DE＝AF，AF⊥BD．
（3）若正方形ABCD和正方形BGEF的边长分别为6和4，直接写出BH的长．
（4）若EC＝3，BC＝4，直接写出CF和CG的长．
八、（本题12分）
25．（12分）已知A（0，6），点D在点A的上方，点C（10，0），且CD∥AB．（1）如图1，若∠OCD＝30°，求直线AB的解析式
（2）如图2，在（1）的条件下，点E和点F都在线段CD上运动，直接写出当△AEF的面积为2时，
点E的坐标．
（3）如图3，点E在线段CD上运动，点F在线段CE上运动，点P和点Q分别是线段AB和线段EF 上的动点，当点P从点A匀速运动到点B时，P A＝n，已知n＝﹣，直接写出直线PQ经过点O时，直线PQ的解析式．
参考答案与试题解析一、选择（每题2分，共20分）
1．【解答】解：在Rt△ABC中，
∵sin A＝＝，AC＝100，
∴BC＝×100
＝60．
故选：C．
2．【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，
∴AB∥A′B′，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴＝，即＝，
解得：A′B′＝9，
故选：B．
3．【解答】解：设x＝2k，y＝3k，
则＝＝．
故选：D．
4．【解答】解：该几何体是长方体，
故选：D．
5．【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，AB＝1.5m，∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝3.5m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，
∴DE＝AD•tan∠EAD＝15×＝5，
∴CE＝CD+DE＝（8+1.2）（m）．
故选：D．
6．【解答】解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，
则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝×2＝3（cm），
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，
∴∠CBM＝∠DCN，
在△BCM和△CDN中，
，
∴△BCM≌△CDN（AAS），
∴BM＝CN，
在Rt△BCM中，
∵BC＝5cm，CM＝2cm，
∴BM＝＝7（cm），
∴CN＝4cm，
∴CE＝2CN＝8×4＝8（cm），
故选：B．
7．【解答】解：∵S△ABC＝×4×4＝4，S△ABD＝2×5﹣×5×1﹣×2×2＝7，∴S△ABC＝S△ABD，
故选：B．
8．【解答】解：如图所示，
在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝；
在Rt△DEC中，DC＝cosβ×DE＝，EC＝＝；
∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝5（米）．
故选：C．
9．【解答】解：若每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，依题意得：1+x+x（1+x）＝144．
故选：A．
10．【解答】解：∵a、b是方程x2﹣3x﹣3＝0的两个根，
∴a+b＝3．
故选：A．
二、填空（每题3分，共18分）
11．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x
＝﹣（x2﹣4x+4﹣6）
＝﹣（x﹣2）2+6，
又（x﹣2）2≥8，
∴﹣（x﹣2）2≤4，
∴当x＝2时，y有最大值．
故答案为：2．
12．【解答】解：由表格可得共有25种情况，两个数相同的有5种情况．故答案为（8，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，7）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（4，4）（1，7）（2，3）（3，3）（4，2）（5，3）（6，2）（2.8）（3，2）（4，2）（5，6）（1，1）（8，1）（3，5）（4，1）（8，1）13．【解答】解：∵点（m+3，2）和点（2，，
∴2（m+4）＝3×，
∴m＝﹣5．
故答案为：﹣6．
14．【解答】解：如图；
①作∠ADE＝∠B；②作DE′∥BC．
因此共有2种作法，
故答案为：2．
15．【解答】解：如图，连接EA，
设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，
∴AE＝2cos30°•a＝a，EC＝a，
则AC＝2a，
∴AE2+CE2＝AC5，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，
∴∠ECB＝180°，
∴E、C、B共线，
在Rt△AEB中，sin∠ABC＝＝＝．
故答案为：．
16．【解答】解：设正方形的边长为x，则AD＝AB＝x，∴AM＝＝．
∴MF＝AF﹣AM＝AF﹣．
∵dc∥ab，
∴△FMN∽△F AB．
∴．
∴．
∴AF＝．
过点B作BG⊥AE于点G，如图，
∵∠DAB＝∠F AE＝90°，
∴∠DAM+∠MAB＝∠BAG+∠MAB＝90°，∴∠DAM＝∠GAB．
∵∠D＝∠AGB＝90°，
∴△DAM∽△GAB．
∴，，
∴，．
∴AG＝，BG＝．
∵∠E＝45°，BG⊥AE，
∴GE＝BG＝．
∴AE＝AG+GE＝．
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF．
∴＝．
∴x2+2＝（x+3）（x﹣）．
解得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解．
∴正方形的边长为3．
故答案为：5．
三、解答题（第17题6分，第18、19题各8分，共22分）17．【解答】解：原式＝（）8+×﹣（）3＝+6﹣
＝．
18．【解答】解：4x2+7＝4x，
移项，得4x8﹣4x+1＝4，
（2x﹣1）6＝0，
开方，得2x﹣7＝0，
解得：x＝，
即x1＝x2＝．
19．【解答】解：四边形ACBD是矩形，理由如下：∵CD∥MN，
∴∠OCB＝∠CBM，
∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC＝∠CBM，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
同理可证：OB＝OD，
∴OB＝OC＝OD，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB，
∴AB＝CD，
∴四边形ACBD是矩形．
四、（每题8分，共16分）
20．【解答】解：不公平，
理由：如图所示：
，
所有的可能为；（正，（正，（反，（反，
故小明获胜的概率为：，小颖获胜的概率为：，
故此游戏小凡获胜概率大，不公平．
21．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]4﹣4×（k2+k）＝4＞0，∴无论k取何值，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2﹣（4k+1）x+k2+k＝2，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x＝k或x＝k+3．
∴一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+k＝0的两根为k，k+7，
∴或，
如果4+为整数，
∴k＝±1，
如果2﹣为整数，
∴k+4＝±1，
则k为0或﹣8．
∴整数k的所有可能的值为±1，0或﹣4．
22．【解答】解：当a≤14时，如图，P作CD∥y轴交x轴于D，两线交于点C，
∵P（14，1），a），0），
∴C（14，a），8），
∴S△ABP＝14a﹣a3﹣×（a﹣3）×14﹣，
解得：a＝6或a＝12；
当a＞14时，如图，
过P作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，
∵P（14，1），a），0），
∴E（6，1），0），
∴S△ABP＝a2﹣×（a﹣1）×14﹣，
解得：a＝或a＝；
故a的值为3或12或．
六、（本题10分）
23．【解答】解：（1）上面反比例函数图象的名称为双曲线；
故答案为：双曲线；
（2）①∵n＝，
∴mn＝6．
②m≠6．
③∵6＞0，
∴在每一象限内，y随x的增大而减小，
若有m5＜m2＜0＜m4，则n2＜n1＜n7．
④若m与m3互为相反数，则n与n3互为相反数．
⑤若m＜3，当x＞m时或y＞0．
故答案为：6，0，n2＜n4＜n3，n与n3互为相反数，y＜．（3）①如图1，
设A（x，y），
∴x+y＝8，
∴矩形OBAC的面积＝xy＝2，
矩形OBAC的周长＝2x+2y＝7×8＝16；
②存在，如图2，
反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+4有一个交点为点E，EG⊥y轴于点G．七、（本题12分）
24．【解答】（1）解：结论：AF＝CG，AF⊥CG．
理由：如图中，连接CF．
∵四边形ABCD，四边形BFEG是正方形，
∴BD＝AB BF，
∴∠ABF＝∠DBE，＝＝，
∴△DBE∽△ABF，
∴∠BDE＝∠BAF＝45°，
∴∠DAF＝∠BAF＝45°，
∴A，F，C共线，
∴∠ACB＝45°，
∵∠ABC＝∠FBG＝90°，
∴∠ABF＝∠CBG，
∵AB＝BC，BF＝BG，
∴△ABF≌△CBG（SAS），
∴AF＝CG，∠BAF＝∠BCG＝45°，
∴∠ACG＝∠ACB+∠BCG＝90°，
∴AF⊥CG．
故答案为：AF＝CG，AF⊥CG；
（2）证明：由（1）可知，△DBE∽△ABF，
∴＝＝，
∴DE＝AF，
∴∠DAF＝∠BAF＝45°，
∴A，F，C共线，
∴AF⊥BD；
（3）解：∵正方形BFEG是正方形，
∴BF＝EF＝6，
∴BE＝BF＝7，
在Rt△BCE中，∠BCE＝90°＝＝2，∵∠FBE＝∠DBC＝45°，
∴∠FBH＝∠EBC，
∵∠BFH＝∠BCE＝90°，
∴△BFH∽△BCE，
∴＝，
∴＝，
∴BH＝；
（4）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝2，
∵EC＝3，
∴DE＝BC﹣EC＝1，
∵DE＝AF，
∴AF＝，
∵AC＝BC＝4，
∴CF＝AC﹣AF＝4﹣＝，
∵CG＝AF，
∴CG＝．
八、（本题12分）
25．【解答】解：（1）如图1，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠OCD＝30°，
∴OB＝＝＝6，
设直线AB的解析式是：y＝kx+b，
∴，
∴k＝﹣，
∴y＝﹣x+5，
作AG⊥CD于G，
∵∠OCD＝30°，OC＝10，
∴OD＝OC•tan∠OCD＝10＝10，∴AD＝10﹣6＝3，CD＝2OD＝20，
在Rt△ADG中，AD＝4，
∴AG＝AD•sin60°＝5×＝6，
S四边形ABCD＝＝32；
（2）如图6，
由（1）知：AG
∴EF•6，
∴EF＝3，
当E，F相遇前时，
∴DE＝×（20﹣2）＝，
∴DH＝DE＝＝，
∴OH＝OD﹣DH＝10﹣＝，
∴E（，），
当D，E相遇后，
∴DE＝＝，
∴DH＝，HE＝，
∴OH＝10﹣＝，
∴E（，），
综上所述：E（，）或（，）；（3）如图3，
由题意得，
＝，
∴＝，
∴EF＝，
∵n＝﹣m+12，
∴EF＝＝10，
∴DE＝×10＝6，
∴CQ＝CD﹣DE﹣EQ＝20﹣2﹣m＝14﹣m，作QM⊥OC于M，
∴QM＝CQ＝6﹣m QM＝7﹣m，∴OM＝10﹣（8﹣+m
作PN⊥OC于N，
∵PB＝12﹣n，∠ABO＝30°，
∴PN＝PB＝7﹣（﹣m，
BN＝PN＝m，
∴ON＝6﹣，
∵OP经过Q，
∴＝，
∴＝，
∴m＝，
∴PN＝＝，
ON＝6﹣＝，
设OP的解析式是y＝kx，
∴＝，
∴k ＝，
∴y ＝x．
第21页（共21页）。