珲春市第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

珲春市第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a﹣5|，9}，∁U A={5，7}，则实数a的值是（）
A．2 B．8 C．﹣2或8 D．2或8
2．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在（0，2）内的值域是（1，a2），则函数y=f（x）的图象大致是（）
A．B．C．D．
3．若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（）
A．[0，+∞）B．[0，3] C．（﹣3，0] D．（﹣3，+∞）
4．直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若a是f（x）=sinx﹣xcosx在x∈（0，2π）的一个零点，则∀x∈（0，2π），下列不等式恒成立的是（）
A． B．cosa≥
C．≤a≤2πD．a﹣cosa≥x﹣cosx
6．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）
10
A．π4B．π6C．π8D．π
7．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除
C．a，b不能被5整除 D．a，b有1个不能被5整除
8．下列说法中正确的是（）
A．三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．两两相交的三条直线一定在同一平面内
D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内
9．是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于（）
A．667B．668C．669D．670
10．在△ABC中，C=60°，AB=，AB边上的高为，则AC+BC等于（）
A． B．5 C．3 D．
11．若等式（2x﹣1）2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014对于一切实数x都成立，则a0+1+a2+…+a2014=（）
A．B．C．D．0
12．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
×的值为_______．
13．如图所示，圆C中，弦AB的长度为4，则AB AC
【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．14．log 3+lg25+lg4﹣7﹣（﹣9.8）0=．
15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．
16．数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是．
17．设椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是．
18．已知A（1，0），P，Q是单位圆上的两动点且满足，则+的最大值为．三、解答题
19．已知函数f（x）=log a（x2+2），若f（5）=3；
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．
20．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，S2=4，且a2，a5，a14成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）从数列{a n}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{b n}，记该数列的前n项和为T n，求T n的表达式．
21．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图
2．
（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面A1DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BD与平面A1BC所成角的正弦值；
（Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．
22．已知椭圆，过其右焦点F且垂直于x轴的弦MN的长度为b．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知点A的坐标为（0，b），椭圆上存在点P，Q，使得圆x2+y2=4内切于△APQ，求该椭圆的方程．
23．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为10．
（Ⅰ）求棱AA1的长；
（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．
24．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示；
（1）求ω，φ；
（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个
对称点为（，0），求θ的最小值．
（3）对任意的x∈[，]时，方程f（x）=m有两个不等根，求m的取值范围．
珲春市第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由题意可得3∈A，|a﹣5|=3，
∴a=2，或a=8，
故选D．
2．【答案】B
【解析】解：函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在（0，2）内的值域是（1，a2），
则由于指数函数是单调函数，则有a＞1，
由底数大于1指数函数的图象上升，且在x轴上面，可知B正确．
故选B．
3．【答案】D
【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，
易知当x=0时上式不成立；
故a==2x﹣，
令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+=2，
故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，
在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
故作g（x）=2x﹣的图象如下，
，
g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，
故结合图象可知，a＞﹣3时，
方程a=2x﹣有且只有一个解，
即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，
故选：D．
4．【答案】B
【解析】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”，∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题；
￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，
∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题．
故选：B．
5．【答案】A
【解析】解：f′（x）=xsinx，
当x∈（0，π），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（π，2π），f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
又f（0）=0，f（π）＞0，f（2π）＜0，
∴a∈（π，2π），
∴当x∈（0，a），f（x）＞0，当x∈（a，2π），f（x）＜0，
令g（x）=，g′（x）=，
∴当x∈（0，a），g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，当x∈（a，2π），g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，∴g（x）≥g（a）．
故选：A．
【点评】本题主要考查零点的存在性定理，利用导数求最值及计算能力．
6．【答案】B
【解析】
考点：球与几何体
7．【答案】B
【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．
故应选B．
【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．
8．【答案】D
【解析】解：对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误；
对B，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B错误；
对C，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C错误；
对D，由C可知D正确．
故选：D．
9．【答案】C
【解析】
由已知，由得，故选C
答案：C
10．【答案】D
【解析】解：由题意可知三角形的面积为S===AC•BCsin60°，
∴AC•BC=．由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=（AC+BC）2﹣3AC•BC，
∴（AC+BC）2﹣3AC•BC=3，
∴（AC+BC）2=11．
∴AC+BC=
故选：D
【点评】本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，整体法是解决问题的关键，属中档题．11．【答案】B
【解析】解法一：∵，
∴（C为常数），
取x=1得，
再取x=0得，即得，
∴，
故选B．
解法二：∵，
∴，
∴，
故选B．
【点评】本题考查二项式定理的应用，定积分的求法，考查转化思想的应用．
12．【答案】B
【解析】解：函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），
∵点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，
∴m+n=1．
则=（m+n）=2+=4，当且仅当m=n=时取等号．
故选：B．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】8
14．【答案】．
【解析】解：原式=+lg100﹣2﹣1=+2﹣2﹣1=，
故选：
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
15．【答案】．
【解析】解：∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．
∵双曲线方程为x2﹣y2=1，
∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8
又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，
∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4
因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12
∴|PF1|+|PF2|的值为
故答案为：
【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．
16．【答案】2．
【解析】解：∵数据﹣2，﹣1，0，1，2，
∴=，
∴S2=[（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]=2，
故答案为2；
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x
，x2，…x n的平均数，是一道基础题；
1
17．【答案】．
【解析】解：如图，设AC中点为M，连接OM，
则OM为△ABC的中位线，
于是△OFM∽△AFB，且==，
即=可得e==．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，运用中位线定理和三角形相似的性质是解题的关键．
18．【答案】．
【解析】解：设=，则==，的方向任意．
∴+==1××≤，因此最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵f（5）=3，
∴，
即log a27=3
解锝：a=3…
（2）由（1）得函数，
则=…
（3）不等式f（x）＜f（x+2），
即为
化简不等式得…
∵函数y=log3x在（0，+∞）上为增函数，且的定义域为R．
∴x2+2＜x2+4x+6…
即4x＞﹣4，
解得x＞﹣1，
所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得：，解得．
∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
即a n=2n﹣1；
（Ⅱ）由已知得，．
∴T n=b1+b2+…+b n=（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n+1﹣1）
=（22+23+…+2n+1）﹣n=．
【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和的求法，考查了化归与转化思想方法，是中档题．
21．【答案】
【解析】
【分析】（Ⅰ）在图1中，△ABC中，由已知可得：AC⊥DE．在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC，即可证明DE⊥平面A1DC，再利用面面垂直的判定定理即可证明．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设平面A1BC的法向量为，利用，BE与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，利用=
（0＜x＜6），即可得出．
【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，△ABC中，DE∥BC，AC⊥BC，则AC⊥DE，
∴在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC，
又∵A1D∩DC=D，∴DE⊥平面A1DC，
∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1DC，
∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1DC．
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系：A1（0，0，4）B（3，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），
E（2，0，0）．
则，，
设平面A1BC的法向量为
则，解得，即
则BE与平面所成角的正弦值为
（Ⅲ）解：设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，在（2）的坐标系下有：A1（0，0，6﹣x），B（3，x，0），∴==（0＜x＜6），
即当x=3时，A1B长度达到最小值，最小值为．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设F（c，0），M（c，y1），N（c，y2），
则，得y1=﹣，y2=，
MN=|y1﹣y2|==b，得a=2b，
椭圆的离心率为：==．
（Ⅱ）由条件，直线AP、AQ斜率必然存在，
设过点A且与圆x2+y2=4相切的直线方程为y=kx+b，转化为一般方程kx﹣y+b=0，
由于圆x2+y2=4内切于△APQ，所以r=2=，得k=±（b＞2），
即切线AP、AQ关于y轴对称，则直线PQ平行于x轴，
∴y Q=y P=﹣2，
不妨设点Q在y轴左侧，可得x Q=﹣x P=﹣2，
则=，解得b=3，则a=6，
∴椭圆方程为：．
【点评】本题考查了椭圆的离心率公式，点到直线方程的距离公式，内切圆的性质．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设AA1=h，
由题设=﹣=10，
∴
即，解得h=3．
故A1A的长为3．
（Ⅱ）∵在长方体中，A1D1∥BC，
∴∠O1BC为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）．
在△O1BC中，AB=BC=2，A1A=3，
∴AA1=BC1=，=，
∴，
则cos∠O1BC===．
∴异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值为．
【点评】本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离．24．【答案】
【解析】解：（1）根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象，可得
•=，
求得ω=2．
再根据五点法作图可得2•+φ=，求得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）．
（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）=2sin=2sin（2x+2θ﹣）的图象，
∵y=g（x）图象的一个对称点为（，0），∴2•+2θ﹣=kπ，k∈Z，∴θ=﹣，
故θ的最小正值为．
（3）对任意的x∈[，]时，2x﹣∈[，]，sin（2x﹣）∈，即f（x）∈，
∵方程f（x）=m有两个不等根，结合函数f（x），x∈[，]时的图象可得，1≤m＜2．。