2019-2020学年人教A版数学选修4-5课件：第3讲 3 排序不等式

是( )
A．M>N
B．M≥N
C．M<N
D．M≤N
B [由排序不等式，知 M≥N.]
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2．设 a，b，c 为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则 P
与 Q 的大小关系是( )
A．P>Q
B．P≥Q
C．P<Q
D．P≤Q
B [不妨设 a≥b≥c>0，则 a2≥b2≥c2>0，由排序不等式得：a2a ＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a.∴P≥Q.]
教材整理 1 顺序和、乱序和、反序和的概念 阅读教材 P41～P42“探究”以上部分，完成下列问题． 设 a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn 为两组实数，c1， c2，…，cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排列，则称 ai 与 bi(i＝1,2，…， n)的相同顺序相乘所得积的和 a1b1＋a2b2＋…＋anbn 为顺序和， 和 a1c1＋a2n_＋__a_2b_n_－_1_＋__…__＋__a_nb_1_称为反序和．
[精彩点拨] 这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济 损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知 道若维修第一台用时间 t1 min 时，三台电脑等候维修的总时间为 3t1 min，依此类推，等候的总时间为 3t1＋2t2＋t3 min，求其最小值即可．
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利用排序不等式求解简单的实际问题
【例 4】 若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对其维修分别需 要 45 min,25 min 和 30 min，每台电脑耽误 1 min，网吧就会损失 0.05 元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降 到最小？
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利用排序不等式求最值
【例 3】 设 A，B，C 表示△ABC 的三个内角，a，b，c 表示其 对边，求aAa＋＋bbB＋＋ccC的最小值(A，B，C 用弧度制表示)．
[精彩点拨] 不妨设 a≥b≥c＞0，设法构造数组，利用排序不等 式求解．
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教材整理 2 排序不等式 阅读教材 P42～P44，完成下列问题． 设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn 为两组实数，c1，c2，…，cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排列，则 a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1 ≤_a_1_c1_＋__a_2_c_2＋__…__＋__a_n_c_n_≤ a1b2＋a2b2＋…＋anbn ，当且仅当 a1＝a2 ＝…＝an 或 b1＝b2＝…＝bn 时，反序和等于顺序和，此不等式简记为 __反__序__和___≤ 乱序和 ≤顺序和.
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2．设 a1，a2，…，an 为正数，求证：aa212＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1 ＋a2＋…＋an.
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[证明] 不妨设 0＜a1≤a2≤…≤an，则 a21≤a22≤…≤a2n，a11≥a12≥…≥a1n. 由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以 aa212＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a21·a11＋a22·a12＋…＋a2n·a1n，即 aa212＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1＋a2＋…＋an.
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合作探究 提素养
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用排序不等式证明不等式(字母大小已定)
【例 1】 已知 a，b，c 为正数，a≥b≥c，求证： (1)b1c≥c1a≥a1b； (2)ba2c22＋cb2a22＋ac2b2 2≥a12＋b12＋c12. [精彩点拨] 由于题目条件中已明确 a≥b≥c，故可以直接构造 两个数组．
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∴b31c3≥a31c3≥b31a3，由顺序和≥乱序和得 ba3c53＋ab3c53＋bc3a5 3≥bb3c53＋ac3c5 3＋ba3a5 3 ＝bc32＋ac23＋ab23， ∴ba3c53＋ab3c53＋bc3a5 3≥ac23＋ab23＋bc32.
即按注满时间为 4 min,5 min,6 min,8 min,10 min 依次等水，等待 的总时间最少．
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当堂达标 固双基
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1．已知 x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则 M 与 N 的大小关系
[自主解答] 设 t1，t2，t3 为 25,30,45 的任一排列， 由排序原理知 3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)， 所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最 小．
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1．首先理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型． 2．三台电脑的维修时间 3t1＋2t2＋t3 就是问题的数学模型，从而 转化为求最小值(运用排序原理)．
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字母大小顺序不定的不等式证明
【例 2】 设 a，b，c 为正数，求证：a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2≤bac3 ＋cba3＋acb3 .
[精彩点拨] (1)题目涉及到与排序有关的不等式； (2)题目中没有给出 a，b，c 的大小顺序．解答本题时不妨先设 定 a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．
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[解] 不妨设 x≥y≥z>0，则 x2≥y2≥z2，1z≥1y≥1x. 由排序不等式，乱序和≥反序和． xy2＋yz2＋zx2≥x2·1x＋y2·1y＋z2·1z＝x＋y＋z. 又 x＋y＋z＝1，xy2＋yz2＋zx2≥1， 当且仅当 x＝y＝z＝13时，等号成立． 故 t＝xy2＋yz2＋zx2的最小值为 1.
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3．已知两组数 1,2,3 和 4,5,6，若 c1，c2，c3 是 4,5,6 的一个排列， 则 c1＋2c2＋3c3 的最大值是________，最小值是________．
[解析] 由排序不等式，顺序和最大，反序和最小， ∴最大值为 1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为 1×6＋2×5＋ 3×4＝28.
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将上面两式相加得 a2＋c b2＋b2＋a c2＋c2＋b a2≤2bac3＋cba3＋acb3 ， 将不等式两边除以 2， 得a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2≤bac3＋cba3＋acb3 .
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在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给 出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限 定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限 定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．
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利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明 的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的 两个数组．
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1．本例题中条件不变，求证：ba3c53＋cb3a53＋ac3b5 3≥ac23＋ab23＋bc32. [证明] ∵a≥b≥c≥0， ∴a5≥b5≥c5， 1c≥1b≥1a＞0. ∴b1c≥a1c≥b1a，
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1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组． 2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号 不成立，则取不到最值．
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3．已知 x，y，z 是正数，且 x＋y＋z＝1，求 t＝xy2＋yz2＋zx2的最 小值．
所以最少花费为 19 元，最多花费为 25 元．
[答案] 19 25
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5．设 a1，a2，…，an 是 n 个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13 ＋…＋1n≤a1＋a222＋a332＋…＋ann2.
[证明] ∵12＜22＜32＜…＜n2， ∴112＞212＞…＞n12. 设 c1，c2，…，cn 是 a1，a2，…，an 由小到大的一个排列，即 c1 ＜c2＜c3＜…＜cn，
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4．有 5 个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这 5 个人的水桶需要时间分别是 4 min,8 min,6 min，10 min，5 min，那么 如何安排这 5 个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？
[解] 根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为 4×5＋ 5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．
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根据排序原理中，反序和≤乱序和， 得 c1＋2c22＋3c32＋…＋ncn2≤a1＋a222＋a332＋…＋ann2， 而 c1，c2，…，cn 分别大于或等于 1,2，…，n， ∴c1＋2c22＋3c32＋…＋ncn2≥1＋222＋332＋…＋nn2 ＝1＋12＋…＋1n， ∴1＋12＋13＋…＋1n≤a1＋a222＋…＋ann2.
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[自主解答] 不妨设 0<a≤b≤c，则 a3≤b3≤c3， 0<b1c≤c1a≤a1b， 由排序原理：乱序和≤顺序和，得 a3·c1a＋b3·a1b＋c3·b1c≤a3·b1c＋b3·c1a＋c3·a1b， a3·a1b＋b3·b1c＋c3·c1a≤a3·b1c＋b3·c1a＋c3·a1b.
第七页，编辑于星期六：二十三点 三十三分。
[自主解答] (1)∵a≥b>0，于是1a≤1b. 又 c>0，∴1c>0，从而b1c≥c1a， 同理，∵b≥c>0，于是1b≤1c， ∴a>0，∴1a>0，于是得c1a≥a1b， 从而b1c≥c1a≥a1b.
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(2)由(1)知b1c≥c1a≥a1b>0 且 a≥b≥c>0， ∴b21c2≥c21a2≥a21b2，a2≥b2≥c2. 由排序不等式，顺序和≥乱序和得 ba2c22＋cb2a22＋ac2b2 2≥bb2c22＋cc2a2 2＋aa2b2 2＝c12＋a12＋b12＝a12＋b12＋c12， 故ba2c22＋cb2a22＋ac2b2 2≥a12＋b12＋c12.
[自主解答] 不妨设 a≥b≥c， 则 A≥B≥C. 由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC， 将以上三式相加，得
第二十页，编辑于星期六：二十三点 三十三分。
3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)， 当且仅当 A＝B＝C＝π3时，等号成立． ∴aAa＋＋bbB＋＋ccC≥π3， 即aAa＋＋bbB＋＋ccC的最小值为π3.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
三 排序不等式
第一页，编辑于星期六：二十三点 三十三分。
学习目标：1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等 式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．(重 点、难点)
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自主预习 探新知
第三页，编辑于星期六：二十三点 三十三分。
[答案] 32 28
第三十三页，编辑于星期六：二十三点 三十三 分。
4．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件，5 件和 2 件．现在选择商店中单价分别为 3 元，2 元和 1 元的礼品，则至少要 花________元，最多要花________元．
[解析] 取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为 2×1＋4×2＋ 5×3＝25，反序和为 2×3＋4×2＋5×1＝19.