中考数学中的分类讨论技巧

中考数学中的分类讨论技巧
分类讨论在数学题中经常出现，也是满分率比较低的一种题，同学们在做题的时候经常会犯错误，小题经常忘记分类讨论，大题经常讨论不全，讨论全了结果还不一定对。

所以，这种题很容易不小心丢分。

下面一起来看看中考数学中的分类讨论技巧,希望对广大考生有帮助!
跟老师合学生们交流之后发现，就算是学习成绩很好的同学在这种题上都会多多少少的出现问题，因此我们在考试当中一定要养成以下几个好习惯。

首先我们要有分类讨论的意识。

很多知识点是分类讨论的常客，对于这些知识点，同学们在考试时要保持高度的敏感，时刻紧绷分类讨论的弦，以免掉进出题老师的陷阱。

其次，分类讨论是要有一定原则，不要东一榔头西一棒子的的试，要具备一定的条理。

分类的原则：
(1)分类中的每一部分是相互独立的;
(2)一次分类按一个标准;
(3)分类讨论应逐级有序进行。

以探寻直角坐标系中等腰直角三角形存在的问题来说，如果给定两个点A、B，需要在X轴上找第三个点C使得这个三角形ABC是等腰直角三角形，这个时候同学们可以线段来分类讨论：AB为斜边时，AC为斜边或时BC为斜边时点C的坐标。

这样讨论保证不会丢掉任何一种可能性，并且效率较高。

当然也可以按照角来讨论，但是注意不要两种分类方法穿插进行。

有些时候有可能会进行二次讨论，这个时候对于同学们的条理性要求就更大了，例如探讨含有30°角的直角三角形时，要先讨论那个角是直角，在讨论哪个角是30°或60°。

第三，在列出所有需要讨论的可能性之后，要仔细审查是否每种可能性都会存在，是否有需要舍去的，最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根，那么我们就要看看是不是这两个根都能保留。

同样有些时候也需要注意是否有些讨论结果重复，需要进行合并。

例如直角坐标系中求能够成等腰三角形的点坐标，如果按照一定的原则分类讨论后，有可能会出现同一个点上可以构成两个等腰三角形的情况，这种情况下就要进行合并。

也就是说找到的三角形的个数和点的个数是不一样的。

以下几点是需要大家注意分类讨论的：
1、熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决。

在探讨等腰或直角三角形存在时，一定要按照一定的原则，不要遗漏，最后要综合。

2、讨论点的位置，一定要看清点所在的范围，是在直线上，还是在射线或者线段上。

3、图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论
4、代数式变形中如果有绝对值、平方时，里面的数开出来要注意正负号的取舍。

5、考查点的取值情况或范围。

这部分多是考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.
6、函数题目中如果说函数图象与坐标轴有交点，那么一定要讨论这个交点是和哪一个坐标轴的哪一半轴的交点。

7、由动点问题引出的函数关系，当运动方式改变后(比如从一条线段移动到另一条线段)是，所写的函数应该进行分段讨论。

由于考试题目千变万化，上面所列的项目不一定全面，所以还需要同学们在平时做题的时候多多积累。

最后希望同学们在做题的过程中养成不断总结的好习惯，考试中避免出现技术性错误，在中考中取得最好的成绩!
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．﹣3的绝对值是（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．-13
D ．13
2．如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为8 （8＞23r ）的等边三角形内任意运动，则在该边三角形内，这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是（ ）
A ．283r π
B ．24(33)3r π-
C ．8﹣πr 2
D ．（33﹣π）r 2
3．昆明市有关负责人表示，预计年昆明市的地铁修建资金将达到亿元，将亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4．向东行驶5km ，记作+5km ，向西行驶2km 记作（ ）
A ．+2km
B ．﹣2km
C ．+5km
D ．﹣5km
5．如图，△ABC 中，下面说法正确的个数是（ ）个．
①若O 是△ABC 的外心，∠A ＝50°，则∠BOC ＝100°；
②若O 是△ABC 的内心，∠A ＝50°，则∠BOC ＝115°；
③若BC ＝6，AB+AC ＝10，则△ABC 的面积的最大值是12；
④△ABC 的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．如图，矩形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝4，按以下步骤作图：以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交AB ，BC 于点E ，F ；再分别以点E ，F 为圆心，大于
12
EF 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 内部相交于点H ，作射线BH ，交DC 于点G ，则DG 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．分式方程的解是( )
A. B. C. D.
8．如图，菱形ABCD的边长为1，点M、N分别是AB、BC边上的中点，点P是对角线AC上的一个动点，则MP PN
的最小值是（）
A．1
2
B．1 C．2D．2
9．关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，则另一根为（）
A．1 B．﹣2 C．2 D．3
10．如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3=7：2：1，则∠α的度数为（）．
A.126°
B.110°
C.108°
D.90°
11．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝6，H是AF的中点，那么CH的长是（）
A．2.5 B．5C．5D．45
12．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°．其中正确的结论是（）
A ．①③
B ．②④
C ．①③④
D ．①②③④
二、填空题 13．如图，将一个直角的顶点P 放在矩形ABCD 的对角线BD 上滑动，并使其一条直角边始终经过点A ，另一条直角边与边BC 相交于点E ．且AD ＝8，DC ＝6，则＝_____．
14．已知：在ABC △中，90,ACB AC BC ∠=︒=，过点C B 、分别向过点A 的直线m 作CE m ⊥于E ，BF m ⊥于F ，若3,2AE CE ==.则BF 的长为______.
15．若13x y =，则+-x y x y
＝_____． 16．计算432x x ⋅的结果等于__________．
17．若解分式方程2044x a x x
-=--时产生增根，则a =__________． 18．如图所示，直线y=12x 分别与双曲线y=1k x
（k 1＞0，x ＞0）、双曲线y=2k x （k 2＞0，x ＞0）交于点A ，点B ，且OA=2AB ，将直线向左平移4个单位长度后，与双曲线y=
2k x 交于点C ，若S △ABC =1，则k 1k 2的值为_____．
三、解答题
19．某农场造一个矩形饲养场ABCD ，如图所示，为节省材料，一边靠墙(墙足够长)，用总长为77m 的木栏围成一块面积相等的矩形区域：矩形AEGH ，矩形HGFD ，矩形EBCF ，并在①②③处各留1m 装门(不用木栏)，设BE 长为x(m)，矩形ABCD 的面积为y(m 2)
(1)∵S 矩形AEGH ＝S 矩形HGFD ＝S 矩形EBCF ，∴S 矩形AEFD ＝2S 矩形EBCF ，∴AE ：EB ＝ ．
(2)求y 关于x 的函数表达式和自变量x 的取值范围．
(3)当x 为何值时，矩形ABCD 的面积有最大值？最大值为多少？
20．（1）化简求值：
2
111
11
x
x x x
-
⎛⎫
-⋅
⎪
-+
⎝⎭
，其中5
x=.；（2）计算：﹣22+8+（37﹣2007）0﹣
4sin45°
21．如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：AQ•PQ＝B Q•OQ；
（3）设∠P＝α，若tanɑ＝3
4
，AQ＝3，求AB的长．
22．如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（8，0），C（8，4）．
（1）试说明四边形AOBC是矩形．
（2）在x轴上取一点D，将△DCB绕点C顺时针旋转90°得到△D'CB'（点D'与点D对应）．
①若OD＝3，求点D'的坐标．
②连接AD'、OD'，则AD'+OD'是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值及此时点D'的坐标；若不存在，请说明理由．
23．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；
（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）
24．先化简，再求值：
2
2
269
1
1
a a
a a a
-+
⎛⎫
-÷
⎪
--
⎝⎭
，请你选取一个使原分式有意义的a的值代入求值.
25．世界500强H公司决定购买某演唱会门票奖励部分优秀员工，演唱会的购票方式有以下两种，
方式一：若单位赞助广告费10万元，则该单位所购门票的价格为每张0.02万元（其中总费用＝广告赞助费+门票费）；
方式二：如图所示，设购买门票x张，总费用为y万元
（1）求用购票“方式一”时y与x的函数关系式；
（2）若H、A两家公司分别釆用方式一、方式二购买本场演唱会门票共400张，且A公司购买超过100张，两公司共花费27.2万元，求H、A两公司各购买门票多少张？
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D C B C B C B A C B C
二、填空题
13．
14．1或5
15．-2
16．7
2x
17．﹣8
18．9
三、解答题
19．(1)2：1；(2)y＝﹣12x2+120x(0＜x＜10)；(3)当x＝5m时，y有最大值，最大值为300m2．
【解析】
【分析】
（1）根据矩形面积公式与已知条件“S矩形AEFD=2S矩形EBCF”进行列出方程进行解答；
（2）用x表示出矩形的长与宽，再由面积公式得y与x的函数表达式，根据长与宽的条件限制求出自变量的取值范围便可；
（3）由函数的解析式，根据函数的性质求得结果．
【详解】
（1）∵S矩形AEFD＝2S矩形EBCF，
∴AE•EF＝2BF•EF，
∴AE＝2BF，
∴AE：BF＝2：1，
故答案为：2：1；
（2）∵BE＝x，
∴AE＝HG＝EF＝2x，
根据题意得，EF＝BC＝772233
2
x x
--⨯+
=40-4x，
∴y＝(40﹣4x)•3x，即y＝﹣12x2+120x，
∵0＜BC＜773
2
+
，且0＜AB＜
773
8
3
+
，
∴0＜40﹣4x＜40，且0＜3x＜30，
∴0＜x＜10，
故y＝﹣12x2+120x(0＜x＜10)；
（3）∵y＝﹣12x2+120x＝﹣12(x﹣5)2+300(0＜x＜10)，
∴当x＝5时，y有最大值为：300，
故当x＝5m时，y有最大值，最大值为300m2．
【点睛】
本题是二次函数应用的综合题，主要考查了矩形的性质，矩形的面积计算，列代数式，二次函数的应用，求二次函数的最值．关键是正确表示矩形的长与宽和正确列出函数解析式．
20．（1）25
5
；（2）-3.
【解析】
【分析】
（1）先将括号内的部分通分，再将分子、分母因式分解，然后根据分式的乘除法运算法则进行解答；（2）根据平方、二次根式的化简、0指数幂、特殊角的三角函数值进行解答．
【详解】
解：（1）
22
2
111212
111
x x
x x x x x x
--
⎛⎫
-⋅=⋅= ⎪
-+-
⎝⎭
当x ＝5时，原式＝22555
=； （2）20228(372007)4sin 454221432︒-++--=-++-⨯
=-; 【点睛】
本题考查了分式的化简求值、实数的运算、0指数幂、特殊角的三角函数值，都是基础内容，要认真运算．
21．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
12105 【解析】
【分析】
（1）易证△PAO ≌△PBO （SSS ），根据全等三角形的性质结合切线的性质，即可得出∠PBO ＝90°，进而即可证出PB 是⊙O 的切线；
（2）根据同角的补角相等可得出∠AOQ ＝∠APB ，根据等腰三角形及全等三角形的性质可得出∠ABQ ＝∠OPQ ，结合∠AQB ＝∠OQP 即可证出△QAB ∽△QOP ，根据相似三角形的性质可得出
AQ BQ OQ PQ
=，即AQ•PQ＝BQ•OQ；
（3）设AB 与PO 交于点E ，则AE ⊥PO ，通过解直角三角形可求出OA 的长度，结合（2）的结论可得出PQ 的长度，利用勾股定理可得出PO 的长度，利用面积法即可得出AE 的长度，进而即可求出AB 的长度．
【详解】 （1）证明：在△PAO 和△PBO 中，PA PB AO BO PO PO =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△PAO ≌△PBO （SSS ），
∴∠PBO ＝∠PAO ．
∵PA 是⊙的切线，A 是切点，
∴∠PAO ＝90°，
∴∠PBO ＝90°，
∴PB 是⊙O 的切线．
（2）证明：∵∠APB+∠PAO+∠AOB+PBO ＝360°，
∴∠APB+∠AOB ＝180°．
又∵∠AOQ+∠AOB ＝180°，
∴∠AOQ ＝∠APB ．
∵OA ＝OB ，
∴∠ABQ ＝∠BAO ＝12
∠AOQ ． ∵△PAO ≌△PBO ， ∴∠OPQ ＝∠OPB ＝
12∠APB ，
∴∠ABQ＝∠OPQ．又∵∠AQB＝∠OQP，∴△QAB∽△QOP，
∴AQ BQ
OQ PQ
=，即AQ•PQ＝BQ•OQ．
（3）解：设AB与PO交于点E，则AE⊥PO，如图所示．∵∠AOQ＝∠APB，
∴tan∠AOQ＝3
4
．
在Rt△OAQ中，∠OAQ＝90°，tan∠AOQ＝3
4
，AQ＝3，
∴AO＝4，OQ＝225
AQ AO
+=，∴BQ＝BO+OQ＝9．
∵AQ•PQ＝BQ•OQ，
∴PQ＝15，
∴PA＝PQ﹣AQ＝12，
∴PO＝22
PA AO410
+=．
由面积法可知：AE＝
610
5
PA AD
PQ
⋅
=，
∴AB＝2AE＝1210
5
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、三角形的面积以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质找出∠PBO＝∠PAO＝90°；（2）根据相似三角形的判定定理找出△QAB∽△QOP；（3）利用面积法求出AE的长度．
22．（1）见解析；（2）①D'的坐标为（4，9），②AD'+OD'的最小值是80或45，点D'的坐标是（4，2）．【解析】
【分析】
（1）根据矩形的判定证明即可；
（2）①当点D在原点右侧时，根据旋转的性质和矩形的性质解答即可；②当点D在原点左侧时，根据旋
转的性质和矩形的性质解答即可．
【详解】
（1）∵A（0，4），B（8，0），C（8，4）．
∴OA＝4，BC＝4，OB＝8，AC＝8，
∴OA＝BC，AC＝OB，
∴四边形AOBC是平行四边形，
∵∠AOB＝90°，
∴▱AOBC是矩形；
（2）∵▱AOBC是矩形，
∴∠ACB＝90°，∠OBC＝90°，
∵△D'CB'将△DCB绕点C顺时针旋转90°得到（点D'与点D对应），
∴∠D'B'C＝∠DBC＝90°，B'C＝BC＝4，D'B'＝DB，∠BCB'＝90°，
即点B'在AC边上，
∴D'B'⊥AC，
①如图1，当点D在原点右侧时：D'B'＝DB＝8﹣3＝5，
∴点D'的坐标为（4，9）；
②如图2，当点D在原点左侧时：D'B'＝DB＝8+3＝11，
∴点D'的坐标为（4，15），
综上所述：点D'的坐标为（4，9）或（4，15）．
AD'+OD'的最小值是80（或45），
点D'的坐标是（4，2）．
【点睛】
此题考查四边形的综合题，关键是根据旋转的性质和矩形的性质解答．
23．（1）连接杆DE的长度为310cm（2）这个过程中点E滑动的距离为（16﹣74）cm
【解析】
【分析】
（1）作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中用三角函数算出DH和BH，再求出EH，在三角形DEH中用勾股定理即可求得DE；（2）作DH⊥AB的延长线于点H，在Rt△DBH和Rt△DEH中，用三角函数分别求出BH，DH，EB 的长，从而可求得点E滑动的距离．
【详解】
（1）如图①，作DH ⊥BE 于H ，
在Rt △BDH 中，∠DHB ＝90°，BD ＝5，∠ABC ＝37°， ∴5DH = sin37°，5
BH ＝cos37°， ∴DH ＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm ），BH ＝5cos37°＝5×0.8＝4（cm ）．
∵AB ＝BC ＝15cm ，AE ＝2cm ，
∴EH ＝AB ﹣AE ﹣BH ＝15﹣2﹣4＝9（cm ），
∴DE ＝222239310DH EH (cm)+=+=
答：连接杆DE 的长度为310 cm ．
（2）如图②，作DH ⊥AB 的延长线于点H ，
∵∠ABC ＝127°，
∴∠DBH ＝53°，∠BDH ＝37°，
在Rt △DBH 中，
5
BH BH BD =＝sin37°＝0.6， ∴BH ＝3cm ，
∴DH ＝4cm ，
在Rt △DEH 中，EH 2+DH 2＝DE 2，
∴（EB+3）2+16＝90，
∴EB ＝（743-）（cm ），
∴点E 滑动的距离为：15﹣（743-）﹣2＝（16﹣74）（cm ）．
答：这个过程中点E 滑动的距离为（16﹣74）cm ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，正确构造直角三角形是解决问题的关键.
24．-2
【解析】
【分析】
先将分式化简，再选择适当的a 值代入求值即可.
【详解】
2226911a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭
, =2
12(1)()11(3)a a a a a a ---⨯---, =2
3(1)1(3)a a a a a --⨯--， =3
a a -， 当a=2时，原式=
223-=-2 【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
25．（1）y ＝10+0.02x ；（2）H 、A 两公司购买门票分别为270张和130张
【解析】
【分析】
（1）方式一中，总费用＝广告赞助费10+门票单价0.02×票的张数；
（2）方式二中，当x ＞100时，设出一次函数解析式，把其中两点的坐标代入即可求得相应的函数解析式；设A 公司购买了a 张门票，则H 公司购买了（400﹣a ）张门票，进而根据（1）得A 公司的总费用，再根据两公司共花费27.2万元，列出方程解答便可．
【详解】
解：（1）方式一：单位赞助广告费10万元，该单位所购门票的价格为每张0.02万元，则y ＝10+0.02x ；
（2）方式二：当x ＞100时，设解析式为y ＝kx+b ．
将（100，10），（200，16）代入，
得1001020016k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得 k 0.06b 4
=⎧⎨=⎩， 所以y ＝0.06x+4．
设A 公司购买了a 张门票，则H 公司购买了（400﹣a ）张门票，根据题意得：
0,06a+4+[10+0.02（400﹣a ）]＝27.2，
解得：a ＝130，
∴400﹣a ＝270，
答：H 、A 两公司购买门票分别为270张和130张．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，及一元一次方程解决实际问题的运用，在解答的过程中求出一次函数的解析式y ＝0.06x+4．是解答的关键，根据自变量不同的取值，对总门票费分情况进行探讨是解决本题的易错点．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，，交于点，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
2．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8cm ．动点D 从点C 出发，沿线段CB 以2cm/s 的速度向点B 运动，同时动点O 从点B 出发，沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t （s ），以点O 为圆心，OB 长为半径的⊙O 与BA 交于另一点E ，连接ED ．当直线DE 与⊙O 相切时，t 的取值是（ ）
A. B. C. D.
3．如图，矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接BD 交AF 于H ，AD=102，且tan ∠EFC=24
，那么AH 的长为（ ）
A ．1063
B ．52
C ．10
D ．5
4．如图，//AB CD ，150∠=°，245∠=︒，则CAD ∠的大小是（ ）
A ．75︒
B ．80︒
C ．85︒
D ．90︒
5．下列形状的地砖中，不能把地面作既无缝隙又不重叠覆盖的地砖是（）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．长方形
6．如图，将长16cm，宽8cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长为（）cm．
A．6 B．45C．10 D．25
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再
分别以点M、N为圆心，以大于1
2
MN的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D，若AC=4，
BC=3，则CD的长为（）
A.3
2
B.
4
3
C.
3
4
D.
5
3
8．已知三角形ABC的三个内角满足关系∠B＋∠C=3∠A，则此三角形( ).
A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形
9．如图，DE∥MN，Rt△ABC的直角顶点C在DE上，顶点B在MN上，且BC平分∠ABM，若∠A＝58°，则∠BCE的度数为（）
A．29°B．32°C．58°D．64°
10．如图，四边形纸片ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折得到△FMN.若MF∥AD，FN ∥DC，则∠B等于（）
A．70°B．90°C．95°D．100°
11．一组数1，1，2，3，5，8，13是“斐波那契数列”的一部分，若去掉其中的两个数后这组数的中位
数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（ ）
A ．2，5
B ．1，5
C ．2，3
D ．5，8
12．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ）
A ．（a+b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2
B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 2
C ．（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2
D ．（a+b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab
二、填空题 13．定义：对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为22时，称点M 为PQ 的等高点”，称此时MP+MQ 的值为PQ 的“等高距离”．已知P （1，2），Q （3，4），当PQ 的“等高距离”最小时，则点M 的坐标为_____．
14．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．设共有x 个队参加比赛，则依题意可列方程为__________．
15．如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别交于A ，B 两点，过点B 作BC ⊥AB 交直线a 于点C ，若∠1＝35°，则∠2＝_____度．
16．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝10，DA ＝，则BD 的长为_______．
17．如图，线段1AC n =+(其中n 为正整数)，点B 在线段AC 上，在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ，连接AM 、ME 、EA 得到AME ∆．当1AB =时，AME ∆的面积记为1S ；当2AB =时，
AME ∆的面积记为2S ；
当3AB =时，AME ∆的面积记为3S ；…当AB n =时，AME ∆的面积记为n S ．当2n ≥时，1n n S S --=______．
18．计算：（﹣1）2﹣38-＝_____．三、解答题
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EF⊥AB于点F，交AC于点E，且AF＝BF，若AB＝10，3
sin
5
A=．求线段EF长．
20．今年，某社区响应泰州市政府“爱心一日捐”的号召，积极组织社区居民参加献爱心活动．为了解该社区居民捐款情况，对社区部分捐款户数进行分组统计（统计表如下），数据整理成如图所示的不完整统计图．请结合图中相关数据回答下列问题：
捐款分组统计表
组别捐款额（x）元
A 10≤x＜100
B 100≤x＜200
C 200≤x＜300
D 300≤x＜400
E x≥400
（1）本次调查的样本容量是多少？
（2）求出C组的频数并补全捐款户数条形统计图．
（3）若该社区有1000户住户，请估计捐款不少于200元的户数是多少？
21．先化简，再求值：
2
11
(1)
224
m
m m
-
+÷
--
，其中m＝3﹣2．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC，垂足为点H，连接DE，交AB于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，
①当AE＝FE时，求AD的长（结果保留π）；
②当
6
sin
4
B=时，求线段AF的长．
23．某特产店出售大米，一天可销售20袋，每袋可盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，决定采取降价措施，据统计发现，若每袋降价2元，平均每天可多售4袋．
（1）设每袋大米降价为x（x为偶数）元时，利润为y元，写出y与x的函数关系式．
（2）若每天盈利1200元，则每袋应降价多少元？
（3）每袋大米降价多少元时，商店可获最大利润？最大利润是多少？
24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的基础上，过点P画PE∥AC交BC边于E，联结EQ，则四边形APEQ是什么特殊四边形？证明你的结论．
25．北京时间2019年3月10日0时28分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将中星6C卫星发射升空，卫星进入预定轨道.如图，火星从地面C处发射，当火箭达到A点时，从位于地面雷达站D处测得DA的距离是6km，仰角为42.4︒；1秒后火箭到达B点，测得DB的仰角为45.5︒.(参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，
tan45.5°≈1.02)
(Ⅰ)求发射台与雷达站之间的距离CD；
(Ⅱ)求这枚火箭从A到B的平均速度是多少(结果精确到0.01)？
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A C C C B B A B C A B
二、填空题
13．（4，1）或（0，5）．
14．
(1)
15 2
x x-
=
15．55 16．
17．21 2 n-
18．3 三、解答题
19．EF=15 4
【解析】【分析】
由已知AF=BF，AB=10，可以求出AF的长，由sinA＝
3
5
EF
AE
=，用同一未知数表示出AE，EF，用勾股定理
列方程即可求出．
【详解】
解：∵AF＝BF，AB＝10，
∴
1
AB5
2
AF==
又EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
在Rt△AFE中sinA＝
3
5 EF
AE
=，
设EF ＝3x ，那么AE ＝5x ，
根据勾股定理有（5x ）2﹣（3x ）2＝52，
∴x ＝54
， ∴5153344EF x ==⨯
=； 【点睛】
此题主要考查了解直角三角形和勾股定理应用，用同一未知数表示出AE ，EF ，是解决问题的关键．
20．（1）50；（2）C 组的频数是：50×40%＝20；图见解析；（3）760.
【解析】
【分析】
(1)根据样本的容量=A 、B 两组捐款户数÷A、B 两组捐款户数所占的百分比即可求出
(2)C 组的频数=样本的容量×C 组所占的百分比,进而可以补全捐款户数条形统计图;
(3)捐款不少于200元的有C 、D 、E 、两组,捐款不少于200元的户数=1000×D、E 两组捐款户数所占的百分比;
【详解】
解：（1）调查样本的容量是：
（10+2）÷（1﹣40%﹣28%﹣8%）＝50；
（2）C 组的频数是：50×40%＝20；补全捐款户数条形统计图如图所示：
（3）估计捐款不少于200元的户数是：1000×（28%+8%+40%）＝760户．
【点睛】
此题综合考查了频数(率)分布表，扇形统计图，用样本估计总体，频数(率)分布直方图和扇形统计图，需要熟悉以上考点才能解答出此题
21．31+.
【解析】
【分析】 先根据分式的运算法则对原式进行化简，再把32m =
-代入化简结果即可. 【详解】
原式=21(1)(1)222(2)m m m m m m -+-⎛⎫+÷ ⎪---⎝⎭= 12(2)·2(1)(1)m m m m m ---+-= 21m + 当32m =-时，原式=222(31)31(32)131(31)(31)
+===+-+--+
【点睛】
此题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算的法则和运算顺序是解答此题的关键.
22．（1）详见解析；（2）①8
5
π
；②
4
3
【解析】
【分析】
（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线；（2）①根据等腰三角形的性质的∠EAF＝∠EAF，设∠B＝∠C＝α，得到∠EAF＝∠EFA＝2α，根据三角形的内角和得到∠B＝36°，求得∠AOD＝72°，根据弧长公式即可得到结论；
②连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ADC＝90°，解直角三角形得到AD＝26，根据相似三角形的性质得到AH＝3，于是得到结论．
【详解】
证明：（1）连接OD，如图1，
∵OB＝OD，
∴△ODB是等腰三角形，
∠OBD＝∠ODB①，
在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB②，
由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是圆O的切线；
（2）①∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EAF，
设∠B＝∠C＝α，
∴∠EAF＝∠EFA＝2α，
∵∠E＝∠B＝α，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠B＝36°，
∴∠AOD＝72°，
∴AD的长＝7248 1805
ππ
⋅⨯
=；
②连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵⊙O的半径为4，
∴AB＝AC＝8，
∵
6 sin
4
B=，
∴
6 84 AD
=，
∴AD＝26，
∵AD⊥BC，DH⊥AC，∴△ADH∽△ACD，
∴AH AD AD AC
=，
∴AH26
8
26
=，
∴AH＝3，
∴CH＝5，
∵∠B＝∠C，∠E＝∠B，
∴∠E＝∠C，
∴DE＝DC，∵DH⊥AC，
∴EH＝CH＝5，
∴AE＝2，
∵OD∥AC，
∴∠EAF＝∠FOD，∠E＝∠FDO，∴△AEF∽△ODF，
∴AF AE OF OD
=，
∴
AF2
4AF4
=
-
，
∴AF＝4
3
．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．（1）y=-2x2+60x+800（2）x=20（3）x=14或16时获利最大为1248元
【解析】
【分析】
（1）根据题意设出每天降价x 元以后，准确表示出每天大米的销售量，列出利润y 关于降价x 的函数关系式；
（2）根据题意列出关于x 的一元二次方程，通过解方程即可解决问题；
（3）运用函数的性质即可解决．
【详解】
（1）当每袋大米降价为x （x 为偶数）元时，利润为y 元，
则每天可出售20+4×2
x =20+2x ； 由题意得：y=（40-x ）（20+2x ）
=-2x 2
+80x-20x+800
=-2x 2+60x+800；
（2）当y=1200时，-2（x-15）2+1250=1200，
整理得：（x-15）2=25，
解得x=10或20但为了尽快减少库存，所以只取x=20，
答：若每天盈利1200元，为了尽快减少库存，则应降价20元；
（3）∵y=-2（x-15）2+1250=1200，
解得x=15，
∵每袋降价2元，
则当x=14或16时获利最大为1248元．
【点睛】
题考查了二次函数及一元二次方程在现实生活中的应用问题；解题的关键是准确列出二次函数解析式，灵活运用函数的性质解题．
24．（1）见解析；（2）四边形APEQ 是菱形．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用尺规作出∠ABC 的角平分线即可．
（2）利用全等三角形的性质证明PA=PE ，再证明AP=AQ ，即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图，射线BQ 即为所求．
（2）结论：四边形APEQ 是菱形．
理由：∵AD ⊥BC ，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C ，
∵PE ∥AC ，
∴∠PEB=∠C ，
∠BAP=∠BEP ，
∵BP=BP ，∠ABP=∠EBP ，
∴△ABP ≌△EBP （AAS ），
∴PA=PE ，
∵∠AQP=∠QBC+∠C ，∠APQ=∠ABP+∠BAP ，
∴∠APQ=∠AQP ，
∴AP=AQ ，
∴PE=AQ ，
∵PE ∥AQ ，
∴四边形APEQ 是平行四边形，
∵AP=AQ ，
∴四边形APEQ 是菱形．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．(Ⅰ)发射台与雷达站之间的距离CD 约为4.44km ；(Ⅱ)这枚火箭从A 到B 的平均速度大约是0.51/km s .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)在Rt △ACD 中，根据锐角三角函数的定义，利用∠ADC 的余弦值解直角三角形即可；(Ⅱ)在Rt △BCD 和Rt △ACD 中，利用∠BDC 的正切值求出BC 的长，利用∠ADC 的正弦值求出AC 的长，进而可得AB 的长，即可得答案.
【详解】
(Ⅰ)在Rt ACD 中，6DA km =，42.4A CD ADC cos DC AD
∠∠=︒=，
≈0.74， ∴()642.4 4.44km CD AD cos ADC cos ∠=⋅=⨯︒≈.
答：发射台与雷达站之间的距离CD 约为4.44km . (Ⅱ)在Rt BCD 中， 4.44km 45.5,BC CD BDC tan BDC CD
∠∠==︒=，， ∴()4.4445.5 4.44 1.02 4.5288km BC CD tan BDC tan ∠=⋅=⨯︒≈⨯=.
∵在Rt ACD 中，AC sin ADC AD
∠=， ∴()642.4 4.02km AC AD sin ADC sin ∠=⋅=⨯︒≈.
∴()4.5288 4.020.50880.51km AB BC AC =-=-=≈.
km s.
答：这枚火箭从A到B的平均速度大约是0.51/
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.。