高中数学阶段质量评估1北师大版选修2_21

第一章推理与证明
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含二个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；…；试观察每组内各数之和与其组的编号数n有什么关系( )
A．等于n2B．等于n3
C．等于n4D．等于n(n＋1)
解析：第一组内各数之和为1，第二组内各数之和为3＋5＝8＝23，第3组内各数之和为7＋9＋11＝27＝33，由此猜想：第n组内各数之和为n3.
答案： B
2．给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；
②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
共中结论正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①②错误，③正确．
答案： B
3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( ) A．假设至少有一个钝角
B．假设至少有两个钝角
C．假设没有一个钝角
D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
解析：用反证法对命题的假设就是对命题的否定，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，故选B.
答案： B
4．实数a，b，c不全为0等价于( )
A．a，b，c全不为0
B．a，b，c中最多只有一个为0
C．a，b，c中只有一个不为0
D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0
解析： “不全为0”等价于“至少有一个不为0”． 答案： D
5．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是( ) A.n 2－n ＋6
2 B.n 2－n ＋4
2
C.
n 2－n ＋22
D.
n 2－n
2
解析： 第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，第n －1行n －1个数 ∴1＋2＋…＋(n －1)＝n －
n 2
， ∴第n 行的第3个数为n －
n
2
＋3＝
n 2－n ＋6
2
.
答案： A
6．已知1＋2×3＋3×32
＋4×32
＋…＋n ×3n －1
＝3n
(na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，那
么a 、b 、c 的值为( )
A ．a ＝12，b ＝c ＝14
B ．a ＝b ＝c ＝1
4
C ．a ＝0，b ＝c ＝14
D ．不存在这样的a 、b 、c
解析： ∵已知等式对一切n ∈N ＋都成立， ∴当n ＝1,2,3时也成立．
即⎩⎪⎨⎪⎧
1＝a －b ＋c 1＋2×3＝3
2
a －
b ＋
c 1＋2×3＋3×32＝33a －b ＋c ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
2
，b ＝c ＝1
4
.
答案： A
7．用数学归纳法证明恒等式：1＋2＋3＋…＋n 2
＝n 4＋n 2
2
，则由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等
式左端应添加的项是( )
A ．k 2
＋1
B ．(k ＋1)2
C ．[(k ＋1)＋1]2
D ．(k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
解析： n ＝k 时，左端为1＋2＋3＋…＋k 2
，n ＝k ＋1时，左端为1＋2＋3…＋k 2
＋(k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
.
两式相减，可知等式左端应添加的项是 (k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
.故选D. 答案： D
8．已知x ∈R ＋
，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x
n ≥n ＋1，
则a 的值为( )
A ．2n
B ．n 2
C ．2
2(n －1)
D ．n n
解析： 观察a 与n ＋1的关系：1→2,4→3,27→4，即(2－1)1
→2，(3－1)2
→3，(4－1)3
→4，故(n ＋1－1)n →n ＋1，所以a ＝n n
.
答案： D
9．数列{a n }中，若a 1＝12，a n ＝1
1－a n －1(n ≥2，n ∈N)，则a 2 009的值为( )
A ．－1 B.1
2 C ．1
D ．2
解析： ∵a n ＝11－a n －1，又a 1＝12
，
∴a 2＝
1
1－a 1
＝2. a 3＝1
1－a 2
＝－1. a 4＝
11－a 3＝a 1＝12
. ∴数列{a n }的项是周期性出现，周期为3. ∴a 2 009＝a 669×3＋2＝a 2＝2. 答案： D
10．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2
成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2
成立”．那么，下列命题总成立的是( )
A ．若f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立
B ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立
C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
D．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析：题设中“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．实际上是给出了一个递推关系，从数学归纳法来考虑，∵f(4)≥25成立，∴f(4)≥16成立，即k的基础值为4，所以A、B、C都错误，故选D.
答案： D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．在等差数列{a n}中，有S m＋n＝S m＋S n＋mnd，其中S m，S n，S m＋n，分别是{a n}的前m，n，m＋n项和，用类比推理的方法，在等比数列{b n}中，有__________________．解析：由等差数列到等比数列的运算性质：“和↔积”，“积↔乘方”可猜测在等比数列中有A m＋n＝A m·A n·q mn，事实上，设公比为q，A n为前n项积，则有A m＋n＝b1·b2·b3·…·b m
＋n ＝b1·b1q·b1q2·…·b1q m＋n－1＝b m＋n1·q1＋2＋…＋(m＋n－1)＝b m＋n1q
m＋n－m＋n
2
又A m·A n·q mn＝(b1·b2·…·b m)·(b1·b2·…·b n)·q mn
＝b m1·q1＋2＋…＋(m－1)·b n1·q1＋2＋…＋(n－1)·q mn
＝b m＋n 1·q
m－m
2
＋
n－n
2
＋mn
＝b m＋n
1·
q
m＋n m＋n－
2
故猜测正确．
答案：A m＋n＝A m·A n·q mn，其中A m＋n、A m、A n分别是{b n}的前m＋n，m，n项之积，q为
公比
12．设函数f(x)＝x
x＋2
(x＞0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝x
x＋2
，
f2(x)＝f[f1(x)]＝x
3x＋4
，
f3(x)＝f[f2(x)]＝x
7x＋8
，
f4(x)＝f[f3(x)]＝x
15x＋16
，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N＋且n≥2时，f n(x)＝f[f n－1(x)]＝________________.
解析：由f(x)＝x
x＋2
(x＞0)得，
f 1(x )＝f (x )＝x
x ＋2，
f 2(x )＝f [f 1(x )]＝x 3x ＋4＝x
2
－
x ＋22， f 3(x )＝f [f 2(x )]＝x 7x ＋8＝x 3
－
x ＋23， f 4(x )＝f [f 3(x )]＝
x
15x ＋16
＝
x
4
－
x ＋24
，
…
∴当n ≥2且n ∈N ＋时，
f n (x )＝f [f n －1(x )]＝
x
－
x ＋2.
答案：
x
n
－
x ＋2n
13．平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是___________________．
解析： 平面中的“周长”类比为空间中的“面积”，“平面图形”类比成“空间几何体”，“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”．
答案： 在空间几何体中，表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体与球中，球的体积最大．
14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则f (n )＝_____________.
解析： 由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，
推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，故f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2
－3n ＋1.
又f (1)＝1＝3×12
－3×1＋1， 所以f (n )＝3n 2
－3n ＋1. 答案： 3n 2
－3n ＋1
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知a 是整数，a 2
是偶数．求证：a 是偶数． 证明： (反证法)假设a 不是偶数，即a 是奇数，则设a ＝2n ＋1(n ∈Z )．。