2019-2020学年高中数学课时作业19利用空间向量求角和距离新

课时作业19 利用空间向量求角和距离
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为( )
A ．10
B ．3 C.83 D.103
解析：点P 到平面α的距离d ＝|PA →
·n ||n |＝|－2－4－4|4＋4＋1＝103.
答案：D
2．直三棱锥ABC ­A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )
A.110
B.2
5 C.22 D.3010
解析：根据已知条件，分别以C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA ＝2，则
A (2,0,2)，N (1,0,0)，
B (0,2,2)， A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，M (1,1,0)；
所以BM →
＝(1，－1，－2)， AN →
＝(－1,0，－2)；
所以cos 〈BM →，AN →
〉＝
36×5
＝3010
；
故选D. 答案：D
3．如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )
A.63
B.265
C.
155 D.105
解析：如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，
C (0,2,0)，
D 1(0,0,1)，C 1(0,2,1)，∴BC 1→
＝(－2,0,1)．连接AC ，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，所以
平面BB 1D 1D 的一个法向量为a ＝AC →
＝(－2,2,0)．
∴所求角的正弦值为|cos 〈a ，BC 1→
〉|＝|a ·BC 1→
||a ||BC 1→|＝48×5＝10
5.
答案：D
4．正方形ABCD 所在平面外有一点P ，PA ⊥平面ABCD .若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小为( )
A ．30° B．45° C ．60° D．90°
解析：建系如图，设AB ＝1，
则A (0,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,1)，D (1,0,0)，C (1,1,0)． 平面PAB 的法向量为n 1＝(1,0,0)． 设平面PCD 的法向量n 2＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧
n 2·PD →＝0，n 2
·CD →
＝0，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x －z ＝0，y ＝0.
令x ＝1，则z ＝1.∴n 2＝(1,0,1)， cos 〈n 1，n 2〉＝
12＝
22
. ∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的余弦值为22
. ∴此角的大小为45°. 答案：B
5．已知矩形ABCD 与ABEF 全等，D ­AB ­F 为直二面角，M 为AB 中点，FM 与BD 所成角为θ，且cos θ＝
3
9
，则AB 与BC 的边长之比为( ) A ．1∶1 B.2∶1
C.2∶2 D．1∶2
解析：设AB ＝a ，BC ＝b ，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则相关各点坐标为
F (b,0,0)，M ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，a 2
，0，B (0，a,0)，D (0,0，b )，
FM →
＝⎝
⎛⎭⎪⎫－b ，a 2，0，BD →
＝(0，－a ，b )， 所以|FM →
|＝
b 2
＋a 2
4
，
|BD →|＝a 2＋b 2
，FM →·BD →
＝－a 22，
|cos 〈FM →，BD →
〉|＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－a 2
2b 2
＋a 2
4
×a 2＋b 2
＝
3
9
，
整理得4×b
4
a
4＋5×b 2
a
2－26＝0， 所以AB BC ＝a b ＝22
. 故选C. 答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．直线l 的方向向量a ＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值为________．
解析：设直线l 与平面α所成的角是θ，a ，n 所成的角为β，sin θ＝|cos β|＝|(－2，3，2)·(4，0，1)17×17
＝6
17. 答案：6
17
7．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →
〉＝________. 解析：建立如图所示空间直角坐标系D －xyz ，设正方体棱长为2.
则C (0,2,0)，M (2,0,1)，D 1(0,0,2)，N (2,2,1)． ∴CM →＝(2，－2,1)，D 1N →
＝(2,2，－1)． ∴cos〈CM →，D 1N →
〉＝4－4－13×3＝－1
9.
∴sin〈CM →，D 1N →
〉＝45
9.
答案：459
8．棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是________．
解析：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系
D －xyz ，
则D (0,0,0)，B (a ，a,0)，M ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
a ，0，a 2，A 1(a,0，a )，
所以DB →
＝(a ，a,0)， DM →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，MA 1→
＝⎝
⎛⎭⎪⎫0，0，a 2， 设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧
n ·DB →＝0，
n ·DM →
＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
ax ＋ay ＝0，ax ＋a 2z ＝0，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝－x ，
z ＝－2x ，
令x ＝1，则n ＝(1，－1，－2)， 所以点A 1到平面MBD 的距离为
d ＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪MA 1→·n |n | ＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎝
⎛⎭⎪⎫0，0，a 2·(1，－1，－2)1＋1＋4
＝6
6
a . 答案：
66
a 三、解答题(每小题10分，共20分)
9．正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1的夹角．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ， 则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0，2a )，C 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－
32a ，a 2，2a ，B 1(0，a ，2a )． 方法一 如图，取A 1B 1的中点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，2a ，连接AM ，MC 1，则MC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，0，0，
AB →
＝(0，a,0)，AA 1→
＝(0,0，2a )．
∵MC 1→
·AB →＝0，MC 1→·AA 1→
＝0， ∴MC 1⊥平面ABB 1A 1.
∴∠C 1AM 即直线AC 1与侧面ABB 1A 1的夹角． ∵AC 1→
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32a ，a 2，2a ，AM →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，2a ，
∴AC 1→
·AM →
＝0＋a 24＋2a 2
＝9a 24
.
又|AC 1→|＝
3a 24＋a 24
＋2a 2
＝3a ，|AM →|＝a 2
4＋2a 2
＝3a 2
， ∴cos〈AC 1→
，AM →
〉＝
9a 2
4
3a ·
3a 2
＝
32
. ∴〈AC 1→
，AM →
〉＝30°，即AC 1与侧面ABB 1A 1的夹角为30°.
方法二 AB →
＝(0，a,0)，AA 1→
＝(0,0，2a )． 设侧面ABB 1A 1的法向量为n ＝(λ，x ，y )， 则n ·AB →＝0且n ·AA 1→
＝0， ∴ax ＝0且2ay ＝0，
∴x ＝y ＝0，故n ＝(λ，0,0)． 又AC 1→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
32a ，a 2，2a ，
∴cos〈AC 1，n 〉＝1|AC 1→||n |
＝3a ·|λ|＝－2|λ|.
设AC 1与侧面ABB 1A 1的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈AC 1→
，n 〉|＝1
2，∴θ＝30°，即AC 1
与侧面ABB 1A 1的夹角为30°.
10．如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，CA ＝4，CB ＝4，CC 1＝22，∠ACB ＝90°，点M 在线段A 1B 1上．
(1)若A 1M ＝3MB 1，求异面直线AM 与A 1C 所成角的余弦值； (2)若直线AM 与平面ABC 1所成角为30°，试确定点M 的位置．
解析：(1)分别以CA ，CB ，CC 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示C －xyz ， 则C (0,0,0)，A (4,0,0)，A 1(4,0,22)，B 1(0,4,22)． 因为A 1M ＝3MB 1， 所以M (1,3,22)，
可得A 1C →
＝(－4,0，－22)， AM →
＝(－3,3,22)，
所以cos 〈A 1C →
，AM →
〉＝A 1C →·AM →
|A 1C →||AM →|
＝424×26＝39
39.
所以异面直线AM 与A 1C 所成角的余弦值为3939
. (2)由(1)得B (0,4,0)，B 1(0,4,22)， 所以AB →
＝(－4,4,0)，
AC 1→
＝(－4,0,22)．
设n ＝(a ，b ，c )是平面ABC 1的法向量， 可得⎩⎨⎧
n ·AB →＝－4a ＋4b ＝0，n ·AC 1
→
＝－4a ＋22c ＝0，
取a ＝1，得b ＝1，c ＝2， 所以n ＝(1,1，2)，
而直线AM 与平面ABC 1所成角为30°，可得AM →
与n 所成角为60°或120°， 所以|cos 〈AM →
，n 〉|＝1
2，
设点M 的横坐标为x ， 则AM →
＝(x －4,4－x,22)， 即|AM →·n ||AM →||n | ＝
|1·(x －4)＋1·(4－x )＋2×22|
2(x －4)2
＋(4－x )2
＋8
＝
2
2(x －4)2
＋8＝12
， 解得x ＝2或6.
由M 在线段A 1B 1上可得0≤x ≤4， 故x ＝2，
即点M 为线段A 1B 1的中点时，满足直线AM 与平面ABC 1所成角为30°.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1棱长为a ，则点C 1到平面A 1BD 的距离是( ) A.
22a B.33
a C.3a D.233
a
解析：以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则AC 1→
＝(a ，a ，a )，BC 1→
＝(0，a ，a )，由于AC 1⊥平面A 1BD ，所以点C 1到平面A 1BD 的距离是|AC 1→·BC 1→
||A 1C →|＝
2a
23a ＝
23
3a .故选D. 答案：D
12．如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是平面A 1B 1C 1D 1的中心，则BO
与平面ABC 1D 1
所成角的正弦值为________．
解析：建立空间直角坐标系如图，则B (1,1,0)，O ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
，12，1，
DA 1→
＝(1,0,1)是平面ABC 1D 1的一个法向量．
又OB →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1
2，－1， ∴BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为|OB →·DA 1→
||OB →|·|DA 1→|＝126
2×2＝3
6.
答案：
36
13．如图，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，∠ADE ＝90°，AF ∥DE ，DE ＝DA ＝2AF ＝2.请建立适当的直角坐标系解答下列问题：
(1)求证：AC ∥平面BEF ；
(2)求平面BEF 与平面ABCD 所成角的余弦值．
解析：(1)证明：以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，
则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,0,2)，F (2,0,1)． BF →＝(0，－2,1)，BE →
＝(－2，－2,2)，
AC →
＝(－2,2,0)．
设平面BEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则有n ·BF →＝0，n ·BE →
＝0. 即－2y ＋z ＝0，－2x －2y ＋2z ＝0， 取y ＝1，则z ＝2，x ＝1， 所以n ＝(1,1,2)， 又n ·AC →
＝0， 所以n ⊥AC →
， 又AC ⊄平面BEF ， 所以AC ∥平面BEF .
(2)易知DE →
＝(0,0,2)是平面ABCD 的一个法向量，
cos 〈DE →，n 〉＝|n ·DE →||DE →
||n |
＝|4|1＋1＋22×2
2＝63. 即平面BEF 与平面ABCD 所成角的余弦值为
63. 14．如图1所示，在边长为12的正方形AA ′A ′1A 1中，BB 1∥CC 1∥AA 1，且AB ＝3，BC ＝4，AA ′1分别交BB 1，CC 1于点P ，Q ，将该正方形沿BB 1，CC 1折叠，使得A ′A 1与AA 1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1，请在图2中解决下列问题：
(1)求证：AB ⊥PQ ；
(2)求直线BC 与平面A 1PQ 所成角的正弦值．
解析：(1)证明：由题图1知，CA ′＝AA ′－AB －BC ＝5， BP ＝AB ＝3，CQ ＝AC ＝7，
在题图2中，
因为AB 2＋BC 2＝AC 2，
所以AB ⊥BC ，又B 1B ⊥AB ，B 1B ⊥BC ，
所以，以B 为原点，分别以直线AB ，BC ，BB 1为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则B (0,0,0)，A (3,0,0)，C (0,4,0)，A 1(3,0,12)，P (0,0,3)，Q (0,4,7)，
所以BA →＝(3,0,0)，PQ →
＝(0,4,4)，
因为BA →·PQ →
＝3×0＋0×4＋0×4＝0，
所以BA →⊥PQ →
，
即AB ⊥PQ .
(2)由(1)知，PA 1→＝(3,0,9)，BC →
＝(0,4,0)．
设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1PQ 的法向量，则
⎩⎨⎧ n ·PQ →＝4y ＋4z ＝0，n ·PA 1→＝3x ＋9z ＝0，
取z ＝1，得n ＝(－3，－1,1)，
设直线BC 与平面A 1PQ 所成角为θ，则
sin θ＝|cos 〈n ，BC →
〉|
＝|n·BC
→
| |n||BC
→
|
＝
4
11×4
＝
11 11
.
即直线BC与平面A1PQ所成角的正弦值为
11 11
.。