空间两点间的距离公式导学案 高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

高 二 年级 数学 学科导学案
命题 班级 学号 姓名 得分 课题：空间两点间的距离公式
【学习目标】1．通过推导空间两点间的距离公式，培养直观想象与逻辑推理素养．
2．借助空间两点间的距离公式的应用，培养数学运算素养．
【重点难点】1．会推导空间两点间的距离公式．(重点)
2．能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．(难点)
【学习流程】
◎基础感知
◎探究未知
一、知识点梳理
空间两点间的距离公式
(1)在空间直角坐标系中，任意一点P (x ，y ，z )与原点间的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2．
(2)空间中P (x 1，y 1，z 1)，Q (x 2，y 2，z 2)之间的距离|PQ |＝
(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2． 思考：方程x 2＋y 2＋z 2＝1表示什么图形？
例1.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体对角线长为6，且底面是边长为4，则该正四棱柱的高为( )
A ．9
B ．92
C ．4
D ．2
例2．空间两点P 1(1，2，3)，P 2(3，2，1) 之间的距离为________．
跟踪训练：已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D ＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度．
二、求空间中两点间的距离
方法技巧：利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：
例3.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
跟踪训练1．已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)为△ABC 的三个顶点，求证：△ABC为直角三角形．
三、由距离公式求空间点的坐标
方法技巧：1．空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，而平面上两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例．
2．到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)构成的集合就是线段AB 的中垂面，P是线段AB的中垂面与z轴的交点．
例4.已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．
变式训练：1.若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？
2.本例中，求到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．
四、距离公式的应用
方法技巧：利用距离公式表示，将其转化为函数最值问题，这体现了解析法解决空间问题的一般思路.
例5.如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．
跟踪训练：在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3，4，5)的距离最小，并求出最小值．
◎达标检测
A．9B．3C．29D．29
2．坐标原点到下列各点距离最大的点是()
A．(1，1，1)B．(1，2，2)
C．(2，－3，5)D．(3，0，4)
3．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝26，则实数x的值是()
A．－3或4B．6或2
C．3或－4D．6或－2
4．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________．5．在空间直角坐标系中，求到两定点A(2，3，0)，B(5，1，0)距离相等的点的坐标P(x，y，z)满足的条件．
【总结反思】
1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．
2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．。