高三数学一轮复习课时作业12：§13.1 合情推理与演绎推理

§13.1合情推理与演绎推理
1．(2018·衡水模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是() A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数答案 B
解析A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C，D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以C，D都不正确，只有B正确，故选B. 2．(2018·武汉模拟)观察下列各式：
1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是()
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
答案 B
解析由题中式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n－1项，且第一项为n，则最后一项为3n－2，等式右边均为2n－1的平方．
3．(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案 B
解析 取两个球往盒子中放有4种情况： ①红＋红，则乙盒中红球数加1； ②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1； ④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.
因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机．③和④对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B. 4．(2017·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在
2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，
这可以通过方程2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地不难得到1＋11＋
11＋…等于( )
A.－5－12
B.
5－1
2
C.1＋52
D.1－52
答案 C
解析 设1＋11＋
11＋…
＝x ，则1＋1
x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍.
故1＋1
1＋
11＋…
＝1＋5
2，故选C.
5．(2017·宜昌一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”．
结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是( ) A ．甲、丙 B ．乙、丁 C ．丙、丁 D ．乙、丙
答案 D
解析 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确，故答案为D. 6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；
②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；
④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b |＝|a|·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝a
b
”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B
解析 ①②正确；③④⑤⑥错误．
7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形
数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋1
2n ，
正方形数 N (n,4)＝n 2，
五边形数 N (n,5)＝32n 2－1
2n ，
六边形数 N (n,6)＝2n 2－n …
可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝__________. 答案 1 000
解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测： 当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k
2n ， ∴N (10,24)＝24－22×100＋4－24
2×10
＝1 100－100＝1 000.
8．若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，m ，n ，p 是互不相等的正整数，有__________________．
答案 b m －
n p
·b n －
p m ·b p －
m
n ＝1 解析 类比已知条件中等差数列的等式(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，结合等比数列通
项公式可得出等比数列的结论为：b m －n p ·b n －p m ·b p －m n
＝1. 9．(2017·青岛模拟)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)2
(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝______. 答案
n ＋2
2n ＋2
解析 f (1)＝1－a 1＝1－14＝3
4，
f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝3
4⎝⎛⎭⎫1－19＝23＝46， f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝23⎝⎛⎭⎫1－116＝5
8， 推测f (n )＝n ＋2
2n ＋2.
10．观察下列不等式： 1＋122<32
，
1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …
照此规律，第五个不等式为____________________． 答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<11
6
解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列． 故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<11
6.
11．(2018·济南模拟)设f (x )＝
1
3x ＋3
，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明． 解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋1
31＋3
＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝3
3，
同理可得：f (－1)＋f (2)＝
33，f (－2)＋f (3)＝3
3
， 并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33
. 证明：设x 1＋x 2＝1，
f (x 1)＋f (x 2)
12．(2018·温州模拟)在
Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD
2＝1AB 2＋1AC 2，那么
在四面体A —BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． 解 如图所示，由三角形相似得
1
2
3
3x x +==
==
AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ， ∴
1AD 2＝1
BD ·DC
＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2
AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，
∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2
＝1AB 2＋1AC
2. 猜想，四面体A —BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直， AE ⊥平面BCD ， 则
1AE 2
＝1AB 2＋1AC 2＋1
AD
2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .
∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， AC ⊂平面ACD ，AD ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥平面ACD .
∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴
1AE 2＝1AB 2＋1AF 2
. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1
AD 2，
∴
1AE 2
＝1AB 2＋1AC 2＋1AD
2.
13．(2017·佛山一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128可表示为____________． 答案 26＋27＋…＋212
解析 由题意，如果2n －1是质数，则2n －1(2n －1)是完全数，n ≥2，n ∈N *，∴令n ＝7，可得一个四位完全数为64×(128－1)＝8 128， ∴8 128＝26＋27＋ (212)
14．(2017·厦门模拟)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明： (1)a >0且－2<b
a
<－1；
(2)方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根． 证明 (1)因为f (0)>0，f (1)>0， 所以c >0,3a ＋2b ＋c >0.
由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a >c >0；
再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b <0且2a ＋b >0， 所以－2<b
a <－1.
(2)因为抛物线
f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c
的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－b 3a
，3ac －b 23a ，
又因为－2<b a <－1，所以13<－b 3a <2
3.
因为f (0)>0，f (1)>0，
而f ⎝⎛⎭⎫－b 3a ＝3ac －b 23a ＝－a 2＋c 2－ac 3a
＝－
⎝⎛⎭⎫a －c 22＋3c
2
4
3a
<0，
所以方程f (x )＝0在区间⎝⎛⎭⎫0，－b 3a 与⎝⎛⎭⎫－b
3a ，1内分别有一个实根，故方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．
15．(2017·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积
相等．设由椭圆y2
a2＋x2
b2＝1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．
答案4
3
πb2a
解析椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积．
V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2⎝⎛⎭⎫π×b 2×a －13π×b 2a ＝4
3
πb 2a . 16．(2017·青岛模拟)对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －5
12，请你根据这一发
现，
(1)求函数f (x )的对称中心；
(2)计算f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫42 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017. 解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1， 由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝1
2.
f ⎝⎛⎭⎫12＝13×⎝⎛⎭⎫123－12×⎝⎛⎭⎫122＋3×12－512
＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －5
12的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1. (2)由(1)知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －5
12的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫1
2－x ＝2， 即f (x )＋f (1－x )＝2.
故f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝2， f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 017＝2， f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0142 017＝2， …，
f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＋f ⎝⎛⎭
⎫12 017＝2. 所以f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫42 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝12
×2×2 016＝2 016.。