基于雅可比旋量法的实际工况公差建模

基于雅可比旋量法的实际工况公差建模
张为民;陈灿;李鹏忠;李国伟;胡江敏
【摘要】计算了加载时工作零件的变形量,并将其转变为雅可比旋量修正量,通过对雅可比旋量公差模型在实际工况下的扩充与修正,建立了基于雅可比旋量和实际工
况的装配体公差数学模型,以此定量计算实际工况对产品工作性能及公差设计的影响.通过将此方法在某齿轮泵装配体的公差设计中的应用说明了该方法的有效性.【期刊名称】《计算机集成制造系统》
【年(卷),期】2011(017)001
【总页数】7页(P77-83)
【关键词】雅可比旋量;公差建模;实际工况;装配间隙;产品设计
【作者】张为民;陈灿;李鹏忠;李国伟;胡江敏
【作者单位】同济大学,机械工程学院,上海,200092;同济大学,中德学院,上
海,200092;同济大学,机械工程学院,上海,200092;同济大学,中德学院,上海,200092;同济大学,机械工程学院,上海,200092;同济大学,机械工程学院,上海,200092
【正文语种】中文
【中图分类】工业技术
第 17 卷第 1 期2 011 年 1 月计算机集成制造系统 Computer IntegratedManufacturingSystems Vol.17No.1Jan.2 01 1文章编号：1006-5911(2011)01-0077-07基于雅可比旋量法的实际工况公差建模张为民1,2 ，陈灿 1 ，李鹏忠 2，李国伟1 ，胡江敏 1 (1．同济大学机械工程学院，
上海 200092 ；2．同济大学中德学院，上海 200092)摘要：计算了加载时工作零件的变形量，并将其转变为雅可比旋量修正量，通过对雅可比旋量公差模型在实际工况下的扩充与修正，建立了基于雅可比旋量和实际工况的装配体公差数学模型，以此定量计算实际工况对产品工作性能及公差设计的影响。

通过将此方法在某齿轮泵装配体的公差设计中的应用说明了该方法的有效性。

关键词：雅可比旋量；公差建模；实际工况；装配间隙；产品设计中图分类号：TH124文献标志码：A Tolerance modelingin actualworkingconditionbasedonJacobian-Torsortheory ZHANGWei-min"z,CHENCan1,LI Peng-zhong2,LI Guo-wei',HL,J iang-minl (1.Collegeof Mechanical Engineering,Tongji
University,Shanghai200092,China;2.Chinese-GermanSchoolfor Postgraduate,Tongji University,Shanghai200092,China)Abstract:The deformationof workingpartsunderloadwascalculatedandtranslatedintocorrectionof Jacobian-Tor- sor.Throughextendingandmodifyingthe Jacobian-Torsortolerancemodelin actual workingcondition,anassembly tolerancesmathematicalmodelbasedonJacobian-Torsorandactualworkingconditionwassetup.Therefore,theimpactof actualworkingconditiononworkingperformanceandtolerancedesignwerequ antitativelyexpressed.Theapplicationtotolerancedesignof agearpumpassemblyillustrated the effectivenessof this method. Key words:Jacobian-
Torsor;tolerancemodcling;actualworkingcondition;assemblyclearance;prod uctdesign 0 引言随着数字样机技术的发展，产品开发的质量和效率显著
提高，而数字样机技术在工程阶段的应用还存在不足。

例如公差设计与分
配的功能大多限于标注，或对已标注的公差尺寸链进行统计计算，缺少公差设计在实际工作条件下是否合适的验证。

由于公差设计大多还停留在依据经验或物理样机进行修正的程度上，导致数字样机技术在产品开发全生命周
期中的中断。

因此，在数字样机技术中引入实际工况下公差分析模型的
构造理论和方法，在产品设计的工程化阶段具有重要的意义。

近年来，
国内外学者在公差分析领域进行了大量研究并取得了一些研究成果。

Gao 等
‘ 11 提出用直接线性方法 ( Direct Linearization Method ， DLM)对三维机械装配体进行公差分析；王恒等‘ 23 从虚拟环境下产品模型的特点和
特殊要求出发，提出了一种面向虚拟环境的多层次结构的产品双耦合公差模型；徐旭松等口1 考虑了工艺系统本身几何变动的累积，以齐次坐标变换
来描述装配体中的几何变动传递。

但在对产品数字模型进行公差分析时，忽略了产品实际工作环境（如产品实际使用时承受各种负载及温度变化等）的影响，使数字模型与实际情况有较大的差别。

通常由于产品零部件所
用的材料不收稿日期：2009-11-05 ；修订日期：2009-12-31 。

Received05Nov.2009 ；accepted31 Dec.2009.基金项目：国家自然科学基金
资助项目(50675159) ；国家 863 计划资助项目(2007AA042002) ；德国蒂森克虏伯基金教席资助项目。

Foundation
items:ProjectsupportedbytheNationalNaturalScienceFoundation,China(No. 50675159), the NationalHigh-Tech. R&-DProgram, China(No.
2007AA042002), andthe ThyssenKruppFund, CJermany.第17卷第1期 2 0 1年月计算机集成制造系统 IntegratedManufacturingSystems Vol.17No.1 Jan.2 01 11,2，陈灿，李鹏忠2胡江敏摘要：计算了加载时工作零件的变形量，并将其转变为雅可比旋量修正量，通过对雅可比旋量公差模型在实际工况下的
扩充与修正，建立了基于雅可比旋量和实际工况的装配体公差数学模型，以
此定量计算实际工况对产品工作性能及公差设计的影响。

通过将此方法在某齿
轮泵装配体的公差设计中的应用说明了该方法的有效性。

关键词：雅可比旋量；公差建模；实际工况；装配间隙；产品设计 modelingin actualworkingconditionbasedonJacobian-Torsortheory ZHANG Wei-min"z,CHEN Can1,LI (1.Collegeof Mechanical Engineering,Tongji University,Shanghai200092,China; 2.Chinese-GermanSchoolfor Postgraduate,Tongji University,Shanghai200092,China) Abstract:The deformationof workingpartsunderloadwascalculatedandtranslatedintocorrectionof Jacobian-Tor- sor. Through extendingandmodifyingthe Jacobian-Torsortolerancemodelin actual workingcondition,anassembly tolerancesmathematicalmodelbasedonJacobian-Torsorandactualworkingconditionwassetup.Therefore,the impactof actualworkingconditiononworkingperformanceandtolerancedesignwerequ antitativelyexpressed.The applicationtotolerancedesignof agearpumpassemblyillustrated the effectivenessof this method.
words:Jacobian-
Torsor;tolerancemodcling;actualworkingcondition;assemblyclearance;prod uctdesign引言随着数字样机技术的发展，产品开发的质量和效率显著提高，而数字样机技术在工程阶段的应用还存在不足。

例如公差设计与分配
的功能大多限于标注，或对已标注的公差尺寸链进行统计计算，缺少公差设
计在实际工作条件下是否合适的验证。

由于公差设计大多还停留在依据经验或
物理样机进行修正的程度上，导致数字样机技术在产品开发全生命周期
中的中断。

因此，在数字样机技术中引入实际工况下公差分析模型的构造理论和方法，在产品设计的工程化阶段具有重要的意义。

近年来，国内外学者在公差分析领域进行了大量研究并取得了一些研究成果。

Gao 等‘ 11 提
出用直接线性方法 ( Direct对三维机械装配体进行公差分析；王恒等‘ 23 从虚拟环境下产品模型的特点和特殊要求出发，提出了一种面向虚拟环
境的多层次结构的产品双耦合公差模型积以齐次坐标变换来描述装配体中的
几何变动传递。

但在对产品数字模型进行公差分析时，忽略了产品实际工作环境（如产品实际使用时承受各种负载及温度变化等）的影响，使数字模
型与实际情况有较大的差别。

通常由于产品零部件所用的材料不收稿日期：2009-11-05 ；修订日期：2009-12-31 。

Received05Nov.2009 ；accepted31
items:ProjectsupportedbytheNationalNaturalScienceFoundation,China(No. 50675159), NationalHigh-Tech. R&-D Pro gram, and the ThyssenKrupp Fund,78计算机集成制造系统第 17 卷同，以及使用时承受各种载荷的作用不同，仅利用数字样机的机构仿真与实际有较大的差别。

而通过实际工况仿真，可以了解产品的实际工作性能，从而为设计及装配公差的调整提供依据。

本
文提出实际工况下产品公差的分析方法，并采用雅可比旋量法建立装配体公差模型，将实际工况对产品工作性能的影响纳入公差设计过程，对设计公差进行量化验算，并通过一个典型实例介绍了该方法的应用。

l 实际工况
下的公差分析 1.1实际工况引起的几何偏差的数学表达在利用虚拟样机进行
公差分析时，必须考虑实际工作状况的影响，得到接近实际情况的配合性质分析结果，进而合理地设计并分配公差。

在实际工况下，产品会受到负载、温度等环境因素的影响，从而使其零部件产生一定的几何偏差，如何对这些由环境因素所引起的零部件几何变动量作数学表述，是实际工况下公
差分析的关键。

在装配体中，相关零件的微小误差经尺寸链传递一步步放大，
最终影响装配要求。

零件上每一个功能要素的尺寸、形状或位置的变动，可
以看作理想零件在空间六个自由度上的变动，用向量矩阵△ 表示为F8u扣 l
劬≥ Jn ， I 泐占 yl 式中：8u ，8v 和 8w 分别表示理想零件坐标系原点在 T ，y 和 z 方向上的平移量；8a ，帮和 ay 分别表示理想零件坐标系绕 z ，y 和 z 轴的旋转量。

式 (1)中各变量均可通过力学计算方法或有限元方法求得。

一般来说，实际工况引起的尺寸变动主要是机械负载和温度变化两个方面。

由机械负载导致的几何偏差与尺寸变动类似，只是变动方向和大小由负载决定。

因此，由机械负载引起的偏差可表示为相应的旋量。

由温度引起的偏差没有方向性，往往被视为一种比例因子，特征尺寸所有方向上均成
比例地增加或减少。

因此，该偏差也可以表示为六自由度区间值彼此非独
立的旋量。

1.2实际工况下的公差分析如图 1 所示，对于产品设计中确定的公差，首先基于雅可比旋量法来建立理想状况下的装配体公差模型；然后考虑实际工况下环境因素的影响，计算这些影响所引起的零部件尺寸、形状和
位置的变化，并将这些变化用旋量矩阵表示，作为补偿与理想状况下的公
差模型相结合，得出实际工况下的装配体公差模型。

设计公差建模理想情况公差公差 I I 模犁偿与修，卜巳兰竺差建模实际 I：况下的公差模犁宴 l位移与变形计算 l上—一 5装配体各零部 l变动肇量修正 I 件尺寸、形状‘ 实际I
况 Fl和位置的变动．尺寸变动旋量图l实际工况下的公差建模基于雅可比旋量
法的公差建模 2.1雅可比旋量理论概述加拿大 Desrochers 和 Laperriere 等利用刚体运动学方法进行公差分析，提出了雅克比方法和旋量方法，用矩
阵方程表达名义几何实体的微小变动。

其中雅克比方法采用机器人学刚体开环
运动链的矩阵变化理论，以点集的形式表示微小位移；旋量方法以约束的旋量表示特征的微小变动量，以此描述三维公差域[4-6]之后，他们又将两
种方法进行综合，提出了雅可比旋量法对公差进行数学建模，并采用区间算术进行公差分析。

式 (2) 为雅可比旋量公差模型的基本表达式，该
方程在装配层上的功能要求( FR)与零件层的功能要素 (FE) 之间建立
数学关系，通过采用雅可比 (J) 矩阵积表达 FE 相对于 FR的几何关系。

[ 职]= 口][FE] 。

(2)式中： [FR] 为与功能要求相关的小位移旋量（如配
合间隙）’ [FR] 一[[“ ，u ，[v ，v] ’ [鲨，w] ， [垡，i] ， [尽，p’[查，习]品(u ，v ，w ，a ，尽，a) 和（ u ，v ，w ，a ，p ，a ，分别表示“ ，" ，叫，口，卢，占的下限和上限。

[J] 为 [FR] 向量与相应的 [FE] 向量之间几何关系的雅可比矩阵’ [J] 一 EEJ]FE． EJ]FE。

… [， ]雕。

EJ]FE 。

] ，其中
聍表示公差传递链中功能要素的个数；[FE] 与功能要素的微小变动
（公差或运动副误差等）相关的小位移旋量。

EFE]FE 。

一 [[丝， u] ， [v ，v] ， [鲨， w] ， [口三a] ， [尽， p ， [宣，习]琵。

此外，功能要素既可以
表示单个零件卷同，以及使用时承受各种载荷的作用不同，仅利用数字样机的机构仿真与实际有较大的差别。

而通过实际工况仿真，可以了解产品的实际工作性能，从而为设计及装配公差的调整提供依据。

本文提出实际工况下产
品公差的分析方法，并采用雅可比旋量法建立装配体公差模型，将实际工况
对产品工作性能的影响纳入公差设计过程，对设计公差进行量化验算，并通
过一个典型实例介绍了该方法的应用。

实际工况下的公差分析实际工况引起的几何偏差的数学表达在利用虚拟样机进行公差分析时，必须考虑实际工
作状况的影响，得到接近实际情况的配合性质分析结果，进而合理地设计并分配公差。

在实际工况下，产品会受到负载、温度等环境因素的影响，从而使其零部件产生一定的几何偏差，如何对这些由环境因素所引起的零部
件几何变动量作数学表述，是实际工况下公差分析的关键。

在装配体中，相关零件的微小误差经尺寸链传递一步步放大，最终影响装配要求。

零件上每一个功
能要素的尺寸、形状或位置的变动，可以看作理想零件在空间六个自由度上
的变动，用向量矩阵△ 表示为 F8u扣l劬≥J n ，泐占y式中：8u ，8v 和 8w 分别表示理想零件坐标系原点在 T，y和z方向上的平移量；8a ，帮和 ay 分别表示理一般来说，实际工况引起的尺寸变动主要是机械负载和温度变化两个方面。

由机械负载导致的几何偏差与尺寸变动类似，只是变动方向和大小由负载决定。

基于雅可比旋量法来建立理想状况下的装配体公差模型；然后考虑实际工况下环境因素的影响，计算这些影响所引起的零部件尺寸、形状
和位置的变化，并将这些变化用旋量矩阵表示，作为补偿与理想状况下设计公差建模理想情况公差公差模犁偿与修，卜巳兰竺差建模实际 I：况下的公差模犁‘实际I况F l和位置的变动．加拿大 Desrochers 和 Laperriere 等利用刚体运动学方法进行公差分析，提出了雅克比方法和旋量方法，用矩阵方程表达名义几何实体的微小变动。

其中雅克比方法采用机器人学刚体开环运动链的矩阵变化理论，以点集的形式表示微小位移；旋量方法以约束的旋量表示特征的微小变动量，以此描述三维公差域[4-6]提出了雅可比旋量法对公差进行数学建模，并采用区间算术进行公差分析。

式 (2) 为雅可比旋量公
差模型的基本表达式，该方程在装配层上的功能要求 (系通过采用雅可比 (J) 矩阵积表达 FE 相对于 FR [职]=口][FE] 。

式中： [FR] 为与功能要求相关的小位移旋量（如配合间隙）’ [FR] 一[[“ ，u ，[v ，v] ’ [鲨，w] ， [垡，i] ， [尽， p表示“，"，叫，口，卢，占的下限和上限。

[J] 为 [FR] 向量与相应的 [FE] 向量之间几何关系的雅可比矩阵’ [J] 一 EEJ]FE． EJ]FE。

… [， ]雕。

EJ]FE 。

] ，其中聍表示公差传递链中功能要素的个数；[FE]
与功能要素的微小变动（公差或运动副误差等）相关的小位移旋量。

[宣，习]琵。

此外，功能要素既可以表示单个零件第 1 期张为民等：基于雅可比旋量法的实际工况公差建模的相关表面，称为内部副；也可以表示两个不同零
件之间的接触、配合或间隙，称作运动对。

上述两种情况表示为旋量的区间向量。

2.2雅可比矩阵和区间旋量的计算从式(1) 可以看出，雅可比矩阵表示的是 [FE] 与[FR] 之间的转换关系，其表达式如下‘ 7] ： [J]FE 一 EJlo 一『熹二3 … Ew,J-3X3 ‘ ‘ ‘ R013X3 ‘ ‘ RPT13X3 ’； [Ro] 。

×s． [Ryr，]。

×s 。

(3) 式中：[Rj] 为 i 坐标系相对于 0 坐标系的方向变化， [R ； ] 一 [C ．，C2 ：C 。

，] ，CI ，，C2 ：和 C3 。

分别是轴
z ：，Y和 zi 在 0 坐标系中的方向向量； Wn 为以坐标系相对 i 坐标系位置上的变化，由矢量 [d。

-d ，] 组成矩阵Q- dz: dy: [W？ ]3X3一
dz7 0-dr7 ，- dy:dx：o 其中：d 。

指 i 坐标系的原点在 O 坐标系的位置矢量， d.r7 一 dz. dr ：，dy,=dy.-dy，和 dzn=dz.-dz ： [RPr]反映的是公差方向与 i 坐标系三个坐标轴方向的不一致性， [RP-r] 一 [C ．C2C3]P 『，Cl ，C2 和 C3 分别是公差分析的三个方向在 i 坐标系中的方向矢量，且[FE ，]与[RPr] 有关。

式 (1) 中[FE] 可通过下式计算求得： [FElFE 一 [Rryr]1.[T].
(4)式中[T] 为基于特征的功能要素的公差旋量。

在旋量理论中，针对单个零件内的形位公差（内部副）和零件之间的装配公差（运动副），提出了一系列基于特征的公差旋量表示方法，如表 1 和表 2 所示将功能要素的特征与表 1 和表 2 对应，即可求出[T] 。

表 l 内部副的公差区域和旋量参数┏ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┓ ┃序号┃公差区域的旋量参数┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃平面圆盘 x垮┃ ┃┃ ┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃∞-t/2<v<tl2,-l/2≤u,<t/2┃ ┃ ┃ y2+W2=(t/2)2┃ ┗ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┛续表1┏ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┓ ┃ ┃圆柱体荔，┃ ┃ ┃ ┣ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ ┃船 -如／2 ≤v ≤≠ t/2 ，- 如／2≤w ≤ t/2┃ ┃ ┃ ┃ -+t/L ≤p≤dt/L,-+t/L ≤8≤≠ t/L
y2+W2 一(+t/2)2┃ ┣ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ ┃平面环形面Radius R~x 3yZ+W2=(t/2)2胁荔罗 4兰鬻，二激蓬薏激：直线平面带霍知5-t/2<w<t/2,-t/L<口≤t/L┃ ┣ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ ┃ ┃ Z ▲平面 x游-J 6{ Ⅻ-1/2<w<t/2,-t/l_i<a<t/Li -t/L2<p<t/L2 zT平行六面体州-Y 7-t2/2<v<hl2,-tl/2<w<tl/2-
tZ/L<p<t2/L,-tl/L<8<tl/L曲线公渤8”L未定义曲面国 9㈣┃ ┗ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┛张为民等：基于雅可比旋量法的实际工况公差建模的相关表面，称为内部副；也可以表示两个不同零件之间的接触、配合或间隙，称作运动对。

上述两种情况表示为旋量的区间向量。

从式(1) 可以看出，雅可比矩阵表示的是 [FE]与[FR] 之间的转换关系，其表达式如下‘ 7] [J]FE 一 EJlo 一『熹二3…Ew, J-3X3R013X3
‘ ‘ RPT13X3 ’．[Ryr，]。

×s。

(3)式中：[Rj] 为 i 坐标系相对于 0 坐标系的方向变化[R]一[C ．，C2 ：C 。

，] ，CI ，，C2 ：和 C3 。

分别是轴z ：，Yzi在0坐标系中的方向向量； Wn 为以坐标系相对i坐标系位置上的变化，由矢量 [d。

-d ，] 组成矩阵 Q- - dr7 o其中：d 。

指 i 坐标系的原点在 O 坐标系的位置矢量， dr ：，dy,=dy.-dydzn=dz.-dz [RPr]反映的是公差方向与 i 坐标系三个坐标轴方向的不一致性， [RP-r] 一
[C ．C2C3]P 『，Cl ，C2 和 C3分别是公差分析的三个方向在 i 坐标系中的方向矢量且[FE，]与[RPr] 有关。

式 (1) 中[FE] 可通过下式计算求得：式中[T] 为基于特征的功能要素的公差旋量。

在旋量理论中，针对单个零件内的形位公差（内部副）和零件之间的装配公差（运动副），提出了一系列基于特征的公差旋量表示方法，如表 1 和表 2 所示表内部副的公差区域和旋量参数┏━┳┓┣╋┫ y2 +W2 = t/2)2┗┻┛(+t/2)2yZ+W2 (t/2)2鬻，二口≤t/L Z▲{Ⅻ -
t/L2<p<t/L280第 17卷表 2 外部副的公差区域和旋量参数┏ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━
━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┓ ┃运动副的旋量参数┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃刚性
对┃ ┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ 1 ，叱 z㈣一扣㈥┃ ┗ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┛绕轴(A ．f) 的旋转㈤一胪船沿轴(A ，x) 的滑动沿轴(A ，x) 的螺旋线（口一螺旋升角．R 圆柱半径）┏ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ┓ ┃ ┃圆柱沿轴(A ，x) 的滑动┃ ┃ ┃ ┣ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ┫ ┃。

彦莓 m一护彳三卦┃ ┣ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ┫ ┃ ┃绕轴(A ，x) 转动的球铰蛊厂㈣一肛彳》以 A 为中心的球铰≯0z㈣一护E o}以(A．_r)为法线的平面接蒯E┃ ┃ ┣ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━
━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ┫ ┃矮m 一肛《外直线管道对球体的构束┃ ┃ ┃ ┣ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ┫ ┃ ┃ +，洪乏m 一扣￡磐┃ ┗ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ┛三棱体的某棱边与平面的线形接触 m一归㈣续表2┏ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ┓ ┃以 (A ，x) 为法线的点接触┃ ┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ 11
m一肛㈤Vz┃ ┃ ┗ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ┛ 2.3实际工况的雅可比旋量法建模在装配体实际的工作过程中，负载、温度等一系列因素的影响，使得在理想状态下计算出来的装配误差并不能反映其真实情况。

因此，为了得到实际工况下较为真实的装配误差，就必须在雅克比旋量
方法中加入实际工况的影响。

稳定工况下，各种外部因素对零件的影响主要
表现在其尺寸、形状和位置的变化，即零件的各种功能特征( FE) 的变化，则与其相关的式 (2) 中的[J] 和[FE] 也发生了相应的改变，最终影响到整个装配要求[R] 。

由于载荷等因素的影响，装配体中某些功能要素(FE)必然发生变化，这些变化产生相对于无载荷状态下坐标系的平移及坐标系的旋转。

由式 (1)
可知，功能要素的变化由坐标系的平移和绕坐标轴的旋转两部分组成，如式 (5) 所示。

∥∽ ，一aaplo式中：8u ，，8v ．和 8w ；分别表示坐标系原
点在 z ，y 和 z方向上的平移量； 8a ，，api 和 aa ，分别表示坐标系绕 z ，y 和 z 轴的旋转量。

由于功能要素的变化，式 (3) 中的变量也相应改变：[ 风 ] 一 [c1,C.iC.,].[C].[cv].[C].(6)式中： [C-] 为 i 坐标系绕其 z 轴旋转 A 口，的转换矩阵， 10() ] [C.，一ocos △ai 一 cos 竺： ] ；0 sinAa， c( Ecy] 为 i
坐标系绕其 y 轴旋转 Api 的转换矩阵， cosApiosinAp,[G] 010 ；- sinApiO cosApi[Cz] 为 i 坐标系绕其 z 轴旋转 A 艿，的转换矩阵， osA8,-sinA8iO [C]=． inA8icos A8，0 。

0 01Ⅶ R 七 81 孤口 r 芦口卢艿“ 口珊-v- 一丁2 7卷外部副的公差区域和旋量参数叱绕轴(A．f)的旋转以A为中心的球铰m一肛《一扣￡(A，x)为法线的点接触在装配体实际的工作过程中，负载、温度等一系列因素的影响，使得在理想状态下计算出来的装配误差并不能反映其真实情况。

因此，为了得到实际工况下较为真实的装配误差，就必须在雅克比旋量方法中加入实际工况的影响。

稳定工况下，各种外部因素对零件的
影响主要表现在其尺寸、形状和位置的变化，即零件的各种功能特征( FE) 的变化，则与其相关的式 (2) 中的[J] 和[FE] 也发生了相应的改变，最终影响到整个
装配要求[R] 。

由于载荷等因素的影响，装配体中某些功能要素(FE)轴的旋
转量。

改变：风 ][c1,C.iC.,].[C].[cv].[C].(6) () [C.，一o cos△aicos竺 sinAa，Api sinAp, [G] sinApiO [Cz] 为 i 坐标系绕其 z 轴旋转 A 艿，的转换矩阵， os A8, sinA8i Oin A8i A8，ⅦR七8孤r芦卢艿珊 -v-丁 Wn 中 dr: ，dy7 和 dz7
也随坐标系的平动而发生相应变化，变为 dxn=dx 。

-dx ．+Au, ，dy7=dy 。

-dy,+Av．和 dz?=dz.-dzi+Aw ，将[Ro] ， W7 和 [Rryr] 作上述变换后，
代人式(3)，即可得载荷作用下的雅可比矩阵[J] 。

实际工况下的[FE] 仍然
按式(4) 计算。

雅可比旋量公差模型的实例应用 3.1理想状况下的装配间
隙图 2 所示为某一齿轮泵零件图‘ 8]齿轮材料为 45# 钢，齿数 z 一 10 ，模数 m 一 1.5 ，额定压力为 25 MPa ，额定转速为 1450r/min，温度偏
差比例因子设为 1 。

《塑 r P3：从动轮图2各零件R 寸及FE, 虚拟坐标系图 2 包含泵体(PI) 、主动齿轮 (P2) 和从动齿轮 (P。

)三个零件，三者间需要保证和控制的装配要求就是两齿轮之间的啮合间隙。

在图 2 中标出了装配体中与
两齿轮之间的啮合间隙（即本例中的 FR ）相关的所有功能元素(FE) 及虚拟
的坐标系方位。

其中 FE4 表示主动齿轮在啮合处的分度线，FE ，表示
从动齿轮在啮合处的分度线，两者之间的误差就是要控制的装配误差。

每个内部副和运动副所对应的特征，可在表 1 和表 2 中找到，从而得出
内部副或运动副的微小位移向量行列式。

在尺寸链中，最终的装配误差由零件误差逐渐积累起来，本例尺寸链中的传递关系如图 3 所示。

P…’内部副—} 运动副c= ≯ 功能要求图3 尺寸链传递图Pl含一个内部副 (FEo ，FEl) ；Pz
含两个内部副 (FE2 ， FE3) ， (FE3 ， FE4) ；P3 含两个内部副(FEs， FE6) ，(FE6 ， FE7) ；Pl 和 P2 之间存在一个运动副(FEi ，FE2) ；Pl 和 P3 之间存在一个运动副 (FEo,FEs) 。

需要保证的装配要求是 FE4 与 FE7 之间的啮合误差。

整个装配体存在两条公差传递关系：① FEo-FEl -FE2-FE3-FE4 ；②FEo-FEs-FE6-FE7.从而存在以下两个雅可比旋量关系式：[ FR]4/ 。

一 [[JlFE.U]I-
E.[J]FE.[J]FE.]. [[FE ]FE.[FE] 雎。

[FE]FE.[FElFE.]T, (7) [BR]，，。

一 [[J] 腰。

[， ]FE 。

[J]FE，] ．[[FE]Fh-.[FE]FE.EFE]FE,]T.(8)利用第 2 章所述的雅克比旋
量法，计算上述两式，得：芦]v]w] 口] 阅-]震震
159,0.095,0.060,0.021,0.021,0.135,0.717,0.672,0.018,0.018,0.，(9) 。

(10)式(9) 和式 (10) 表达了无载荷情况下，在 O 坐标系中，P2和 P3 啮合处的分度
线在六个自由度上的 Wn中 dr:，dy7dz7也随坐标系的平动而发生相应变化，变为 dxn=dx 。

-dx ．+Au, ，dy7=dy 。

dz?=dz.-dzi+Aw将[Ro] ， W7 和 [Rryr] 作上述变换后，代人式 (3)，即可得载荷作用下的雅可比矩阵[J] 。

实际工况下的[FE] 仍然按式(4) 计算。

图所示为某一齿轮泵零件图‘ 8]
45#钢齿数 z 一 10 ，模数 m 一 1.5 ，额定压力为 25 MPa额定转速为1450r/min，温度偏差比例因子设为包含泵体(PI) 、主动齿轮 (P2) 和从动齿轮在图 2 中标出了装配体中与两齿轮之间的啮合间隙（即本例中的 FR ）相关的所有功能元素(FE) 及虚拟的坐标系方位。

其中 FE4 表示主动齿轮在啮合处的分度线，FE ，表示从动齿轮在啮合处的分度线，两者之间的误差就是要控制的装配误差。

每个内部副和运动副所对应的特征，可在表 1 和表 2 中找到，从而得出内部副或运动副的微小位移向量行列式。

在尺寸链中，最终的装配误差由零件误差逐渐积累起来，本例尺寸链中的传递关系如图 3 所示。

P图3尺寸链传递图 Pl副( FE2FE3)(FE3FE4)；P3含两个内部副(FEsFE6)(FE6FE7)；PlP2之间存在一个 (FEo ,FEs)需要保证的装配要求是 FE4 与 FE7 之间的啮整个装配体存在两条公差传递关系：① FEo- FEl -FE2-FE3-FE4 ；②FEo-FEs-FE6-FE7.从而存在以下两个雅可比旋量关系式：
FR]4/[[JlFE.U]I-E.[J]FE.[J]FE.]. [BR]，，。

一 [[J] 腰。

[， ]FE 。

[J]FE，] ． [[FE]Fh-.[FE]FE.EFE]FE,]T. (8)式得芦] v] w]口]阅 -]震 15 9,0. 09 5,0.
06 0,0. 02 1,0. 13 71 7,0. 67 2,0. 8,0. (9)(10)P3啮合处的分度线在六个自由度上的82第 17卷变动范围。

比较两式，计算得理想状态下 FE4 与 FE7之间的啮合误差为职一 294,1794,0732,0039,0039,0 向量行列式 (11) 表示在无载荷情况下，齿轮泵两齿轮之间的啮合误差。

从式中可得在啮合处的分度线距离（即两齿轮中心距的误差范围）是 [ 一o． 179 ， 0.178]; 可以计算出，齿轮的轴线平行度误差 Af.和 Afy 的变动范围分别是 [一 0.026 ，
o ． 026] 和 [-0.026 ，0.026] 。

3.2 实际工况下的装配间隙当齿轮泵工作时，由于齿轮径向压力分布不平衡而产生径向液压力，同时由于齿轮啮合传递转矩而产生径向啮合力，这两个力的合成，分别在主动齿轮轴和从动齿轮轴上形成径向力，使齿轮轴发生弯曲变形。

齿轮
泵的工作压力越大，径向压力也越大，齿轮轴线弯曲也越大。

因此，从误差敏感度分析，主要考虑 j，向和 z 向的影响，没有考虑z 向误差。

当齿轮泵在额定载荷下工作时，轴线会发生弯曲（如图 4 ），具体的弯曲挠度可以通过力学计算或有限元仿真精确算出。

由于轴线弯曲引起了式 (3) 中[Ro] ，W: 和[RP-r] 的变化，从而引起雅可比矩阵[J] 的变化， [FE] 也会产生相应的改变。

于是无载荷状况下的雅克比算式式 (7) 和式 (8) 中各变量发生相应改变。

Prat Ⅲ岛=0.8图4弯曲后的齿轮轴及FE 变化计算变化后的式 (7) 和式 (8) ，得 [Rl' 。

，。

一[ 职 ]77 ／。

一式 (12) 和式(1
1156,0.1475,0.1063,0.0021,0.0021,0.3136,0.0762,0.0672,0.0018,0.0018,0.517 1]1365]1063]0021]0021]7144]0786]0672]0018 l0018 l 合径向．(12) 。

(13) 力的作用下，在 O 坐标系中，P2 和 P3 啮合处分度线在 6 个自由度上的变动范围。

比较两式，计算出在啮合力作用下的 FE4和 FE ，之间的装配间隙为 07,0.27,0.35,0.39,0.39,0.式 (14) 需要作一定修正，因为整个计算是以变形后的装配体来计算[FR] 的，所以最终结果需要将装配体零部件的变形量（曰，和 0 ）考虑进式 (14) ，则修正后的式 (14) 为 [ 积 ]7 一向量行列式 (15) 表示在受载情况下，两齿轮轴的啮合误差在 0 坐标系下的情况。

啮合处的分度线间距为[-0.212 ，0.226]; 可以算出，两齿轮的轴线平行度误差 Af.和 Afy 的变动范围分别为 [ 一 0.026 ，o.026] 和 [-0.564,0.564].如表 3 所示，比较式 (11) 和式 (15) 可以看出，由于啮合力的影响，装配间隙在 y 向上的变动范围加大即两齿轮的啮合间隙增大；同时两齿轮在 y 向上的平行度误差 Afy 有显著增加，这对于齿轮泵运行的平稳性和寿命是不利的。

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