江西省吉安市2019届高三上学期五校联考数学理科试卷及答案解析

吉安市2019届高三上学期五校联考
数学理科试卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
1.已知集合，1|10B x x 禳镲=-?睚镲铪，则A B Ç=（ ）
A.
{}|12x x ? B. {}|02x x << C. {}|01x x <? D. {}|01x x <<
2.若复数满足（是虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A. B.
C. D. 3.双曲线22
22:1x y E a b -=(00a b >>，）
过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，若OFM D 的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（ ）
A. 1
B. 2
C.
D. 4.偶函数()y f x =在(,0]-?上为增函数，且(3)(210)0f a f a --<，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (,10)-?
B. (,10)(2,)-???
C. (2,)+?
D. (10,2)-
5.下列说法中，说法正确的是（ ）．
A. 若0a b >>，则ln ln a b <.
B. 向量(1,),(,21)()a m b m m m R ==-?
垂直的充要条件是m=1
C. 命题“1,3(2)2n n x N n +-"?+?”的否定是“1,3(2)2n n x N n +-"纬+?”
D. 已知函数f(x)在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题
6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( )
{}|11A x x =-<
A. 2
B. 10
C. 10
12+7.函数()sin()f x A wx j =+其中(0,)2A p j ><
的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，
则只需将()f x 的图象（ ）
A. 向右平移6p 个长度单位
B. 向右平移3p
个长度单位
C. 向左平移6p 个长度单位
D. 向左平衡3p
个长度单位
8.设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）
A. c b a >>
B. b c a >>
C. a c b >>
D. a b c >>
9.中，三内角成等差数列，成等比数列，则的形状是 （ ）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形
10.设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y ì--?ïï-+?íï吵ïî若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则
23a b +的最小值为 （ ）
A. 256
B. 83
C. 11
3 D. 4
11.已知1F ，2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线bx y a =
对称，则该双曲线的离心率为 （ ）
A.
B.
C. D. 2
12.已知函数()21,1ln ,1x x f x x x x ì-<ï=íï³ïî，关于x 的方程()22[()](12)0f x m f x m +--=，有5个不同的实数
解，则m 的取值范围是（ ） A. 11,e 禳镲-睚镲铪
B. (0,)+?
C. 1(0,)e
D. 1(0,]e 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量(sin ,2)a a = 与向量(cos ,1)b a = 互相平行，则tan 2a 的值为_______。

14.)
11cos x x dx -=ò__________． 15.已知四面体ABCD 的顶点都在的球O
的球面上，且6,8,10AB BC AD BD ====，5CD =，平面ABD 垂直平面BCD ，则球O 的体积为 .
16.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列有关说法中：
①对于圆
22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； ②函数()sin 1f x x =+是圆()2
2:11O x y +-=的一个太极函数；
③存在圆O ，使得
()11x x e f x e +=-是圆O 的一个太极函数； ④直线
()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆()()()222:210O x y R R -+-=>的太极函数；
⑤若函数()()3f x kx kx k R =-?是圆
22:1O x y +=的太极函数，则()2,2.k ? 所有正确的是__________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等比数列{}n a 中，13a =，
*481()a n =?N ． （1）若{}n b 为等差数列，且满足21b a =，52b a =，求数列{}n b 的通项公式．
（2）若数列{}n b 满足3log n n b a =，求数列11n n b b +禳镲睚镲铪的前n 项和n T ．
18.如图，锐角三角形ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若线段BC 上存在一点D 使得2AD =
，且AC
1CD ，求ABC D
的面积
.
19.如图，四边形P C B M 是直角梯形，090PCB ?，//,1,2PM BC PM BC ==，又01,120,A C A C B A B P C =?^，直线AM 与直线PC 所成的角为060.
（1）求证：PC AC ^；
（2）求二面角M AC B --的余弦值.
20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为，左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心、3为半
径的圆与以2F 为圆心、1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线(1)(0)y k x k =-?与椭圆C 交于A,B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点PQ ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
21.已知函数()ln f x x =，()a g x x =，()()()F x f x g x =+．
（1）当0a <时，求函数()F x 的单调区间；
（2）若函数()F x 在区间[]
1,e 上的最小值是32，求a 的值； （3）设1122(,),(,)Ax y Bx y 是函数()f x 图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为()
00,C x y ，直线AB 的斜率为k ，证明：
0()k f x >¢.
22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos 3p r q 骣琪=-琪桫，直线l
过点(0,P -且倾斜角为3p . (I)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；
(II)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求
PA PB +的值．
23.设函数()12f x x x =-+-.
（1）解不等式()5f x x ?；
（2）若
1()1f x a ?
对x R "?恒成立，求实数a 的取值范围.
【解析卷】
吉安市2019届高三上学期五校联考
数学理科试卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
1.已知集合，1|10B x x 禳镲=-?睚镲铪，则A B Ç=（ ）
A.
{}|12x x ? B. {}|02x x << C. {}|01x x <? D. {}|01x x <<
【答案】A
【解析】
1111102x x x -<?
<-<?<，()1011100{0x x x x x x -?--侈侈¹，解得0,1x x <?，故[)1,2A B ?.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合交集等知识.解含有一个绝对值不等式，只需要按照口诀“大于在两边，小于在中间”来解即可.解分式不等式主要方法就是通过通分后，转化为整式不等式来求解，在转化的过程中要注意分母不为零这个特殊情况.
2.若复数满足
（是虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：
，所以的共轭复数为．
考点：复数的代数运算 {}|11A x x =-<
3.双曲线22
22:1x y E a b -=(00a b >>，）
过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，若OFM D 的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（ ）
A. 1
B. 2
C.
D. 【答案】B
【解析】 由于双曲线焦点到渐近线的距离为b ,故,,OF b OM a FM b ===,根据面积公式有11,22ab ab ==,
而
222
c c a b a ==+,
解得1,2,a b c ==,故实轴长22a =,选B.
4.偶函数()y f x =在(,0]-?上为增函数，且(3)(210)0f a f a --<，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (,10)-?
B. (,10)(2,)-???
C. (2,)+?
D. (10,2)-
【答案】B
【解析】
由偶函数的性质可得，()f x 在0+¥（，） 上单调递减，且()()f x f x =，由 (3)(210)0f a f a --<可
得, (3)(210|)f a f a -，3210a a \>-，平方解得
(,10)(2,)-???故本题正确答案为B.
点睛：本题考查的是函数奇偶性与单调性的有关性质与解不等式，对于偶函数，在对称的区间上其单调性相反，且自变量相反时函数值相同，所以通过
()()f x f x =，将问题转化为0+¥（，）上可以利用单调性得到自变量的绝对值的大小3210a a >-，做题时要注意此题转化的技巧．
5.下列说法中，说法正确的是（ ）．
A. 若0a b >>，则ln ln a b <.
B. 向量(1,),(,21)()a m b m m m R ==-?
垂直的充要条件是m=1
C. 命题“1,3(2)2n n x N n +-"?+?”的否定是“1,3(2)2n n x N n +-"纬+?”
D. 已知函数f(x)在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相关知识逐项判断即可.
【详解】对于A,当0a b >>时，ln ln a b >，故该选项错误，
对于B ，()()()1,,,21a m b m m m R ==-? 垂直的充要条件是(21)0a b m m m ?+-=
，解得0m =，
故该选项错误，
对于C ，命题“()1,322n n x N n +-"?+?”的否定是 “()1,322n n x N n +-$纬+?，故该选项错误， 对于D ，已知函数f(x)在区间
[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区
间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题是“若()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点，则()()0f a f b <”，因为()()0f a f b ³时，()f x 在区间(),a b 内也可能有零点，所以该选项正确.
故选D.
【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，属于中档题.
6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( )
A. 2
B. 10
C. 10
D. 12+【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图还原出直观图，利用三棱锥表面积公式求解即可.
【详解】根据三视图可得三棱锥直观图：
该三棱锥P ABC -, 底面ABC D
为边长为2的等腰直角三角形，,PAB PCB D D 是两个全等的直角三角形，PAC D
为等腰三角形. 由三视图中数据可得：
1111
222424102222S =创+创+创+=+故选B.
【点睛】本题主要考查了三视图，三棱锥表面积，属于中档题.
7.函数()sin()f x A wx j =+其中(0,)2A p j ><
的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，
则只需将()f x 的图象（ ）
A. 向右平移6p 个长度单位
B. 向右平移3p
个长度单位 C. 向左平移6p 个长度单位 D. 向左平衡3p
个长度单位
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数图象可得A,由周期可求出w ，由五点法作图求出j ，得到函数解析式，再根据图象变换，可得出结论. 【详解】由
()()sin f x A wx j
=+图象可知1A =,
根据12744123T p p p w =?
-，可得2w =，
再根据五点法作图可得
23p j p ?
=，解得
3p j =， 所以
()sin(2)sin 2()
36f x x x p p
=+=+， 因此()f x 向右平移6p
个长度单位，可得()sin 2g x x =的图象.
【点睛】本题主要考查了()()sin f x A wx j
=+的图象及性质，图象的平移，属于中档题.
8.设
3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）
A. c b a >>
B. b c a >>
C. a c b >>
D. a b c >>
【答案】D 【解析】
试题分析：由已知可得
33log 61log 2a ==+，55log 101log 2b ==+，77log 141log 2c ==+，
2223570log 3log 5log 7log 2log 2log 2
<揶357log 21log 21log 21+>+>+?a b c >>．
考点：对数的大小比较． 9.
中，三内角
成等差数列，
成等比数列，则的形状是 （ ）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 试题分析：
成等差数列，所以
,
成等比数列，所以
,根据余弦定理：
,可得：
,又因为
,所以三角形为等边三角形.故选D.
考点：1.正弦定理；2.余弦定理.
10.设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y ì--?ïï
-+?íï吵ïî若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则
23a b +的最小值为 （ ）
A. 256
B. 83
C. 11
3 D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
作出可行域，利用线性规划知识先求出,a b 的关系，然后利用均值不等式可求
23a b +
的最小值. 【详解】作出可行域如图：
由(0,0)z ax by a b =+>>可得
a z y x
b b =-
+ ，当直线截距最大时z 最大，
平移
a
y x
b =-过点A 时，直线截距最大，z 最大.
由36020x y x y ì--=ïí-+=ïî 解得46x y ì=ïí=ï
î，即(4,6)A . 此时4612z a b =+=，即1
32a b
+=，
则232332a b a b a b 骣骣琪琪+=+
+
琪琪桫桫
=131325666b a a b ++?，当且仅当b a
a b =
，
即6
5a b ==
时等号成立.
故选A.
【点睛】本题主要考查了线性规划问题和均值不等式，属于中档题.
11.已知1F ，2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关
于直线
bx
y a =
对称，则该双曲线的离心率为 （ ）
A.
B.
C. D. 2
【答案】B 【解析】
试题分析：由双曲线的定义与性质可知
12(,0),(,0)F c F c -，设2F 关于直线
bx
y a =
的对称点为00(,)P x y ，
则00001{22y b
x c a
y x c b a ?--+=?，解之得2200{2a b x c ab y c -==，即222,a b ab P c c 骣-琪琪桫，又点P 在双曲线上，所以有
2
2
222
2
21
a b ab c c a b
骣-骣琪琪琪琪桫
桫-=，化简整理得2222()(4)0b a b a +-=，所以2b a =
，c ，
所以
c
e a =
=B ．
考点：双曲线的几何性质．
【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属中档题．离心率是圆锥曲线的重要几何性质，求解椭圆或双曲线的离心率的关键是建立一个关于,,a b c 的方程（或不等式），通过这个方程（或不等式）
和b 与,a c 的关系消掉b ，建立a 与c 之间的方程或不等式，通过这个方程求出c
a 即可，不一定具体求
出,a c 的值．
12.已知函数()21,1ln ,1x x f x x
x x ì-<ï=íï³ïî，关于x 的方程()22[()](12)0f x m f x m +--=，有5个不同的实数
解，则m 的取值范围是（ ）
A. 11,e 禳镲-睚镲
铪 B. (0,)+? C. 1(0,)e D. 1(0,]
e 【答案】C
【解析】 【分析】
利用导数研究函数
ln x
y x =
的单调性并求最值，求解方程()()()2
2120
f x m f x m 轾+--=臌
得到
()f x m =或
1
()2f x =
，画出函数()f x 的图象，数形结合即可求解.
【详解】设
ln x y x =
，则21ln x
y x -=
¢，由0y ¢=解得x e =，当(0,)x e Î时0y ¢>，函数为增函数，
当(,)x e ??时0y ¢
<，函数为减函数，当x e =时，函数取得极大值也是最大值为
1
()f e e =
. 方程()
()()2
2120
f x m f x m 轾+--=臌化为[()][2()1]0f x m f x -+=解得()f x m =或
1()2f x =
.
画出函数
()
f x 的图象如图：
根据图象可知e 的取值范围是10,e 骣琪琪
桫时，方程由5个解.
故选C.
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，函数零点，函数与方程，数形结合，属于中档题. 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量(sin ,2)a a =
与向量(cos ,1)b a = 互相平行，则tan 2a 的值为_______。

【答案】4
3-
【解析】 【分析】
根据向量平行可得sin 2cos 0a a -=，可得tan 2a =，利用正切的二倍角公式即可求解. 【详解】因为向量
()
sin ,2a a =
与向量
()
cos ,1b a =
互相平行
所以sin 2cos 0a a -=， 解得tan 2a =，
所以
22tan 44
tan 21tan 143a a a =
==---，
故填4
3-.
【点睛】本题主要考查了向量平行的充要条件，向量的坐标运算，正切的二倍角公式，属于中档题.
14.)
1
1
cos x x dx -=
ò__________．
【答案】2p
【解析】
)
()111
1
1
cos cos x x dx x x dx
---?
=+
，由cos y x x =为奇函数，由定积分的性质可知：
奇函数的对称区间上的定积分为0，即()1
1
cos 0x x -=ò
，1
1
-的几何意义可知，表示以
()0,0为
圆心，
以1为
半
径
的圆的一半，
则
1
2
p -=
，
故
)
()111
1
1
cos cos 2x x dx x x dx p ---?
=+
=
，故答案为2p .
15.已知四面体ABCD 的顶点都在的球O 的球面上，且6,8,10AB BC AD BD ====，5CD =，平面ABD 垂直平面BCD ，则球O 的体积为 .
【答案】
【解析】
试题分析：由已知可得AB AD ^，CD BC ^，所以BD 的中点O 是四面体ABCD 外接球的球心，所
以球半径为
52BD r =
=，3344500
5333V r p
p p ==?．
考点：球的体积．
【名题点睛】解决球的体积问题，首先要熟练掌握球的体积公式，它可以想象成以球的半径为底面半径，球的直径为高的圆柱体积的三分之二．在求球的体积时，其关键是求球的半径．对于多面体外接球问题，关键是找球心，寻找时注意球心到各顶点的距离相等，从这点出发，长方体、正方体的对角线交点，直角三角形的斜边中点，三角形的外心等是我们要特别注意的点．
16.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列有关说法中：
①对于圆
22
:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； ②函数
()sin 1
f x x =+是圆
()2
2:11
O x y +-=的一个太极函数；
③存在圆O ，使得
()1
1x x
e f x e +=-是圆O 的一个太极函数； ④直线
()()12110
m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆
()()()
2
22:210O x y R R -+-=>的太极
函数；
⑤若函数
()()
3
f x kx kx k R
=-?
是圆
22
:1
O x y
+=的太极函数，则()
2,2.
k?
所有正确的是__________．
【答案】②④⑤
【解析】
对①显然错误,如图
对②,点(0,1)均为两曲线的对称中心,且f(x)=sinx+1能把圆一分为二,正确
对③,函数为奇函数
()1
1
x
x
e
f x
e
+
=
-,当x→0(x>0)时，
f(x)→+∞，
当x→+∞时,f(x)→1,*f(x)>1+，函数递减；
当x→0(x<0)时,f(x)→−∞，
当x→−∞时,f(x)→−1,*f(x)<−1+，
函数f(x)关于(0,0)中心对称，有三条渐近线y=±1，x=0，
可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件对于④直线(m+1)x−(2m+1)y−1=0恒过定点(2,1)，满足题意。

对于⑤函数
()()
3
f x kx kx k R
=-?
为奇函数,与圆的交点恒坐标为(−1,1)，
∴
3
y kx kx
=-且221
x y
+=，
∴
2624222(1)10k x k x k x -++-=， 令2t x =,得
222(1)(1)0t k t k t --+= 得t=1即x=±1；
对
22210k t k t -+=,当k=0时显然无解,△<0即0<k2<4时也无解， 即k ∈(−2,2)时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分。

若k=±2时，函数图象与圆有4个交点，
若k2>4时，函数图象与圆有6个交点，均不能把圆一分为二。

故所有正确的是②④⑤ 故答案为：②④⑤
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等比数列{}n a 中，13a =，
*
481()a n =?N ． （1）若
{}n b 为等差数列，且满足21b a =，52b a =，求数列{}n b 的通项公式．
（2）若数列{}n b 满足3log n n b a =，求数列11
n n b b +禳镲睚
镲铪的前n 项和n T ．
【答案】（1）21n b n =-；
（2）1n n +
【解析】
试题分析：(Ⅰ)由等比数列入手
13,a =481a =得到基本量3q =，进而得到253,9b b ==，求得通项公
式21n b n =-(Ⅱ)中将所求数列11n n b b +禳镲睚镲铪通项化简得1
1111n n b b n n +=-+，代入求和式中计算得1n n T n =
+ 试题解析：(Ⅰ)在等比数列
{}n a 中,13,a =481a =
.
所以,由341a a q =得3813q =,即3
27q =,3q = 因此,1333n n n a -=?
在等差数列
{}n b 中,根据题意,21523,9b a b a ====
可得,5293
2523b b d --=
==-
所以,
2(2)3(2)221n b b n d n n =+-=+-?-6分
(Ⅱ)若数列{}n b 满足3log n n b a =,则
3log 3n n b n ==, 因此有122311111111122334(1)n n b b b b b b n n ++++=++++创?
1111111(1)()()()223341n n =-+-+-++-+ 1111n n n =-=
++12分
考点：1.等差等比数列求通项；2.裂项相消求和
18.如图，锐角三角形ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若线段BC 上存在一点D 使得2AD =
，且AC
1CD ，求ABC D
的面积. 【答案】（1）3B p =
，（2
）
【解析】 试题分析：
(1)利用题意求得
1cos ,23B B p =\=
；
(2)
利用正弦定理结合余弦定理可得ABC S D =
试题解析：
解法一：（1）在ABC 中，2cos cos cos b B a C c A ??? ，
222222
2cos 22a b c b c a b B a c b
ab bc +-+-\???
，
1cos ,23B B p
\=\=
，
解法二：（1）在ABC 中，2cos cos cos b B
a C c A ??? ，
()2sin cos sin cos sin cos =sin +B B A C C A A C ??? ，
()sin +sin A C B
= ，
2sin cos sin B B B \?， s i n 0B ¹
，
1cos ,23B B p
\=\=． （2）在ACD 中，由余弦定理可得
2
2
222
14
cos 2AC CD AD
C AC CD
+-+-=
=
=
鬃，
4C p \=
, 512A B C p
p \=--
=，
在ABC 中，由正弦定理可得
sin sin AC AB B C =，
sin sin
34AB
p p
\
=
，2
AB \=．
1
1sin 22
2
ABC S AB AC A
\=鬃?鬃
19.如图，四边形P C B M 是直角梯形，090PCB
?，//,1,2PM BC PM BC ==，又
01,120,A C A C B A B P C =?^，直线AM 与直线PC 所成的角为060.
（1）求证：PC AC ^；
（2）求二面角M AC B --的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2
）7.
【解析】
试题分析：（1）根据条件得,,BC PC AB PC ^^再根据线面垂直判定定理得PC ^平面ABC ，即得结论（2）根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解各面法向量，根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果 试题解析：（1）∵,,BC PC AB PC AB BC B ^^?，
∴PC ^平面ABC ，∵AC Ì平面ABC ， ∴PC AC ^.
（2）在平面ABC 内，过点C 作BC 的垂线，建立空间直角坐标系，如图所示
设
()
0,0,P z
∴()(
)130,0,,0,1,,0,2222CP z AM z z 骣琪琪==--=-琪琪桫桫
∵
20
cos60cos ,AM CP AM CP AM CP ×==
，且0z >，
12
=
，
∴1z =，
∴3,12AM 骣琪=-琪
桫
设平面MAC 的一个法向量为
()
,,1n x y =
，
则由310020
102x y n AM n CA x y ì
ï-++=ìï?镲Þ眄?镲î-=ïïî ，
∴1x y ìï=-ïíï
=-ï
î
∴1,1
n =--桫
又平面ABC 的一个法向量为
()
0,0,1CP =
，
cos ,7n CP n CP n CP
×==
显然，二面角M AC B --为锐二面角
所以二面角M AC B --
的余弦值为.
20.已知椭圆2222:1(0)
x y C a b a b +=>>
的离心率为，左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心、3为半
径的圆与以
2F 为圆心、1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线(1)(0)y k x k =-?与椭圆C 交于A,B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点PQ ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
【答案】（1）2
21
4x y +=； （2
）(.
【解析】 【分析】
（1）由题意可得24a =
，又离心率
e =
，可求c ，即可求出椭圆的标准方程（2）联立直线与椭
圆方程，消元得一元二次方程，求出
1212,x x x x +，写出点,,P Q M 的坐标，
以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点()
0,0N x ，则等价于0PN QN ?
恒成立，利用向量运算即可
求出
0x .
【详解】（1）由题意知24a =，则2a =
．又222
2c a c b a =-=，可得1b =，
\ 椭圆C 的方程为2
21
4x y +=。

（2）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．
由()22114y k x x y ì=-ïíï+=ïî 得()
2222148440k x k x k +-+-=．
设()()1122,,,A x y B x y ，则有
22121222844
,1414k k x x x x k k -+==++ 又点M 是椭圆C 的右顶点，所以点
()
2,0M ．
由题意可知直线AM 的方程为()1
122y y x x =--，故点1120,2y P x 骣琪-琪-桫 ．
直线BM 的方程为()2222y y x x =--，故点2
220,2y Q x 骣琪-琪-桫．
若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点
()
0,0N x ，则等价于
0PN QN ?
恒成立． 又因为12
001222,,,22y y PN x QN x x x 骣骣琪琪==琪琪--桫桫 ， ()()
2212
12
0012122240
22
22y y y y PN QN
x x x x x x ?+
?
+
=---- 恒成立．
又因为()()()222
121212222
4484222424141414k k k x x x x x x k k k ---=-++=-+=+++ ， ()()()2
2
1212
12122311114k
y y k x k x k x x x x k 轾=-?=-++=-臌+
所以()()
2
2222120002122124143042214k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+
．解得0
x =?． 故以线段PQ 为直径的圆过x
轴上的定点
()。

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，属于难题.
21.已知函数()ln f x x =，
()a
g x x =
，()()()F x f x g x =+．
（1）当0a <时，求函数()F x 的单调区间；
（2）若函数()F x 在区间[]
1,e
上的最小值是3
2，求a 的值；
（3）设
112
2
(,),(,)Ax y Bx y 是函数()f x 图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为()
00
,C x y ，直线AB
的斜率为k ，证明：
0()k f x >¢.
【答案】（1）函数()F x 的单调增区间是(0,)+?；（2
（3）见解析. 【解析】
试题分析：（1）求出
()ln a
F x x x =+
的导数，导数大于0，即可求函数的增区间；
（2）对a 进行分类讨论，分别求出各种情况下的函数在[]
1,e
上的最小值令其为3
2，解方程求得a 的
值；
（3）对于当0a =时，先把()ln f x x =具体出来，然后求导函数，得到
0()f x ¢，在利用斜率公式求出过这两点的斜率公式，利用构造函数并利用构造函数的单调性比较大小．
试题解析： （1）解：
()ln a F x x x =+
，则2()x a
F x x -=¢，0,0,()0a x F x \¢> ，
∴函数()F x 的单调增区间是(0,)+?； （2）解：在
[]1,e 上，分如下情况讨论：
1．当1a <时，()0F x ¢>，函数()F x 单调递增，其最小值为(1)1F a =<，这与函数在[]
1,e
上的最小
值是3
2相矛盾；
2．当1a =时，函数()F x 在(1,]e 单调递增，其最小值为(1)1F =，同样与最小值是3
2相矛盾； 3．当1a e <<时，函数()F x 在[1,)a 上有()0F x ¢<，单调递减，在(,]a e 上有()0F x ¢
>，单调递增，
∴函数()F x 的最小值为
3
()ln 12F a a =+=
，得a
4．当a e =时，函数()F x 在[1,)e 上有()0F x ¢
<，单调递减，其最小值为()2F e =，与最小值是3
2相
矛盾；
5．当a e >时，显然函数()F x 在[]1,e 上单调递减，其最小值为
()12a F e e =+
>，与最小值是32相矛
盾．
综上所述，a
（3）证明：当0a =时，
1()ln ,()f x x f x x ==
¢,122()f x x x \=+¢ 又2
211
2121ln
()()x f x f x x k x x x x -==
--,不妨设21x x >，要比较k 与()0f x ¢的大小，
即比较2
12
1ln
x x x x -与122
x x +的大小，又因为21x x >，
所以即比较
2
1ln
x x 与
2
2112
21
1
2(
1)2()
1x x x x x x x x --=
++的大小．
令
2(1)()ln (1)1x h x x x x -=-?+，则()
2
2
1()0(1)x h x x x +¢-=?∴()h x 在[1,)+?上是增函数．
又211x x >，∴21()(1)0x
h h x >=，
2
21
21
1
2(
1)
ln 1x x x x x x -\>
+，即
0()k f x >¢．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的
极坐标方程为4cos 3p r q 骣琪=-琪桫，直线l
过点(0,P -且倾斜角为3p .
(I)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； (II)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求
PA PB
+的值．
【答案】(Ⅰ)(
)
(2
2
14x y -+-=
，
1
2x t y ì=ï
ï
íï=-ïî(t 为参数)；(Ⅱ)7. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线C 的直角坐标方程为
(
)
(2
2
14
x y -+-=，利用直线
参数方程的公式可得参数方程为12x t y ì=ï
ï
íï=-ï
î
(t 为参数)； （Ⅱ）联立直线的参数方程与圆的一般方程，结合直线参数方程的几何意义可得
PA PB
+的值为7.
【详解】（Ⅰ）曲线，
所以，
即，
得曲线
的直角坐标方程为
，
直线的参数方程为为参数）．
（Ⅱ）将为参数）代入圆的方程，
得，
整理得，得，所以
所以．
【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式
cos
sin
x
y
r q
r q
ì=
ï
í
=
ïî，而极坐标方程转化为直角坐
标方程的关键是利用公式
222
tan
x y
y
x
r
q
ì=+
ï
í
ï=
ïî，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生2r，cos
r q,sin
r q
以便转化.
23.设函数
()12 f x x x
=-+-
.
（1）解不等式
()5
f x x
?；
（2）若
1
()1
f x
a
?
对x R
"?恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
8
(,2][,)
3 -???
.
(2)
1
(,0)[,)
2
-ト+?
.
【解析】
分析：（1）对x分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；
（2）
()11
f x
a
?
对x R
"?恒成立，等价于
()min11
f x
a
?
，而
()12
f x x x
=-+-
()()121
x x ?--=，所以1
11a -?，从而可得结果.
详解：（1）因为
()32,11,12
23,2x x f x x x x ì-?ïï
=<<íï-?ïî， 当1x £时325x x -?，解得2x ?；当12x <<时，15x ?，无解；
当2x ³时，235x x -?，解得
8
3x ³
.
所以不等式()5f x x ?的解集为][8,2,3骣琪-???琪桫
.
（2）依题意只需
()min 11
f x a ?
，而()12f x x x =-+-()()
121
x x ?
--=.
所以111a -?，所以0a <或12a ³，故实数a 的取值范围是()1,0,2轹÷-ト+?ê÷ê滕.
点睛：绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。