河北省届中考数学系统复习计划第六单元圆滚动小专题八三角形内心及外心练习

滚动小专题(八) 三角形的外心与内心
类型1 三角形外心
1．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，那么△ABC的外心在(D)
A．△ABC内B．△ABC外C．BC边中点D．AC边中点
2．(2021·河北模拟)如图，每个小三角形都是正三角形，那么△ ABC 的外心是(B)
A．D点B．E点C．F点D．G点
3．如图，点O是正八边形A．O是△CEF的外心
C．O是△OAC的外心ABCDEFGH的中心，那么以下说法错误的选项是(C) B．O是△CFG的外心
D．O是△CDE的外心
4．如图是10个相同的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中各点的位置，判断O点是以下哪一个三角
形的外心(C)
A．△ABD B．△BCD C．△ACD D．△ADE
5．某地有四个村庄E，F，G，H(其位置如下图)，现拟建一个电视信号中转站，信号覆盖的范围是以发射台为圆
心的圆形区域．为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小(圆形区域半径越小，
所需功率越小)，此中转站应建在(C)
A．线段HF的中点处B．△GHE的外心处
C．△HEF的外心处D．△GEF的外心处
6．在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是 5cm，那么△ABC的外接圆半径为(C)
A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．假设点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，那么点C的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4)．
1
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB＝AC，O为△ABC的外心，△OCP为等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA.
求∠OAC的度数；
求∠AOP的度数．
解：(1)∵O为△ABC的外心，
∴AO垂直平分BC.
∵AB＝AC，
∴AO平分∠BAC.
1
∴∠OAC＝∠BAC＝35°.
2
∵O为△ABC的外心，∴AO＝CO.
∴∠OAC＝∠OCA＝35°.∴∠AOC＝110°.
∵△OCP为正三角形，∴∠POC＝60°.
∴∠AOP＝50°.
类型2三角形内心
9．如图为 5×5的网格图，点A，B，C，D，O均在格点上，那么点O是(B)
A．△ACD的外心B．△ABC的外心
C．△ACD的内心D．△ABC的内心
10．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D，E在BC上，△ADE是等边三角形．假设点O是△ABC的内心，那么以下说法
正确的选项是(C)
A．点O是△ADE的内心
B．点O是△ADE的外心
C．点O不是△ABE的内心
D．点O是△ABC的外心
2
提示：易知OA平分∠BAC，由于OA不平分∠BAE，所以点O不是△ABE的内心．
11．如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC.假设∠B＝44°，∠C＝56°，那么∠AID的度数为(A)
A．174°B．176°C．178°D．180°
提示：连接CI，∠AID＝∠AIC＋∠CID＝112°＋62°＝174°.
12．如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，那么△CEF的周长为(A)
A．14cm B．15cm C．13cm D．cm
提示：连接OA，△CEF＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14.
cm
13．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI，BD，DC.以下说法中错误的一项
是()
D
A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合
．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合
C
D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
提示：根据I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，由角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，∠ABI
＝∠CBI.根据三角形外角的性质得到∠DBI＝∠DIB，根据等腰三角形的性质得到BD＝DI.
14．(2021·娄底)如图，P是△ABC的内心，连接PA，PB，PC，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3.那么S1＜S2＋S3.(填“＜〞“＝〞或“＞〞)
3
15．如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在斜边AB上分别截取AD＝AC，BE＝BC，DE＝6，点O是△CDE的外心，那么点O到△ABC的三边的距离之和是9．
提示：由题意知：点O
是EC，CD垂直平分线的
交点，∵AD＝AC，
BE＝BC，∴EC的垂直平
分线经过点B且平
分
11∠B，CD的垂直平分线经过点A且平分∠A.∴点O是△ABC的内心．∵∠ACB＝90°，∴r＝2(AC＋BC－AB)＝
2(AD＋
1
BE－AB)＝DE＝3.∴点O到△ABC的三边的距离之和是3r＝9.
2
16．三角形内角平分线的交点为三角形的内心．如图，D是△ABC的内心，E是△ABD的内心，F是△BDE的内心．假设
∠BFE的度数为整数，那么∠BFE至少是113°．
17．I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD.
在图1中，求证：DB＝DI；
如图2，假设AB为直径，且OI⊥AD于点I，DE切圆于点D，求sin∠ADE的值．
解：(1)证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴AD平分∠CAB，BI平分∠ABC.
∴∠CAD＝∠BAD，∠ABI＝∠CBI.
∵∠CAD＝∠DBC，∴∠DAB＝∠DBC.
∵∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，
DIB＝∠DAB＋∠ABI，∴∠DIB＝∠DBI.∴DB＝DI.
(2)连接BD，DO.
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.
OI⊥AD，∴AD＝2DI.
∵BD＝DI，∴AD＝2BD.
22
∴AB＝AD＋BD＝5BD.
∵DE切圆于点D，∴∠ADE＋∠ADO＝90°.
4
又∵∠ADO＋∠ODB＝90°，∠ODB＝∠OBD，∴∠ABD＝∠ADE.
∴sin∠ADE＝sin∠ABD＝AD2BD25
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5
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AB5BD
5。