2024-2025学年高一上数学课时作业22：函数的单调性

2024-2025学年高一上数学课时作业22函数的单调性
基础强化
1.若函数f(x)的图象如图所示，则其单调递减区间是()
A．[－4，－1]，[1，4]B．[－1，1]
C．[－4，4]D．[－2，2]
2．使函数f(x)＝|x|与g(x)＝－x2＋2x都是增函数的区间可以是
A．[0，1]B．(－∞，1]
C．(－∞，0]D．[0，2]
3．已知函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(2)，f(π)，f(3)的大小关系是() A．f(π)>f(2)>f(3)
B．f(3)>f(π)>f(2)
C．f(2)>f(3)>f(π)
D．f(π)>f(3)>f(2)
4．下列说法中，正确的有()
A．若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，f（x1）－f（x2）
x1－x2>0，则y＝f(x)在I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数y＝－1
x在定义域上是增函数
D．函数y＝1
x的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) 5．(多选)下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是() A．y＝|x|＋1B．y＝|x|
x
C．y＝－x2
|x|D．y＝x＋x
|x|
6．(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)，若不等式f(m＋1)>f(2m)恒成立，则实数m的可能取值为()
A．－1
3B．1
3
C．0D．1
7．写出一个同时具有性质①对任意0<x1<x2，都有f(x1)>f(x2)；②f(1)＝1的函数f(x)＝________．
8．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则实数k的取值范围是________．
9．作出下列函数的大致图象，并写出函数的单调区间：
(1)y＝x－1
x－2；
(2)f(x)＝|x|(x－2).
10．已知函数f(x)＝x－b
x－a ，且f(2)＝
1
4，f(3)＝
2
5
.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)根据定义证明函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递增．
能力提升
11.若函数f(x)＝4x2－kx－8在[4，5]上是单调函数，则k的取值范围是() A．[32，40]
B．(－∞，32]∪[40，＋∞)
C．(－∞，32]
D．[40，＋∞)
12．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f(2x－1)<f(1
3)的x的取值范围是
()
A．(1
3，2
3
)B．[1
3，
2
3
)
C．(1
2，2
3
)D．[1
2，
2
3
)
13．已知函数f(x)x2－ax－9，x≤1
x>1
在R上单调递增，则实数a的取值范围为()
A．[－5，0)B．(－∞，－2)
C．[－5，－2]D．(－∞，0)
14．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，若a∈R，则() A．f(a2＋1)>f(2a)
B．f(a2＋1)>f(a)
C．f(2a)<f(a2＋2)
D．f(a2)>f(a)
15.函数f(x)＝2x2－7x＋3的递减区间为________．
16．已知定义域为(－1，1)的函数f(x)＝x
x2＋1.
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；
(2)解不等式f(2x－1)－f(－x)<0.
答案解析
1．解析：观察函数f (x )的图象，可知函数f (x )的单调递减区间为[－1，1].故选B.答案：B
2．解析：函数f (x )＝|x |的增区间为[0，＋∞)，函数g (x )＝－x 2＋2x 的增区间为(－∞，1]，因此满足两函数都是增函数的区间为[0，1].故选A.
答案：A
3．解析：因为在区间[0，＋∞)上是增函数，并且π>3>2，所以f (π)>f (3)>f (2)，所以D 选项正确．故选D.答案：D
4．解析：对任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，x 1－x 2<0，由f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
>0知：
f (x 1)－f (x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)，故A 正确；
函数y ＝x 2在R 上先单调递减再单调递增，故B 错误；
函数y ＝－1
x 在定义域上函数图象不连续，在定义域上不是增函数，故C 错误；
函数y ＝1
x
的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，单调区间不能用∪连结，故D 错误．故
选A.
答案：A
5．解析：在A 中，当x <0时，y ＝|x |＋1＝－x ＋1在(－∞，0)上为减函数；
在B 中，当x <0时，y ＝|x |
x ＝－1在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；
在C 中，当x <0时，y ＝－x 2
|x |＝x 在(－∞，0)上是增函数；
在D 中，当x <0时，y ＝x ＋x
|x |
＝x －1在(－∞，0)上是增函数．故选CD.
答案：CD
6．解析：因为对任意的x 1，x 2∈R ，当x 1>x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在R 上单调递增，
又不等式f (m ＋1)>f (2m )恒成立，即m ＋1>2m ，解得m <1，所以符合题意的有A 、B 、C.故选ABC.答案：ABC
7．解析：因为对任意0<x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，＋∞)上是减函
数．又f (1)＝1，故函数可以为f (x )＝1
x
.(注：满足题目条件的函数表达式均可．)
答案：1
x
(答案不唯一)
8．解析：∵y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，
则2k －1<0，解得k <1
2.
答案：(－∞，1
2
)
9．解析：(1)y ＝x －1x －2＝1＋1
x －2
，图象如图所示：
所以函数的减区间为(－∞，2)和(2，＋∞)；无增区间．
(2)因为f (x )＝|x |(x －2)x 2－2x ，x ≥0
－x 2
＋2x ，x <0
，
所以该函数的图象如图所示：
所以函数的增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)，减区间为(0，1).
10．解析：(1)f （2）＝2－b 2－a ＝
1
4
f （3）＝3－b 3－a ＝
2
5
a ＝－2
b ＝1，∴f (x )＝x －1
x ＋2
.
(2)任取x 1>x 2>－2，
则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－
x 2－1
x 2＋2
＝（x 1－1）（x 2＋2）－（x 2－1）（x 1＋2）（x 1＋2）（x 2＋2）＝3（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）
，
∵x 1>x 2>－2，
∴x 1＋2>0，x 2＋2>0，x 1－x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，
∴函数f (x )在(－2，＋∞)上单调递增．
11．解析：因为f (x )＝4x 2
－kx －8的对称轴为x ＝k 8
，且其图象开口向上，
所以k 8≤4或k
8
≥5，解得k ≥40或k ≤32，所以k 的取值范围是(－∞，32]∪[40，＋
∞).故选B.
答案：B
12．解析：因为f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，由f (2x －1)<f (1
3
)可得0≤2x －
1<13，解得12≤x <2
3.故选D.答案：D
13．解析：由题意，x ∈R ，
在f (x )
x 2
－ax －9，x ≤1
x >1
中，函数单调递增，
－－a 2×（－1）≥1<0
1－a －9≤
a
1
，解得－5≤a ≤－2，故选C.
答案：C
14．解析：因为a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，所以a 2＋1≥2a ，所以f (a 2＋1)≥f (2a )，故A 选项错误；
因为a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34
>0，所以a 2＋1>a ，所以f (a 2
＋1)>f (a )，故B 选项正确；
因为a 2＋2－2a ＝(a －1)2＋1≥1>0，所以a 2＋2>2a ，所以f (2a )<f (a 2
＋2)，故C 选项正确；
而对于a 2
与a 无法比较大小，所以D 选项错误．故选BC.答案：BC
15．解析：由f (x )＝2x 2
－7x ＋3，则2x 2－7x ＋3≥0，解得x ≥3或x ≤12
，所以函数
f (x )＝2x 2－7x ＋3的定义域为[3，＋∞)∪(－∞，1
2
]，设t ＝2x 2－7x ＋3，y ＝f (x )，则
y ＝t 为定义域内的增函数，而函数t ＝2x 2－7x ＋3在(－∞，1
2
]上单调递减，所以函数
f (x )＝2x 2－7x ＋3的单调递减区间为(－∞，1
2
].
答案：(－∞，1
2
]
16．解析：(1)函数f (x )＝x
x 2＋1
在区间(－1，1)上为增函数，
证明：设－1<x 1<x 2<1，
则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2
x 2
2＋1
＝（x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 2
2＋1）
，又由－1<x 1<x 2<1，则x 2－x 1>0，x 1x 2－1<0，
则有f (x 1)－f (x 2)<0，故f (x )在(－1，1)上为增函数．(2)由f (2x －1)－f (－x )<0，则f (2x －1)<f (－x )，
由(1)知f (x )在(－1
，1)x －1<－x
1<2x －1<11<－x <1
，
解可得：0<x <13，故不等式的解集为(0，1
3
).。