高考数学压轴专题2020-2021备战高考《函数与导数》单元检测附答案

新高中数学《函数与导数》专题解析
一、选择题
1．若曲线43y x x ax =-+(0x >)存在斜率小于1的切线，则a 的取值范围为（ ）
A ．3,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．5,
4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．1,
4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
对函数进行求导，将问题转化为不等式有解问题，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得答案； 【详解】
由题意可得3
2
431y x x a '=-+<在()0,x ∈+∞上有解，
设()3243f x x x a =-+(0x >)，()()2
126621f x x x x x '=-=-，
令()0f x '<，得102x <<
；令()0f x '>，得12
x >， ∴()f x 在1
(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增，
∴()min 11124f x f a ⎛⎫
==-< ⎪⎝⎭
，解得：54a <.
故选：C. 【点睛】
本题考查导数的几何意义、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
2．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+
C ．y x =
D ．2y x =-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】
因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，
(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.
3．函数22cos x x
y x x
--=-的图像大致为（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法: 由5522
f f ππ
⎛⎫⎛⎫
-
=- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
排除选项D ； 根据特殊值502
f π⎛⎫
>
⎪⎝⎭
排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】
对于选项D:由题意可得, 令函数()
f x = 22cos x x
y x x
--=-,
则5522
52252
2
f ππππ-
-⎛⎫-= ⎪⎝⎭
,552
2
52252
2
f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭
;
即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫
-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.故选项D 排除; 对于选项C ：因为552
2
522052
2
f πππ
π-
-⎛⎫=> ⎪⎝⎭
,故选项C 排除;
对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时
()0f x <.故选项B 排除;
故选项:A 【点睛】
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
4．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1 B ．
13
C ．
23
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，曲线21x
y e -=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2x x x y e -=='=-=-，
所以曲线21x
y e
-=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，
令0y =，解得1x =，令y x =，解得23
x y ==
， 所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为121
1233
⨯⨯=，故选B ．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5．
三个数2233
ln a b c e ===，的大小顺序为( ) A ．b <c <a B ．b <a <c
C ．c <a <b
D ．a <b <c
【答案】D 【解析】 【分析】
通过证明1
3
a b c <<<，由此得出三者的大小关系. 【详解】
1
3
2221ln 63a e e =<==，由于6
123e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
6
3
28==，所以1
3e <
，所以
1
3
1ln 3e =<13a b <<.而6
6
113232228,339⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以113223<，所以1
132
1
ln 2ln 3ln 33
<=，即b c <，所以a b c <<.
故选：D 【点睛】
本小题主要考查指数式、对数式比较大小，考查指数运算和对数运算，属于中档题.
6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ） A ．()()()0.6
33log 132f f f -<-<
B ．()()()0.6
332log 13f f f -<<-
C ．()()()0.6
3
2
log 133f f f <-<- D ．()()()0.6
3
2
3log 13f f f <-<
【答案】C 【解析】 【分析】
利用指数函数和对数函数单调性可得到0.6
32log 133<<，结合单调性和偶函数的性质可
得大小关系. 【详解】
()f x Q 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，
0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，
()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.
故选：C . 【点睛】
本题考查函数值大小关系的比较，关键是能够利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内，由自变量的大小关系，利用函数单调性即可得到函数值的大小关系.
7．已知函数()3
2
2
f x x ax bx a =+++在1x =处取极值10，则a =（ ）
A ．4或3-
B ．4或11-
C ．4
D ．3-
【答案】C 【解析】
分析：根据函数的极值点和极值得到关于,a b 的方程组，解方程组并进行验证可得所求．
详解：∵322()f x x ax bx a =+++， ∴2()32f x x ax b '=++．
由题意得2
(1)320
(1)110f a b f a b a =++=⎧⎨=+++='⎩
， 即2
239a b a b a +=-⎧⎨
++=⎩，解得33a b =-⎧⎨=⎩或4
11
a b =⎧⎨=-⎩． 当33
a b =-⎧⎨
=⎩时，22
()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥，故函数()f x 单调递增，无极值．不
符合题意． ∴4a =． 故选C ．
点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．
（2）对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．
8．已知函数()210
0ax x f x lnx x ⎧+≤=⎨⎩，，＞，
，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判
断，正确的是（ ）
A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个
B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个
C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个
D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个 【答案】B 【解析】 【分析】
分别画出0a =，0a >，0a <时，()y f x =的图象，结合()t f x =，()0f t m +=的解的情况，数形结合可得所求零点个数． 【详解】
令()t f x =，则()0f t m +=，
当0a =时， 若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =， 即当0a =，m R ∈时，不是有且只有1个零点，故A 错误；
当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确；
当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.
9．若关于x 的不等式220x ax -+>在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是（ ） A ．(22,)+∞ B ．(,2)-∞
C ．(,3)-∞
D ．27(,
)5
-∞ 【答案】D 【解析】 【分析】
把220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]
1,5x ∈使得
22
x 2ax x a x
+>⇒+
>，解出()f x 的最大值． 【详解】
220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]1,5x ∈使得
22x 2ax x a x +>⇒+>，设()2
f x x x
=+，即是()f x 的最大值a >，()f x 的最大值27
5=
，当5x =时取得，故选D 【点睛】
10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ）
A ．()()()0.3
1.1
3
0. 2
0.54f f log f << B ．()()()0.3
1.1
3
0. 240.5f f f log <<
C ．()()()1.1
0.3
3
40.20.5f f f log <<
D ．()(
)()0.3
1.1
3
0.50.24f log f f <<
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.3
1.130.2
1log 0.5141-<-<-，又
()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.
【详解】
解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()()()0.3
1.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈,
则0.3
1.130.2
1log 0.5141-<-<-，
又()f x 在[1,)+∞上单调递增, 所以(
)()()0.3
1.1
3
0.20.54f f log f <<.
故选:A. 【点睛】
本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.
11．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛
⎫=++<< ⎪+++-⎝
⎭的最小值为
（ ） A
B
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】
2
2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos
1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x +++-+++=
++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x
x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=
+=⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛
⎫=
+<< ⎪⎝
⎭， 322222
21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '
'
'
--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 令()cos 0,1t x =∈，()3
2
61g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， 所以当03
x π
<<时，
()1
1,02
t g t <<<，从而()'0f x <； 当
3
2
x π
π
<<
时，()1
0,02
t g t <<
>，从而()'0f x >. 故()min 53
3f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
12．函数(
)
3
2x
y x x =-⋅的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
排除法：根据函数(
)
3
2x
y x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可. 【详解】
函数(
)
3
2x
y x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ； 函数有1-，0，1三个零点，故排除A ； 当2x =时，函数值为正数，故排除B . 故选：C . 【点睛】
本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.
13．已知函数2()f x x m =+与函数1()ln
3g x x x =--，1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5ln )4
[2,2+ B ．5
[2ln 2,
ln 2)4
-+ C ．5(ln 2,2ln 2)4
+- D ．(]2ln2,2-
【答案】A 【解析】 【分析】
将问题转化为()()f x g x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
恰有两个不同的解，令()()()h x f x g x =+，将问
题转化为()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个零点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性，进而确定
区间端点值和最值，由此构造不等式求得结果. 【详解】
()f x Q 与()g x 在1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，
()()f x g x ∴=-在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
恰有两个不同的解，
即2
21ln
3ln 30x m x x x x m x +--=+-+=在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恰有两个不同的解， 令()2
ln 3h x x x x m =+-+，则()()()2211123123x x x x h x x x x x
---+'=+-==
， ∴当1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x '<；当()1,2x ∈时，()0h x '>，
()h x ∴在1
,12
⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，
又15ln 224h m ⎛⎫
=--+
⎪⎝⎭
，()12h m =-，()2ln 22h m =-+， 原问题等价于()h x 在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恰有两个零点，
则5ln 2024m m --+≥>-，解得：5ln 224m +≤<，即m 的取值范围为5ln 2,24⎡
⎫+⎪⎢⎣
⎭.
故选：A . 【点睛】
本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将两函数图象对称点个数的问题转化为方程根的个数的问题，进一步通过构造函数的方式将问题转化为函数零点个数的问题.
14．已知函数()2
cos f x x x =-，若15log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3
15c f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
=⎪，
则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>
【答案】B 【解析】 【分析】
判断()f x 为偶函数，利用导数得出()f x 在()0,π上单调递增，由对数函数的性质，结合函数()f x 的单调性和奇偶性，即可得出答案. 【详解】
()()()()2
2cos cos f x x x x x f x -=---=-=，故()f x 为偶函数
故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可.
()'2sin f x x x =+，当()0,x π∈时，易得()'0f x > 故()f x 在()0,π上单调递增，()155log 3log 3a f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
()331log log 55b f f ⎛
⎫== ⎪⎝
⎭，
由函数单调性可知()()3531log 3log 55f f f ⎛⎫
⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，即c a b << 故选：B 【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性比较大小，属于中档题.
15．已知函数()2f x x x =+，且()1231ln log 223a f b f c f -⎛
⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，，，则a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．b a c << 【答案】A
【解析】
【分析】
由函数()2f x x x =+，可得()()f x f x -=，得到函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴
对称，又由由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解．
【详解】
由题意，函数()2f x x x =+，满足()()22
()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数()f x 为定义域上的偶函数，图象关于y 轴对称，
又当0x ≥时，()2
f x x x =+，由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，
又由31ln 22<=，113222log log 1<=-，1122
-=， 根据对称性，可得11323(ln )(2)(log )2
f f f -<<，即a c b <<，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，其中解答中得到函数的单调性与奇偶性，以及熟练应用对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16．设函数()x
f x x e =⋅，则（ ） A ．()f x 有极大值1e B ．()f x 有极小值1e
- C ．()f x 有极大值e
D ．()f x 有极小值e -
【答案】B
【解析】
【分析】 利用导数求出函数()y f x =的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论.
【详解】
()x f x x e =⋅Q ，定义域为R ，()()1x f x x e '∴=+，令()0f x '=，可得1x =-.
当1x <-时，()0f x '<；当1x >-时，()0f x '>.
所以，函数()x f x x e =⋅在1x =-处取得极小值()11f e
-=-， 故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，考查计算能力，属于中等题.
17．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( )
A ．17(1)a r +
B ．17[(1)(1)]a r r r +-+
C ．18(1)a r +
D ．18[(1)(1)]a r r r
+-+ 【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可.
【详解】
解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +，
孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +， ⋯⋯
孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，
可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，
此时将存款（含利息）全部取回，
则取回的钱的总数：
171716
18(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a S a r a r a r r r r r ++-=++++⋯⋯++==+-++-； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.
18．对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：
19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则
3
2(2)a f =,3
1(log )27b f =，c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
【答案】C
【解析】
【分析】 利用导数判断3
()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.
【详解】 Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，
31(log )(3)(3)27
b f f f ∴==-=， 3
2023<<=<Q ，
当0x ≥，'2
()330f x x =+>恒成立，
∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，
3
231(log )(2)27
f f f ∴>>，即b a c >>. 故选：C.
【点睛】 本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.
20．函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D
【解析】
【分析】
根据0a >可知5y ax =-在定义域内单调递减，若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则需1530a a >⎧⎨-≥⎩
，解不等式即可. 【详解】
0a >Q
5y ax ∴=-在定义域内单调递减
若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数
则需1530
a a >⎧⎨-≥⎩，解得513a <≤ 故选：D
【点睛】
本题考查对数函数的单调性，属于中档题.。