左权县三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

左权县三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
2．已知
2,0
()
2,0
ax x x
f x
x x
⎧+>
=⎨
-≤
⎩
，若不等式(2)()
f x f x
-≥对一切x R
∈恒成立，则a的最大值为（）
A．
7
16
-B．
9
16
-C．
1
2
-D．
1
4
-
3．已知函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是（）
A．（﹣2，﹣1）∪（1，2）B．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
4．直线的倾斜角是（）
A．B．C．D．
5．设方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数为m，则m不可能等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知函数，，若，则（）
A1
B2
C3
D-1
7．函数f（x﹣）=x2+，则f（3）=（）
A．8 B．9 C．11 D．10
8．A={x|x＜1}，B={x|x＜﹣2或x＞0}，则A∩B=（）
A．（0，1）B．（﹣∞，﹣2）
C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）
9．已知函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2成等差数列，f′（x）是f（x）的导函数，则（）
A．f′（x0）＜0 B．f′（x0）=0
C．f′（x0）＞0 D．f′（x0）的符号无法确定
10．如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（）
A．B．C．D．
11．已知x，y满足，且目标函数z=2x+y的最小值为1，则实数a的值是（）
A．1 B．C．D．
12．设i是虚数单位，若z=cosθ+isinθ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
13．S n=++…+=．
14．设,x y 满足条件,
1,
x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩，若z ax y =-有最小值，则a 的取值范围为 ．
15．设O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线为l ，焦点为F ，过F 斜率为的直线与抛物线C
相交于A ，B 两点，直线AO 与l 相交于D ，若|AF|＞|BF|，则= ．
16．已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则
b
a
的值为 ▲ ． 17．抛物线y 2=8x 上一点P 到焦点的距离为10，则P 点的横坐标为 ．
18．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）
【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.
三、解答题
19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinA ﹣sinC （cosB+sinB ）=0．
（1）求角C 的大小； （2）若c=2，且△ABC 的面积为，求a ，b 的值．
20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()f x x a a R =-∈.
（1）当1a =时，解不等式()211f x x <--；
（2）当(2,1)x ∈-时，121()x x a f x ->---，求的取值范围.
21．记函数f（x）=log2（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=的定义域为集合N．求：
（Ⅰ）集合M，N；
（Ⅱ）集合M∩N，∁R（M∪N）．
22．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．
（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？
23．由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．
（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？
（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？
（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？
（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．
24．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆
的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．
左权县三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：把函数y=sin3x 的图象向右平移个单位长度，可得y=sin3（x ﹣）=sin （3x ﹣
）的图象，
故选：A ．
【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
2． 【答案】C
【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．
当0a >（如图1）、0a =（如图2）时，不等式不可能恒成立；当0a <时，如图3，直线2(2)y x =--与函数2y ax x =+图象相切时，916
a =-，切点横坐标为83，函数2y ax x =+图象经过点(2,0)时，1
2a =-，
观察图象可得1
2
a ≤-，选C ． 3． 【答案】D
【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图
则不等式xf （x ）＜0的解为：
或
解得：x ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） 故选：D ．
4． 【答案】A
【解析】解：设倾斜角为α，
∵直线的斜率为，
∴tan α=
，
∵0°＜α＜180°， ∴α=30° 故选A ．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．
5．【答案】A
【解析】解：方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数可化为函数y=|x2+3x﹣3|与y=a的图象的交点的个数，作函数y=|x2+3x﹣3|与y=a的图象如下，
，
结合图象可知，
m的可能值有2，3，4；
故选A．
6．【答案】A
【解析】g（1）=a﹣1，
若f[g（1）]=1，
则f（a﹣1）=1，
即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，
解得a=1
7．【答案】C
【解析】解：∵函数=，∴f（3）=32+2=11．
故选C．
8．【答案】D
【解析】解：∵A=（﹣∞，1），B=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），
∴A∩B=（﹣∞，﹣2）∪（0，1），
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
9．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），
∴，
∴存在x1＜a＜x2，f'（a）=0，
∴，∴，解得a=，
假设x1，x2在a的邻域内，即x2﹣x1≈0．
∵，
∴，
∴f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，
∴x0＞a，
又∵x＞x0，又∵x＞x0时，f''（x）递减，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．
10．【答案】D
【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），
联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，
∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，
∴△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）≥0，
整理，得k2，
解得﹣≤k≤．
∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣，]．
故选：D．
【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．11．【答案】B
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知A（a，a），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（a，a）时直线在y轴上的截距最小，z最小，z的最小值为2a+a=3a=1，解
得：a=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
12．【答案】B
【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ），
且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限，
∴，∴θ为第二象限角，
故选：B．
【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】
【解析】
解：∵
=
=
（
﹣
），
∴S n
=
+
+…
+
= [（1﹣）+（
﹣）+
（
﹣）+…+
（
﹣
）
=（1
﹣
）
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．
14．【答案】[1,)+∞
【解析】解析：不等式,
1,
x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩表示的平面区域如图所示，由z ax y =-得y ax z =-，当01a ≤<时，
平移直线1l 可知，z 既没有最大值，也没有最小值；当1a ≥时，平移直线2l 可知，在点A 处z 取得最小值；当10a -<<时，平移直线3l 可知，z 既没有最大值，也没有最小值；当1a ≤-时，平移直线4l 可知，在点
A 处z 取得最大值，综上所述，1a ≥．
15．【答案】
．
【解析】解：∵O 为坐标原点，抛物线C ：y 2
=2px （p ＞0）的准线为l ，焦点为F ， 过F 斜率为
的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，
直线AO 与l 相交于D ， ∴直线AB 的方程为y=（x ﹣），l 的方程为x=﹣， 联立
，解得A （﹣
，
P ），B （，﹣
）
∴直线OA的方程为：y=，
联立，解得D（﹣，﹣）
∴|BD|==，
∵|OF|=，∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．
16．【答案】
1 2
考
点：函数极值
【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧
的符号―→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
17．【答案】8．
【解析】解：∵抛物线y2=8x=2px，
∴p=4，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=x+=x+2=10，
∴x=8，
故答案为：8．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
18．【答案】48
【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）∵由题意得，sinA=sin（B+C），
∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinCcosB﹣sinBsinC=0，…（2分）
即sinB（cosC﹣sinC）=0，
∵sinB≠0，
∴tanC=，故C=．…（6分）
（2）∵ab ×=，
∴ab=4，①
又c=2，…（8分）
∴a 2+b 2
﹣2ab ×=4，
∴a 2+b 2=8．②
∴由①②，解得a=2，b=2．…（12分）
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
20．【答案】（1）{}
11x x x ><-或；（2）(,2]-∞-. 【解析】
试
题解析：（1）因为()211f x x <--，所以1211x x -<--， 即1211x x ---<-，
当1x >时，1211x x --+<-，∴1x -<-，∴1x >，从而1x >；
当
1
12x ≤≤时，1211x x --+<-，∴33x -<-，∴1x >，从而不等式无解； 当1
2
x <时，1211x x -+-<-，∴1x <-，从而1x <-；
综上，不等式的解集为{}11x x x ><-或.
（2）由121()x x a f x ->---，得121x x a x a -+->--， 因为1121x x a x a x x a -+-≥-+-=--，
所以当(1)()0x x a --≥时，121x x a x a -+-=--； 当(1)()0x x a --<时，121x x a x a -+->--
记不等式(1)()0x x a --<的解集为A ，则(2,1)A -⊆，故2a ≤-， 所以的取值范围是(,2]-∞-.
考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论. 21．【答案】
【解析】解：（1）由2x﹣3＞0 得x＞，∴M={x|x＞}．
由（x﹣3）（x﹣1）＞0 得x＜1 或x＞3，∴N={x|x＜1，或x＞3}．
（2）M∩N=（3，+∞），M∪N={x|x＜1，或x＞3}，
∴C R（M∪N）=．
【点评】本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集、并集、补集的定义和运算，属于基础题．22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，
则有（平方米），
可知，池底长方形宽为米，则
（Ⅱ）设总造价为y，则
当且仅当，即x=40时取等号，
所以x=40时，总造价最低为297600元．
答：x=40时，总造价最低为297600元．
23．【答案】
【解析】
【专题】计算题；排列组合．
【分析】（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；
（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论x≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x），解可得x的值．
【解答】解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5；
又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，
在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，
即能被5整除的三位数共有6个；
（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；
又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，
取出的三个数字为1、2、9时，有A33=6种情况，
取出的三个数字为2、4、9时，有A33=6种情况，
则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；
（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；
又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，
当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，
当末位是2或4时，有A21×A21×A21=8种情况，
此时三位偶数一共有6+8=14个，
（4）若x=0，可以组成C31×C31×C21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，
则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，
故x=0不成立；
当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C41×C31×C21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，
则每个数字用了=18次，
则有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7．
【点评】本题考查排列知识，解题的关键是正确分类，合理运用排列知识求解，第（4）问注意分x为0与否两种情况讨论．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率，
又∵直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为（2，0），即a=2，c=，b=1，…
∴椭圆方程为：．…
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2）
联立消去y并整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0…
则，
于是…
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．
∴…
由m≠0得：
又由△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，得：0＜m2＜2
显然m2≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，
直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）…
设原点O到直线的距离为d，则
∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）…
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．。