林芝市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

林芝市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）
A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β 2． 设集合{}|||2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则A B =（ ）
A.{}|12x x <≤
B.{}|21x x -≤≤
C. {}2,1,1,2--
D. {}1,2
【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．
3． 已知函数f （x ）=2ax 3﹣3x 2+1，若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（0，1） C ．（﹣1，0） D ．（﹣∞，﹣1）
4． 设集合S=|x|x ＜﹣1或x ＞5}，T={x|a ＜x ＜a+8}，且S ∪T=R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．﹣3＜a ＜﹣1 B ．﹣3≤a ≤﹣1
C ．a ≤﹣3或a ≥﹣1
D ．a ＜﹣3或a ＞﹣1
5． 若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+， 则当
14
x y
+取最小值时，CM CN ⋅=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
6． 已知数列{}n a 的各项均为正数，
12a =，114
n n n n
a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为5，
则n =（ ）
A ．35
B ． 36
C ．120
D ．121
7． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
（acosB+bcosA ）=2csinC ，a+b=8，且△ABC 的
面积的最大值为
4，则此时△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
8． 已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
9． 定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f （7）=6，则f （x ）（ ） A ．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6
B ．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6
C ．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6
D ．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6
10．设函数()()21x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的 取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
1111] 11．已知函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，则a 的值等于（ ） A ．8
B ．1
C ．5
D ．﹣1
12．已知函数f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x ＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf （x ）＜0的解集是（ ）
A ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
B ．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）
D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
13．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．
B ．y=x 2
C ．y=﹣x|x|
D ．y=x ﹣2
14．已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222
n
n x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足
*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10596S S -=（ ） A.909 B.910 C.911 D.912
【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c
，若
﹣
+1=0，则角B 的度数是（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．150°
D ．60°或120°
二、填空题
16．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．
17．经过A （﹣3，1），且平行于y 轴的直线方程为 ．
18．已知函数5()sin (0)2
f x x a x π
=-≤≤
的三个零点成等比数列，则2log a = . 19．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．
三、解答题
20．（本小题满分10分） 已知圆P 过点)0,1(A ，)0,4(B .
（1）若圆P 还过点)2,6(-C ，求圆P 的方程； （2）若圆心P 的纵坐标为，求圆P 的方程.
21．已知函数
，且
． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若对于任意，都有，求
的最小值；
（Ⅲ）证明：函数的图象在直线
的下方．
22．（本小题满分16分）
给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-,()g x x =- （1）若()f x 在1=x 处取最值．求的值；
（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．
23．已知函数f （x0=
．
（1）画出y=f （x ）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间； （2）解不等式f （x ﹣1）≤﹣．
24．已知集合A={x|1＜x ＜3}，集合B={x|2m ＜x ＜1﹣m}． （1）若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； （2）若A ∩B=∅，求实数m 的取值范围．
25．（本小题12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 是边长均为a 正方形，CF ⊥平面
ABCD ，BG ⊥平面ABCD ，且24AB BG BH ==． （1）求证：平面AGH ⊥平面EFG ；
（2）若4a =，求三棱锥G ADE -的体积．
【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，间在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．
林芝市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 综上D 选项中的命题是错误的 故选D 2． 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及||2x ≤，得22x -≤≤，则{}|22A x x =-≤≤，所以{}1,2A B =，故选D.
3． 【答案】D
【解析】解：若a=0，则函数f （x ）=﹣3x 2
+1，有两个零点，不满足条件．
若a ≠0，函数的f （x ）的导数f ′（x ）=6ax 2
﹣6x=6ax （x ﹣），
若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，
若a ＞0，由f ′（x ）＞0得x ＞或x ＜0，此时函数单调递增，
由f ′（x ）＜0得0＜x ＜，此时函数单调递减，
故函数在x=0处取得极大值f （0）=1＞0，在x=处取得极小值f （），若x 0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件．
若a ＜0，由f ′（x ）＞0得＜x ＜0，此时函数递增，
由f ′（x ）＜0得x ＜或x ＞0，此时函数单调递减，
即函数在x=0处取得极大值f （0）=1＞0，在x=处取得极小值f （）， 若存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，
则f （）＞0，即2a （）3﹣3（）2
+1＞0，
（）2
＜1，即﹣1＜＜0，
解得a ＜﹣1， 故选：D
【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．
4． 【答案】A
【解析】解：∵S=|x|x ＜﹣1或x ＞5}，T={x|a ＜x ＜a+8}，且S ∪T=R ，
∴
，解得：﹣3＜a ＜﹣1．
故选：A ．
5． 【答案】D 【解析】
试题分析：由题知(1)CB BM CM CB xCA y =-=+-，BA CA CB =-；设B
M k B A =，则,1x k y k =-=-，
可得1x y +=，当
14x y +取最小值时，()141445x y
x y x y x y y x
⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，最小值在4y x x y =时取到，此时21,33y x ==，将()
1,CN 2
CM xCA yCB CA CB =+=+代入，则
()22111233322233x y CM CN xCA yCB CA CB x y +⎛⎫
⋅=++⋅=+=+= ⎪⎝⎭
.故本题答案选D.
考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式． 6． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n 项和．由114
n n n n
a a a a ++-=
+得
2214n n a a +-=，∴{}
2
n a 是等差数列，公差为4，首项为4，∴244(1)4n a n n =+-=，由0n a >
得
n a =
111
2n n a a +==+，∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为
11
11
1)(1)522
22
n +++==，∴120n =，选C ． 7． 【答案】A 【解析】解：∵（acosB+bcosA ）=2csinC ，
∴（sinAcosB+sinBcosA ）=2sin 2
C ，
∴
sinC=2sin 2
C ，且sinC ＞0，
∴sinC=
，
∵a+b=8，可得：8≥2
，解得：ab ≤16，（当且仅当a=b=4成立）
∵△ABC 的面积的最大值S
△ABC =absinC ≤=4
，
∴a=b=4，
则此时△ABC 的形状为等腰三角形． 故选：A ．
8． 【答案】D
【解析】解：∵PD ⊥矩形ABCD 所在的平面且PD ⊆面PDA ，PD ⊆面PDC ， ∴面PDA ⊥面ABCD ，面PDC ⊥面ABCD ， 又∵四边形ABCD 为矩形 ∴BC ⊥CD ，CD ⊥AD ∵PD ⊥矩形ABCD 所在的平面 ∴PD ⊥BC ，PD ⊥CD ∵PD ∩AD=D ，PD ∩CD=D
∴CD ⊥面PAD ，BC ⊥面PDC ，AB ⊥面PAD ， ∵CD ⊆面PDC ，BC ⊆面PBC ，AB ⊆面PAB ，
∴面PDC ⊥面PAD ，面PBC ⊥面PCD ，面PAB ⊥面PAD 综上相互垂直的平面有5对 故答案选D
9． 【答案】D
【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数， ∴函数f （x ）在x=7时，函数取得最大值f （7）=6， ∵函数f （x ）是偶函数，
∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6， 故选：D
10．【答案】D 【解析】
考
点：函数导数与不等式．1 【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令()0f x =将函数变为两个函
数()()()21,x
g x e x h x ax a =-=-，将题意中的“存在唯一整数，使得()g t 在直线()h x 的下方”，转化为
存在唯一的整数，使得()g t 在直线()h x ax a =-的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m 的取值
范围.
11．【答案】B
【解析】解：∵函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，令3x+2=2，解得x=0， ∴a=2×0+1=1． 故选：B ．
12．【答案】D
【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图
则不等式xf （x ）＜0的解为：
或
解得：x ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） 故选：D ．
13．【答案】D
【解析】解：函数为非奇非偶函数，不满足条件；
函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件；
函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；
函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件；
故选：D
【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．
14．【答案】A.
【解析】
15．【答案】A
【解析】解：根据正弦定理有：=，
代入已知等式得：﹣+1=0，
即﹣1=，
整理得：2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），
又∵A+B+C=180°，
∴sin（B+C）=sinA，
可得2sinAcosB=sinA，
∵sinA≠0，
∴2cosB=1，即cosB=，
则B=60°．
故选：A．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
二、填空题
16．【答案】x﹣y﹣2=0．
【解析】解：直线AB的斜率k AB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），
所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，
故答案为x﹣y﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
17．【答案】x=﹣3．
【解析】解：经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为：x=﹣3．
故答案为：x=﹣3．
18．【答案】
1 2
考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．
【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题．
19．【答案】 12 ．
【解析】解：设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有（15﹣x ）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x ）人， 由此可得（15﹣x ）+（10﹣x ）+x+8=30，解得x=3， 所以15﹣x=12， 即所求人数为12人， 故答案为：12．
三、解答题
20．【答案】（1）04752
2
=++-+y x y x ；（2）4
25)2()25(2
2=
-+-y x . 【解析】
试题分析：（1）当题设给出圆上三点时，求圆的方程，此时设圆的一般方程02
2
=++++F Ey Dx y x ，将三点代入，求解圆的方程；（2）AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心的横坐标为2
5
，圆心与圆上任一点连线段为半径，根据圆心与半径求圆的标准方程.
试题解析：（1）设圆P 的方程是02
2
=++++F Ey Dx y x ，则由已知得
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-+-+=++++=++++0
26)2(60
04040001222
222F E D F D F D ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=475F E D ． 故圆P 的方程为04752
2
=++-+y x y x .
（2）由圆的对称性可知，圆心P 的横坐标为25
241=+，故圆心)2,2
5(P ， 故圆P 的半径25)20()251(||2
2=-+-==AP r ，
故圆P 的标准方程为4
25)2()25(2
2=-+-y x .
考点：圆的方程 21．【答案】
【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性 【试题解析】（Ⅰ）对求导，得，
所以
，解得
，
所以． （Ⅱ）由，得， 因为，
所以对于任意，都有
．
设，则 ．
令
，解得
．
当x 变化时，
与的变化情况如下表：
所以当
时，
．
因为对于任意，都有成立，
所以 ． 所以的最小值为．
（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”
等价于“”，
即要证， 所以只要证．
由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）． 所以只要证明当时，
即可．
设，
所以，
令，解得．
由，得
，所以在
上为增函数．
所以，即．
所以
．
故函数的图象在直线的下方． 22．【答案】（1） 2a = （2） a ≥2（3）两个零点． 【解析】
试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′
，解得2a = ，需
验证（2） ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′
≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：2
41
x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()241x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数
()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <，
4)0m e ->（ ， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数
试题解析：（1） ()2a
f x x x
=-′
由已知，(1)0f =′
即: 20a -=, 解得：2a = 经检验 2a = 满足题意 所以 2a = ………………………………………4分
因为(]0,1x ∈，所以[)1
1,x ∈+∞，所以2min
112x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()max 2F x =，所以a ≥2 ……………………………………10分
（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为(
)2
2ln 6m x x x x =--+
所以(
)
)(
)1222
221x m x x x x
=--==′ ………12分
当()1,0∈x 时，()'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m
所以()()min 140m x m ==-<， ……………………………………14分
32
4
1-e)(1+e+2e )(=0e
m e -<（） ，8424
812(21))0e e e m e e -++-=>（ 44
42()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：
函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，
所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分 考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性 【思路点睛】
对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 23．【答案】
【解析】解：（1）图象如图所示：由图象可知函数的单调递增区间为 （﹣∞，0），（1，+∞）， 丹迪减区间是（0，1） （2）由已知可得
或，
解得x ≤﹣1或≤x ≤， 故不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪ [，
]．
【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法，属于基础题．
24．【答案】
【解析】解：（1）由A ⊆B 知：，
得m ≤﹣2，即实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； （2）由A ∩B=∅，得：
①若2m ≥1﹣m 即m ≥时，B=∅，符合题意； ②若2m ＜1﹣m 即m ＜时，需
或
，
得0≤m ＜
或∅，即0≤m ＜
，
综上知m ≥0．
即实数m 的取值范围为[0，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，交集及其运算．解答（2）题时要分类讨论，以防错解或漏解．
25．【答案】
【解析】（1）连接FH ，由题意，知CD BC ⊥，CD CF ⊥，∴CD ⊥平面BCFG ． 又∵GH
⊂平面BCFG ，∴CD ⊥GH ．
又∵EF CD ，∴EF GH ⊥……………………………2分
由题意，得14BH a =
，34CH a =，12BG a =，∴22225
16
GH BG BH a =+=， 22225()4FG CF BG BC a =-+=，222225
16
FH CF CH a =+=，
则222
FH FG GH =+，∴GH FG ⊥．……………………………4分 又∵EF FG F =，GH ⊥平面EFG ．……………………………5分
∵GH ⊂平面AGH ，∴平面AGH ⊥平面EFG ．……………………………6分。