初中数学《函数》优品教学PPT北师大版5
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点x0，再列表判断单调性.
学 例1 求函数
的极值.
以 致
分析：
求导函数f '(x)
用
求满足f(x0) =0的x0
判断x0两侧单调性
若x0两侧单调性不 同，则f (x0)为极值
学 例1 求函数
的极值.
以
解:因为
，
致
用
所以 f '(x) = x2 - 4 = (x-2)(x+2).
令 f '(x) = 0，解得 x = 2，或 x = -2.
f '(x) 1 1 1 x，
x
x
f '(x) 0时，x 1.
学 例2 求函数f (x)=lnx-x 的极值.
以 当 x 变化时，f '(x)， f (x)的变化情况如下表:
致
x (0, 1) 1 (1, +∞)
用
f '(x) +
0
-
f (x)
极大值
所以，当x=1时，函数有极大值-1；函数无极小值.
x>x2
x x<x1
x1
x>x1
探
f(x) +
0
-
f(x) -
0
+
究
f (x) 增 极大值 减
f (x) 减 极小值 增
结论：极值点两侧，导数正负符号相异.
注意:(1)f(x0)=0时，x0不一定是极值点. (2)只有f(x0)=0且x0两侧单调性不同，x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求满足f(x0) =0的
f '(x) > 0，即 x>2，或 x<-2；
f '(x) < 0，即 -2<x<2.
学 例1 求函数
的极值.
以
当 x 变化时，f '(x)， f (x)的变化情况如下表:
致
用
x (–∞, –2) –2 (–2, 2)
f '(x) +
0
–
2 (2, +∞)
0
+
f (x) 单调递增
28 3
单调递减
深 探究2 若 f (x0)=0，则 x0是否为极值点？ y
入 分析：x =0是否为函数f (x)=x3的极值点?
f (x) x3
探 f (x)=3x2 ，当f (x)=0时，x =0， 究 而x =0不是该函数的极值点.
o
x
f (x0) =0 x0 是可导函数f (x)的极值点
x0左右两侧导数异号 x0是函数f (x)的极值点 f (x0)=0
f '(a)=0
y = f (x)
b
x
极大值点
探
x
x<a
x=a
x>a
索
f '(x)
-
0
+
f (b) y
新 知
单调 f (x) 递减
极小值
单调 递增
y=f (x)
a
x
x<b x=b x>b
ob x
f '(x)
+
0
-
f (a)
单调 f (x) 递增
单调 极大值 递减
发
一般地，设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义，
端点绝不是函数的极值点．
深 理解极值概念时需注意的几点 化 (1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的 理 左右两侧附近的点而言的． 解 (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的
端点绝不是函数的极值点．
(3)若f (x)在[a，b]内有极值，那么f (x)在[a，b]内
绝不是单调函数，即单调函数在定义域内没有极
现
如果对 x0 附近的所有的点，都有 f (x) < f (x0)，
规
我们就说 f (x0) 是 f (x) 的一个极大值，点 x0叫
律
做函数 y = f (x) 的极大值点.
若 f (x) > f (x0)，则称 f (x0)是 f (x) 的一个 极小值，点 x0 叫做函数 y = f (x) 的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值
顾
x (-∞，-4) -4 (-4，2) 2 (2，+∞)
f '(x) +
0
0+
f (x)
f '(x)>0，(x+4)(x-2)>0 即x<-4或x>2；
复 1.求出函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间. 习 解：f '(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2). 回 令 f '(x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.
解：f '(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2). 令 f '(x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.
临界点附近 函数图象有 什么特点？
顾
x (-∞，-4) -4 (-4，2) 2 (2，+∞)
f '(x) +
0 -0 +
f (x)
f (x)的单调递增区间为(-∞，-4)，(2，+∞). f (x)的单调递减区间为(-4，2).
解：f (x)= 1 x,所以定义域为{x | x 0}. x
用
f
'(x)
1 x2
1
x2 1， x2
f '(x) 0时，x 1.
学 以
例3 求函数 f (x) 1 x 的极值. x
导函数的正负是
当 x 变化时，f '(x)， f (x)的变化交情替况出如现下的表吗？:
致
x (-∞，-1) -1 (-1，0) （0，1） 1 (1，+∞)
函数的极值与导数
高二年级 数学
复
习 回函
函数的单调性 与导数的关系
f '(x)>0，函数单调递增； f '(x)<0，函数单调递减.
顾
数 的
单 调
性性
质
用导数研究函数
1.求导；2.求临界点；
单调性的方法
3.列表；4.单调区间.
复 1.求出函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间. 习 解：f '(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2). 回 令 f '(x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.
和极小值统称为极值.
发
练习 试指出下面函数在[a，b]的极值点与极值，
现
Hale Waihona Puke 并说出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
规
y
律
f (x3)
极大值点：x1 ，x3
f (x4)
极小值点：x2 ，x4
f (x1)
极大值：f (x1) ，f (x3)
f (x2)
极小值：f (x2) ，f (x4)
o a x1
x2
x3 x4 b x
4 3
单调递增
所以，当x = –2时，f (x)有极大值 ；
当x = 2时，f (x)有极小值 .
学 例1 求函数
的极值.
以
解:因为
，
致
求导整理
用
所以f '(x) = x2-4 =(x-2)(x+2).
令f '(x)= 0，解得x = 2，或 x = -2. 求解方程
f '(x) > 0，即x>2，或 x<-2；
深 理解极值概念时需注意的几点 化 理 解
深 理解极值概念时需注意的几点 化 (1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的 理 左右两侧附近的点而言的． 解
深 理解极值概念时需注意的几点 化 (1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的 理 左右两侧附近的点而言的． 解 (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的
求导数—求临界点—列表—写单调区间
探
还记得高台跳水的例子吗？
索
新
h
最高点
知
h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10
o
a
t
探 2.跳水运动员在最高点处附近的情况：
索 新
(1)当t = a时，运动员距水面高度最大， h(t)在此点的导数是多少呢？
h'(a)=0
知h
h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10
f '(x) < 0，即-2<x<2.
学 例1 求函数
的极值.
以
当 x 变化时，f '(x)，f (x)的变化情况如下表:
致
x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞)
用
f '(x) +
0
–0
+ 列表断号
f (x) 单调递增
28 3
单调递减
4 3
单调递增
所以，当x = –2时，f (x)有极大值 ； 求出极值 当x = 2时，f (x)有极小值 .
顾
x (-∞，-4) -4 (-4，2) 2 (2，+∞)
f '(x) +
0 -0 +
f (x)
f (x)的单调递增区间为(-∞，-4)，(2，+∞). f (x)的单调递减区间为(-4，2).
求导数—求临界点—列表—写单调区间
复 1.求出函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间.
习 回
新 知h
h'(a)=0
单调递增 h'(t)>0 ＋
单调递减 － h'(t)<0
h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10
t<a t=a t>a
oa
t
探 2.跳水运动员在最高点处附近的情况：
索 新
导数的符号有什么变化规律？
在t=a附近，h(t)先增后减，h'(t)先正后负，
h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0．
注意：(1)列表时不要忽视定义域； (2)某些函数可能仅有一个极值.
学 以 致
例3 求函数 f (x) 1 x 的极值. x
分析：
求f (x)的定义域
用
求导函数f '(x)
求满足f(x0) =0的x0
判断x0两侧单调性 若x0两侧单调性不 同，则f (x0)为极值
学 以 致
例3 求函数 f (x) 1 x 的极值. x
h'(a)=0
知h
单调递增
单调递减
h'(t)>0 ＋
－ h'(t)<0
h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10
t<a t=a t>a
oa
t
探 2.跳水运动员在最高点处附近的情况：
索
对于一般函数是否也有同样的性质呢？
新 知h
h'(a)=0
单调递增 h'(t)>0 ＋
单调递减 － h'(t)<0
用
f '(x) +
0
-
-
0
+
f (x)
极大值
极小值
所以，当 x = -1时，函数有极大值-2； 当 x = 1时，函数有极小值2.
注意：导函数的正负不一定交替出现， 要具体问题具体分析.
归 求函数极值的一般方法： 纳 方 法
归 求函数极值的一般方法： 纳 (1)确定函数的定义域； 方 法
归 求函数极值的一般方法：
结论：f '(x0)=0是可导函数在x0处取得 极值的必要而不充分条件.
深 探究3 极值点两侧导数正负符号有何规律？
入
探
y
极大值点两侧
究
yf (x) f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
o
a
x1
极小值点两侧
x2
bx
深 探究3 极值点两侧导数正负符号有何规律？
入
x x<x2
x2
有一个极大值点．
深 入
探究1 极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？
y f (x1)=0
f (x3)=0
y=f (x)
探
究
f (x2)=0
o a x1
x2
x3
bx
结论:极值点处如果有切线，那么切线是水平的， 即 f (x)=0.
思考 若寻找可导函数的极值点,可否只 由 f '(x) = 0求得即可?
oa
t
t<a t=a t>a
探 2.跳水运动员在最高点处附近的情况： 索 (2)当t < a时，h(t)的单调性如何？
新 知h
h'(a)=0
单调递增 h'(t)>0 ＋
h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10
t<a t=a t>a
oa
t
探 2.跳水运动员在最高点处附近的情况： 索 (3)当t > a时，h(t)的单调性如何？
顾
x (-∞，-4) -4 (-4，2) 2 (2，+∞)
f '(x) +
0 -0 +
f (x)
f (x)的单调递增区间为(-∞，-4)，(2，+∞). f '(x)<0，(x+4)(x-2)<0 即 -4<x<2；
复 1.求出函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间. 习 解：f '(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2). 回 令 f '(x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.
y
cd
eo f
g
h
x
探 索 新
3.(2) 如图，函数y=f (x)在a，b点的函数值与这些
点附近的函数值有什么关系？y=f (x)在这些点的导
数值是多少？在这些点附近，y=f (x)的导数的符号
有什么规律？ y
f '(b)=0
知
f '(x)>0
f '(x)<0
极小值点
a
o
f '(x)<0
f '(x)>0
学
y
以
致
用
2
-2 o
x
学 例2 求函数f (x)=lnx-x 的极值.
以 致
分析：
求导函数f '(x)
用
求满足f(x0) =0的x0
考虑f (x)的定义域
判断x0两侧单调性
若x0两侧单调性不 同，则f (x0)为极值
学 例2 求函数f (x)=lnx-x 的极值.
以 致 用
解：因为f (x)=lnx-x ，所以 x (0, ).
值．
深 理解极值概念时需注意的几点 化 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个 理 函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值， 解 在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如
图(1))．
深 理解极值概念时需注意的几点 化 (5)若函数f (x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分 理 布是有规律的(如图(2))，相邻两个极大值点之间 解 必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必
学 例1 求函数
的极值.
以 致
分析：
求导函数f '(x)
用
求满足f(x0) =0的x0
判断x0两侧单调性
若x0两侧单调性不 同，则f (x0)为极值
学 例1 求函数
的极值.
以
解:因为
，
致
用
所以 f '(x) = x2 - 4 = (x-2)(x+2).
令 f '(x) = 0，解得 x = 2，或 x = -2.
f '(x) 1 1 1 x，
x
x
f '(x) 0时，x 1.
学 例2 求函数f (x)=lnx-x 的极值.
以 当 x 变化时，f '(x)， f (x)的变化情况如下表:
致
x (0, 1) 1 (1, +∞)
用
f '(x) +
0
-
f (x)
极大值
所以，当x=1时，函数有极大值-1；函数无极小值.
x>x2
x x<x1
x1
x>x1
探
f(x) +
0
-
f(x) -
0
+
究
f (x) 增 极大值 减
f (x) 减 极小值 增
结论：极值点两侧，导数正负符号相异.
注意:(1)f(x0)=0时，x0不一定是极值点. (2)只有f(x0)=0且x0两侧单调性不同，x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求满足f(x0) =0的
f '(x) > 0，即 x>2，或 x<-2；
f '(x) < 0，即 -2<x<2.
学 例1 求函数
的极值.
以
当 x 变化时，f '(x)， f (x)的变化情况如下表:
致
用
x (–∞, –2) –2 (–2, 2)
f '(x) +
0
–
2 (2, +∞)
0
+
f (x) 单调递增
28 3
单调递减
深 探究2 若 f (x0)=0，则 x0是否为极值点？ y
入 分析：x =0是否为函数f (x)=x3的极值点?
f (x) x3
探 f (x)=3x2 ，当f (x)=0时，x =0， 究 而x =0不是该函数的极值点.
o
x
f (x0) =0 x0 是可导函数f (x)的极值点
x0左右两侧导数异号 x0是函数f (x)的极值点 f (x0)=0
f '(a)=0
y = f (x)
b
x
极大值点
探
x
x<a
x=a
x>a
索
f '(x)
-
0
+
f (b) y
新 知
单调 f (x) 递减
极小值
单调 递增
y=f (x)
a
x
x<b x=b x>b
ob x
f '(x)
+
0
-
f (a)
单调 f (x) 递增
单调 极大值 递减
发
一般地，设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义，
端点绝不是函数的极值点．
深 理解极值概念时需注意的几点 化 (1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的 理 左右两侧附近的点而言的． 解 (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的
端点绝不是函数的极值点．
(3)若f (x)在[a，b]内有极值，那么f (x)在[a，b]内
绝不是单调函数，即单调函数在定义域内没有极
现
如果对 x0 附近的所有的点，都有 f (x) < f (x0)，
规
我们就说 f (x0) 是 f (x) 的一个极大值，点 x0叫
律
做函数 y = f (x) 的极大值点.
若 f (x) > f (x0)，则称 f (x0)是 f (x) 的一个 极小值，点 x0 叫做函数 y = f (x) 的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值
顾
x (-∞，-4) -4 (-4，2) 2 (2，+∞)
f '(x) +
0
0+
f (x)
f '(x)>0，(x+4)(x-2)>0 即x<-4或x>2；
复 1.求出函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间. 习 解：f '(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2). 回 令 f '(x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.
解：f '(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2). 令 f '(x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.
临界点附近 函数图象有 什么特点？
顾
x (-∞，-4) -4 (-4，2) 2 (2，+∞)
f '(x) +
0 -0 +
f (x)
f (x)的单调递增区间为(-∞，-4)，(2，+∞). f (x)的单调递减区间为(-4，2).
解：f (x)= 1 x,所以定义域为{x | x 0}. x
用
f
'(x)
1 x2
1
x2 1， x2
f '(x) 0时，x 1.
学 以
例3 求函数 f (x) 1 x 的极值. x
导函数的正负是
当 x 变化时，f '(x)， f (x)的变化交情替况出如现下的表吗？:
致
x (-∞，-1) -1 (-1，0) （0，1） 1 (1，+∞)
函数的极值与导数
高二年级 数学
复
习 回函
函数的单调性 与导数的关系
f '(x)>0，函数单调递增； f '(x)<0，函数单调递减.
顾
数 的
单 调
性性
质
用导数研究函数
1.求导；2.求临界点；
单调性的方法
3.列表；4.单调区间.
复 1.求出函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间. 习 解：f '(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2). 回 令 f '(x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.
和极小值统称为极值.
发
练习 试指出下面函数在[a，b]的极值点与极值，
现
Hale Waihona Puke 并说出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
规
y
律
f (x3)
极大值点：x1 ，x3
f (x4)
极小值点：x2 ，x4
f (x1)
极大值：f (x1) ，f (x3)
f (x2)
极小值：f (x2) ，f (x4)
o a x1
x2
x3 x4 b x
4 3
单调递增
所以，当x = –2时，f (x)有极大值 ；
当x = 2时，f (x)有极小值 .
学 例1 求函数
的极值.
以
解:因为
，
致
求导整理
用
所以f '(x) = x2-4 =(x-2)(x+2).
令f '(x)= 0，解得x = 2，或 x = -2. 求解方程
f '(x) > 0，即x>2，或 x<-2；
深 理解极值概念时需注意的几点 化 理 解
深 理解极值概念时需注意的几点 化 (1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的 理 左右两侧附近的点而言的． 解
深 理解极值概念时需注意的几点 化 (1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的 理 左右两侧附近的点而言的． 解 (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的
求导数—求临界点—列表—写单调区间
探
还记得高台跳水的例子吗？
索
新
h
最高点
知
h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10
o
a
t
探 2.跳水运动员在最高点处附近的情况：
索 新
(1)当t = a时，运动员距水面高度最大， h(t)在此点的导数是多少呢？
h'(a)=0
知h
h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10
f '(x) < 0，即-2<x<2.
学 例1 求函数
的极值.
以
当 x 变化时，f '(x)，f (x)的变化情况如下表:
致
x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞)
用
f '(x) +
0
–0
+ 列表断号
f (x) 单调递增
28 3
单调递减
4 3
单调递增
所以，当x = –2时，f (x)有极大值 ； 求出极值 当x = 2时，f (x)有极小值 .
顾
x (-∞，-4) -4 (-4，2) 2 (2，+∞)
f '(x) +
0 -0 +
f (x)
f (x)的单调递增区间为(-∞，-4)，(2，+∞). f (x)的单调递减区间为(-4，2).
求导数—求临界点—列表—写单调区间
复 1.求出函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间.
习 回
新 知h
h'(a)=0
单调递增 h'(t)>0 ＋
单调递减 － h'(t)<0
h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10
t<a t=a t>a
oa
t
探 2.跳水运动员在最高点处附近的情况：
索 新
导数的符号有什么变化规律？
在t=a附近，h(t)先增后减，h'(t)先正后负，
h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0．
注意：(1)列表时不要忽视定义域； (2)某些函数可能仅有一个极值.
学 以 致
例3 求函数 f (x) 1 x 的极值. x
分析：
求f (x)的定义域
用
求导函数f '(x)
求满足f(x0) =0的x0
判断x0两侧单调性 若x0两侧单调性不 同，则f (x0)为极值
学 以 致
例3 求函数 f (x) 1 x 的极值. x
h'(a)=0
知h
单调递增
单调递减
h'(t)>0 ＋
－ h'(t)<0
h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10
t<a t=a t>a
oa
t
探 2.跳水运动员在最高点处附近的情况：
索
对于一般函数是否也有同样的性质呢？
新 知h
h'(a)=0
单调递增 h'(t)>0 ＋
单调递减 － h'(t)<0
用
f '(x) +
0
-
-
0
+
f (x)
极大值
极小值
所以，当 x = -1时，函数有极大值-2； 当 x = 1时，函数有极小值2.
注意：导函数的正负不一定交替出现， 要具体问题具体分析.
归 求函数极值的一般方法： 纳 方 法
归 求函数极值的一般方法： 纳 (1)确定函数的定义域； 方 法
归 求函数极值的一般方法：
结论：f '(x0)=0是可导函数在x0处取得 极值的必要而不充分条件.
深 探究3 极值点两侧导数正负符号有何规律？
入
探
y
极大值点两侧
究
yf (x) f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
o
a
x1
极小值点两侧
x2
bx
深 探究3 极值点两侧导数正负符号有何规律？
入
x x<x2
x2
有一个极大值点．
深 入
探究1 极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？
y f (x1)=0
f (x3)=0
y=f (x)
探
究
f (x2)=0
o a x1
x2
x3
bx
结论:极值点处如果有切线，那么切线是水平的， 即 f (x)=0.
思考 若寻找可导函数的极值点,可否只 由 f '(x) = 0求得即可?
oa
t
t<a t=a t>a
探 2.跳水运动员在最高点处附近的情况： 索 (2)当t < a时，h(t)的单调性如何？
新 知h
h'(a)=0
单调递增 h'(t)>0 ＋
h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10
t<a t=a t>a
oa
t
探 2.跳水运动员在最高点处附近的情况： 索 (3)当t > a时，h(t)的单调性如何？
顾
x (-∞，-4) -4 (-4，2) 2 (2，+∞)
f '(x) +
0 -0 +
f (x)
f (x)的单调递增区间为(-∞，-4)，(2，+∞). f '(x)<0，(x+4)(x-2)<0 即 -4<x<2；
复 1.求出函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间. 习 解：f '(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2). 回 令 f '(x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.
y
cd
eo f
g
h
x
探 索 新
3.(2) 如图，函数y=f (x)在a，b点的函数值与这些
点附近的函数值有什么关系？y=f (x)在这些点的导
数值是多少？在这些点附近，y=f (x)的导数的符号
有什么规律？ y
f '(b)=0
知
f '(x)>0
f '(x)<0
极小值点
a
o
f '(x)<0
f '(x)>0
学
y
以
致
用
2
-2 o
x
学 例2 求函数f (x)=lnx-x 的极值.
以 致
分析：
求导函数f '(x)
用
求满足f(x0) =0的x0
考虑f (x)的定义域
判断x0两侧单调性
若x0两侧单调性不 同，则f (x0)为极值
学 例2 求函数f (x)=lnx-x 的极值.
以 致 用
解：因为f (x)=lnx-x ，所以 x (0, ).
值．
深 理解极值概念时需注意的几点 化 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个 理 函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值， 解 在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如
图(1))．
深 理解极值概念时需注意的几点 化 (5)若函数f (x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分 理 布是有规律的(如图(2))，相邻两个极大值点之间 解 必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必